Punkty $A,B,C$, leżą na okręgu, czyli ich współrzędne spełniają równanie okręgu. Równanie okręgu dane jest w postaci: ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=r^2$. Aby wyznaczyć równanie okręgu, musimy wyznaczyć jego środek $O=\left(a,b\right)$ i promień $r$. Punkty $A,B,C$ spełniają równanie okręgu, zatem do równania ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=r^2$ podstawiamy współrzędne punktów $A=\left(1,0\right), B=\left(0,2\right)$ i $C=\left(1,4\right)$.

$\left\{\begin{array}{l}{\left(1-a\right)}^2+{\left(0-b\right)}^2=r^2\\ {\left(0-a\right)}^2+\left(2-b^2\right)=r^2\\ {\left(1-a\right)}^2+\left(4-b^2\right)=r^2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}{\left(1-a\right)}^2+b^2=r^2\\ a^2+{\left(2-b\right)}^2=r^2\\ {\left(1-a\right)}^2+{\left(4-b\right)}^2=r^2\end{array}\right.$

Od pierwszego równania odejmujemy trzecie:

${\left(1-a\right)}^2+b^2-\left({\left(1-a\right)}^2+{\left(4-b\right)}^2\right)=r^2-r^2$

$b^2-{\left(4-b\right)}^2=0$

$b^2-16+8b-b^2=0$

$-16+8b=0$

$b=2$.

Podstawiamy $b=2$ do drugiego i trzeciego równania:

$\left\{\begin{array}{l}{a}^2+{\left(2-2\right)}^2=r^2\\ {\left(1-a\right)}^2+{\left(4-2\right)}^2=r^2,\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}{a}^2=r^2\\ {\left(1-a\right)}^2+4=r^2.\end{array}\right.$

Odejmujemy stronami otrzymane równania:

$a^2-\left({\left(1-a\right)}^2+4\right)=r^2-r^2$

$a^2-\left({\left(1-a\right)}^2+4\right)=0$

Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy dwóch dowolnych wyrażeń:

$a^2-\left(1-2a+a^2+4\right)=0$

$a^2-1+2a-a^2-4=0$

Ostatecznie otrzymujemy $2a-5=0$, więc $a=\frac{5}{2}$ a ponieważ $a^2=r^2$, to $r=\frac{5}{2}$.

Równanie szukanego okręgu: ${\left(x-\frac{5}{2}\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=\frac{25}{4}$.

Zaznaczmy punkty $A,B,C$ w układzie współrzędnych:

R161VQqI6DTvY

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus pięciu do pięciu i pionową osią y od minus trzech do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały trzy punkty A, B oraz C. Współrzędne punktów to kolejno: punkt A początek nawiasu, minus 4, 0, zamknięcie nawiasu, punkt B początek nawiasu, 0, 4, zamknięcie nawiasu, punkt C początek nawiasu, 4, 0, zamknięcie nawiasu.

Widzimy, że odległości punktów $A,B$ i $C$ od początku układu współrzędnych są równe i wynoszą $4$. Z tego wynika, że $r=4$, a początek układu współrzędnych jest środkiem tego okręgu. Równanie okręgu o środku $O=\left(0,0\right)$ i promieniu $r=4$ ma postać: $x^2+y^2=16$.

RdZqj05ooP1CT

Grafika przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus pięciu do pięciu i pionową osią y od minus trzech do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczone zostały cztery punkty A, B, C oraz O. Współrzędne punktów to kolejno: punkt A początek nawiasu, minus 4, 0, zamknięcie nawiasu, punkt B początek nawiasu, 0, 4, zamknięcie nawiasu, punkt C początek nawiasu, 4, 0, zamknięcie nawiasu. Ostatni punkt znajduje się w środku układu współrzędnych i jest podpisany literą O. Punkt ten wyznacza środek okręgu, który przechodzi przez punkty A, B i C.