Okręgiem o środku i promieniu nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu jest równa .
Punkt leży na okręgu o środku w punkcie i promieniu wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi .
Możemy powyższy warunek zapisać następująco , co prowadzi do równości przedstawiającej okrąg o środku w punkcie i promieniu .
Przykład 1
Sprawdzimy, czy punkty i należą do okręguokrąg o środku O i promieniu rokręgu .
Rozwiązanie
Dany punkt należy do okręgu, gdy jego współrzędne spełniają równanie tego okręgu.
Sprawdzamy, czy współrzędne punktu spełniają równanie okręgu .
Punkt należy do okręgu, bo .
Sprawdzamy, czy współrzędne punktu spełniają równanie okręgu .
Punkt nie należy do okręgu, bo .
Przykład 2
Wyznaczymy wartości parametru , dla których punkt należy do okręgu .
Rozwiązanie
Podstawiamy współrzędne punktu do równania okręgu:
Zatem:
lub .
Dla i , punkt należy do okręgu .
Przykład 3
Wyznaczymy równanie okręgu, do którego należą punkty .
Rozwiązanie
Aby wyznaczyć równanie okręgu, musimy wyznaczyć jego środek i promień . Punkty , leżą na okręgu, czyli ich współrzędne spełniają równanie okręgu. Podstawmy zatem współrzędne tych punktów do równania
Otrzymujemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi:
Od pierwszego równania odejmujemy drugie:
,
następnie od drugiego odejmujemy trzecie:
.
Po redukcji otrzymujemy układ:
, stąd .
Obliczamy podstawiając do równania :
, stąd .
Środkiem okręgu jest punkt .
Długość promienia jest równa odległości środka okręgu od dowolnego punktu na okręgu, czyli np. od punktu . Ze wzoru na odległość dwóch punktów:
Równanie okręgu: .
Ważne!
Jeżeli mamy trzy niewspółliniowe punkty , to możemy przez te punkty poprowadzić okrąg, którego środek leży na przecięciu symetralnych odcinkówsymetralna odcinkasymetralnych odcinków i .
Uzasadnienie.
Niech punkt będzie punktem przecięcia symetralnych odcinków i . Punkt leży na symetralnej odcinka , więc . Punkt leży również na symetralnej odcinka , więc . Stąd wynika, że . Wobec tego, punkt jest jednakowo oddalony od każdego z punktów , czyli .
Opiszemy teraz działania, jakie musimy wykonać, aby wyznaczyć równanie okręgu, do którego należą trzy punkty.
I. Piszemy równanie symetralnej odcinka – symetralna jest prostopadła do odcinka i przechodzi przez jego środek o współrzędnych .
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej . Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty i obliczymy podstawiając współrzędne punktów i do równania prostej
Odejmując od górnego równania dolne, otrzymujemy , czyli .
Współczynnik kierunkowy symetralnej wyliczamy z warunku prostopadłości prostych .
Mając dany współczynnik kierunkowy symetralnej i punkt , który należy do tej symetralnej, możemy napisać jej równanie.
Powyższe czynności przedstawia rysunek:
RU14ZxzSjZwCg
Przedstawiona powyżej metoda służy do wyznaczenia równania okręgu opisanego na trójkącie .
Przykład 4
Napiszemy równanie okręgu przechodzącego przez punkty .
Rozwiązanie
Zastosujemy przedstawioną powyżej metodę.
Równanie symetralnej odcinka . Symetralna jest prostopadła do odcinka i przechodzi przez jego środek o współrzędnych . Podstawiając współrzędne i otrzymujemy współrzędne środka odcinka : . Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej ze wzoru . Dla współczynnik kierunkowy wynosi . Ponieważ symetralna jest prostopadła do prostej , więc korzystając z warunku prostopadłości prostych otrzymujemy . Równanie symetralnej odcinka . Ponieważ symetralna przechodzi przez punkt , to podstawiając jego współrzędne do wzoru , otrzymamy : , czyli . .
R1Q8o86yQjV1x
Analogicznie wyznaczamy równanie symetralnej odcinka .
Symetralna jest prostopadła do odcinka i przechodzi przez jego środek o współrzędnych . Ponieważ , to współrzędne środka odcinka wynoszą .
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej ze wzoru i otrzymujemy .
Prosta jest równoległa do osi , stąd jej symetralna będzie równoległa do osi , a ponieważ przechodzi przez punkt , stąd jej równanie to:
: .
RgAczSVQTYXuD
Środek okręgu leży na przecięciu symetralnych : i : .
Rozwiązujemy układ równań:
stąd .
Środek okręgu: .
Długość promienia okręgu wyliczamy ze wzoru na odległość dwóch punktów: . Ponieważ , to podstawiając do powyższego wzoru i otrzymujemy:
Równanie okręgu ma postać: .
Ostateczny wynik naszych działań przedstawia rysunek:
RzKV6aPYwsWkD
Słownik
okrąg o środku O i promieniu r
okrąg o środku O i promieniu r
zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu jest równa
symetralna odcinka
symetralna odcinka
zbiór wszystkich punktów płaszczyzny równoodległych od końców tego odcinka