Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z zaprezentowanymi w animacji metodami dowodzenia nierówności z zastosowaniem ułamków algebraicznych.

Zauważ, że wszystkie dowody opierają się na odpowiednim użyciu wzorów skróconego mnożenia i własności, która mówi, że kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny.

R12vyOGGijdHD

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DniyVxmNw

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej zadań na dowodzenie z zastosowaniem wyrażeń wymiernych.

Polecenie 2

Udowodnij, że jeżeli $x$ , $y$ , $z$ są liczbami rzeczywistymi dodatnimi takimi, że $x + y + z = 1$ , to zachodzi nierówność

\frac{1 + x}{1 - x} \cdot \frac{1 + y}{1 - y} \cdot \frac{1 + z}{1 - z} \geq 8

To zadanie może Ci sprawić trochę trudności.
Spróbuj najpierw rozwiązać je samodzielnie.
Jeśli Ci się nie uda, spróbuj kolejno użyć podanych pod poleceniem podpowiedzi.
Na końcu zamieszczone jest pełne rozwiązanie. Możliwe, że Twoje rozwiązanie będzie inne, zadania matematyczne bardzo często można rozwiązać różnymi sposobami.

Zacznij przekształcać lewą stronę nierówności podstawiając $x + y + z$ w miejsce $1$ .

Uzyskasz zapis:
$L = \frac{2 x + y + z}{y + z} \cdot \frac{2 y + z + x}{z + x} \cdot \frac{2 z + x + y}{x + y} = (i)$ .

Dla uproszczenia dalszych rachunków podstawmy teraz pomocniczo $a = y + z$ , $b = z + x$ , $c = x + y$ :

$(i) = \frac{b + c}{a} \cdot \frac{c + a}{b} \cdot \frac{a + b}{c} =$
$= (\frac{b}{a} + \frac{c}{a}) \cdot (\frac{c}{b} + \frac{a}{b}) \cdot (\frac{a}{c} + \frac{b}{c}) = (i i)$ .

Aby udowodnić, że uzyskane wyrażenie przyjmuje zawsze wartości większe lub równe od $8$ , wystarczy teraz przemnożyć wyrażenia wystepujące w nawiasach i skorzystać z pierwszej nierówności udowodnionej w animacji (Polecenie 1).

Zaczynamy dowód od przekształcania lewej strony zgodnie z podanymi wyżej podpowiedziami.

$L = \frac{2 x + y + z}{y + z} \cdot \frac{2 y + z + x}{z + x} \cdot \frac{2 z + x + y}{x + y} = (i)$

Podstawmy teraz pomocniczo $a = y + z$ , $b = z + x$ , $c = x + y$ . Mamy zatem:
$(i) = \frac{b + c}{a} \cdot \frac{c + a}{b} \cdot \frac{a + b}{c} =$
$= (\frac{b}{a} + \frac{c}{a}) \cdot (\frac{c}{b} + \frac{a}{b}) \cdot (\frac{a}{c} + \frac{b}{c}) = (i i)$ .

Wykonajmy mnożenie. Uzyskamy:
$(i i) = \frac{b}{a} \cdot \frac{c}{b} \cdot \frac{a}{c} + \frac{b}{a} \cdot \frac{c}{b} \cdot \frac{b}{c} + \frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{c} + \frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} +$
$+ \frac{c}{a} \cdot \frac{c}{b} \cdot \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \cdot \frac{c}{b} \cdot \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} =$
$= \frac{b}{a} \cdot \frac{c}{b} \cdot \frac{a}{c} + \frac{b}{a} \cdot \frac{c}{b} \cdot \frac{b}{c} + \frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{c} + \frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} +$
$+ \frac{c}{a} \cdot \frac{c}{b} \cdot \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \cdot \frac{c}{b} \cdot \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{c} + \frac{c}{a} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} =$
$= 1 + \frac{b}{a} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} + \frac{c}{a} + \frac{a}{b} + 1 =$
$= 2 + (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{b}{c} + \frac{c}{b}) + (\frac{c}{a} + \frac{a}{c}) = (i i i)$ .

W każdym nawiasie możemy użyć nierówności udowodnionej jako pierwsza w animacji z Polecenia 1.

Nierówność ta mówi, że dla liczb $a$ , $b$ tego samego znaku (obie dodatnie lub obie ujemne) spełniony jest warunek $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ .

Używając nierówności trzykrotnie (dla każdego nawiasu) uzyskujemy warunek
$(i i i) \geq 2 + 2 + 2 + 2 = 8$ ,
co kończy dowód.

Przeczytaj

Sprawdź się