Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R14Vv25BPH6qG

Wykaż, że
jeśli $5 x y + 2 x^{2} = 10 x y + 25 y^{2}$ oraz $2 x \neq - 5 y$ ,
to wartość wyrażenia $\frac{7 x + 3 y}{2 x + 5 y}$ jest stała.
Wskaż, ile wynosi.

$\frac{38}{15}$
$\frac{15}{38}$
$\frac{7}{10}$
$\frac{10}{7}$

$5 x y + 2 x^{2} = 10 x y + 25 y^{2} \Leftrightarrow x (5 y + 2 x) = 5 y (2 x + 5 y)$

$5 x y + 2 x^{2} = 10 x y + 25 y^{2} \Leftrightarrow x (5 y + 2 x) = 5 y (2 x + 5 y)$ ,
a ponieważ $2 x \neq - 5 y$ ,
to dzieląc obie strony równości przez $(2 x + 5 y) \neq 0$ ,
otrzymamy $x = 5 y$ .

Podstawiając do wyrażenia $\frac{7 x + 3 y}{2 x + 5 y}$ , otrzymamy:
$\frac{7 x + 3 y}{2 x + 5 y} = \frac{38 y}{15 y} = \frac{38}{15}$ .

Ćwiczenie 2

Dane są liczby dodatnie $a$ , $b$ , $c$ , $d$ .
Oceń prawdziwość poniższego zdania. Zaznacz poprawną odpowiedź.

R3YGP7EZEfJwA

Jeżeli $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , to $\frac{a}{b} = \frac{a + c}{b + d}$ .

Prawda
Fałsz

RZ2vTQ2tRT3sL2

Ćwiczenie 3

Wykaż, że
jeśli liczby x, y są różne od zera i $12 x^{2} y - 4 x^{3} = - x y^{2} + 3 y^{3}$ oraz $x \neq 3 y$ ,
to wyrażenie $\frac{3 x - y}{3 y - x}$ może przyjąć jedną z dwóch możliwych wartości.
Wskaż te wartości.

$\frac{1}{5}$
$- \frac{5}{7}$
$- \frac{1}{5}$
$\frac{5}{7}$

Ćwiczenie 4

R9XZQ0yiYkR7z

Dane są liczby

a, b \in ⟨ 0; 1 ⟩

.
Udowodnij, że zachodzi nierówność:

\frac{1}{a^{2} + 1} + \frac{1}{b^{2} + 1} \leq \frac{2}{a b + 1}

.
Ustaw kolejne kroki rozwiązania we właściwej kolejności. Złap element i przesuń go w górę lub w dół. Elementy do uszeregowania: 1. Przenieśmy wszystkie wyrazy na jedną stronę i sprowadźmy do wspólnego mianownika:

\frac{2 a^{2} b^{2} + 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 - a b^{3} - b^{2} - a b - 1 - a^{3} b - a^{2} - a b - 1}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)} \geq 0

., 2. Po przemnożeniu wyrażeń w licznikach uzyskamy

\frac{a b^{3} + b^{2} + a b + 1}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)} + \frac{a^{3} b + a^{2} + a b + 1}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)} \leq \frac{2 a^{2} b^{2} + 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)}

., 3. Zauważmy, że

2 a^{2} b^{2} - a b^{3} - a^{3} b = - a b {(a - b)}^{2}

a^{2} + b^{2} - 2 a b = {(a - b)}^{2}

,
czyli

2 a^{2} b^{2} - a b^{3} - a^{3} b + a^{2} + b^{2} - 2 a b = {(a - b)}^{2} (1 - a b)

., 4. Uprośćmy wyrazy podobne w liczniku:

\frac{2 a^{2} b^{2} - a b^{3} - a^{3} b + a^{2} + b^{2} - 2 a b}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)} \geq 0

., 5. Możemy zatem zapisać nierówność w postaci

\frac{{(a - b)}^{2} (1 - a b)}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)} \geq 0

., 6. Uzyskana nierówność jest zawsze prawdziwa dla

a, b \in ⟨ 0; 1 ⟩

, bo

\{\begin{cases} {(a - b)}^{2} \geq 0 \\ 1 - a b \geq 0 \\ a^{2} + 1 \geq 1 \\ b^{2} + 1 \geq 1 \\ a b + 1 \geq 1 \end{cases}

., 7. Przekształćmy nierówność równoważnie, sprowadzając wszystkie ułamki do wspólnego mianownika:

\frac{(b^{2} + 1) (a b + 1)}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)} + \frac{(a^{2} + 1) (a b + 1)}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)} \leq \frac{2 (a^{2} + 1) (b^{2} + 1)}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)}

Dane są liczby $a, b \in ⟨ 0; 1 ⟩$ .
Udowodnij, że zachodzi nierówność
$\frac{1}{a^{2} + 1} + \frac{1}{b^{2} + 1} ⩽ \frac{2}{a b + 1}$ .
Ustaw kolejne kroki rozwiązania we właściwej kolejności.

Uprośćmy wyrazy podobne w liczniku:
$\frac{2 a^{2} b^{2} - a b^{3} - a^{3} b + a^{2} + b^{2} - 2 a b}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)} ⩾ 0$ .
Uzyskana nierówność jest zawsze prawdziwa dla $a, b \in ⟨ 0; 1 ⟩$ , bo
$"{"\begin{array}{c} {(a - b)}^{2} ⩾ 0 \\ 1 - a b ⩾ 0 \\ a^{2} + 1 ⩾ 1 \\ b^{2} + 1 ⩾ 1 \\ a b + 1 ⩾ 1 \end{array}""$ .
Przenieśmy wszystkie wyrazy na jedną stronę i sprowadźmy do wspólnego mianownika:
$\frac{2 a^{2} b^{2} + 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 - a b^{3} - b^{2} - a b - 1 - a^{3} b - a^{2} - a b - 1}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)} ⩾ 0$ .
Możemy zatem zapisać nierówność w postaci
$\frac{{(a - b)}^{2} (1 - a b)}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)} ⩾ 0$ .
Zauważmy, że
$2 a^{2} b^{2} - a b^{3} - a^{3} b = - a b {(a - b)}^{2}$ i $a^{2} + b^{2} - 2 a b = {(a - b)}^{2}$ ,
czyli
$2 a^{2} b^{2} - a b^{3} - a^{3} b + a^{2} + b^{2} - 2 a b = {(a - b)}^{2} (1 - a b)$ .
Przekształćmy nierówność równoważnie, sprowadzając wszystkie ułamki do wspólnego mianownika:
$\frac{(b^{2} + 1) (a b + 1)}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)} + \frac{(a^{2} + 1) (a b + 1)}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)} ⩽ \frac{2 (a^{2} + 1) (b^{2} + 1)}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)}$ .
Po przemnożeniu wyrażeń w licznikach uzyskamy
$\frac{a b^{3} + b^{2} + a b + 1}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)} + \frac{a^{3} b + a^{2} + a b + 1}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)} ⩽ \frac{2 a^{2} b^{2} + 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)}$ .

R6wrVlZhVFNmz

Dane są liczby

a, b \in ⟨ 0; 1 ⟩

. Uzupełnij dowód tak, aby zachodziła nierówność:

\frac{1}{a^{2} + 1} + \frac{1}{b^{2} + 1} \leq \frac{2}{a b + 1}

.
Wstaw wyrażenia w odpowiednie miejsca.

Przekształćmy nierówność równoważnie, sprowadzając wszystkie ułamki do wspólnego mianownika:
$\frac{(b^{2} + 1) (a b + 1)}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)} + \frac{(a^{2} + 1) (a b + 1)}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)} \leq \frac{2 (a^{2} + 1) (b^{2} + 1)}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)}$ .
Po przemnożeniu wyrażeń w licznikach uzyskamy 1.
$2 a^{2} b^{2} - a b^{3} - a^{3} b + a^{2} + b^{2} - 2 a b = {(a - b)}^{2} (1 - a b)$ , 2. $\frac{2 (a^{2} + 1) (b^{2} + 1)}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)}$ , 3. $\frac{a b^{3} + b^{2} + a b + 1}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)}$ , 4. $\frac{2 a^{2} b^{2} + 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 - a b^{3} - b^{2} - a b - 1 - a^{3} b - a^{2} - a b - 1}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)}$ $+ \frac{(a^{2} + 1) (a b + 1)}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)} \leq$ 1.
$2 a^{2} b^{2} - a b^{3} - a^{3} b + a^{2} + b^{2} - 2 a b = {(a - b)}^{2} (1 - a b)$ , 2. $\frac{2 (a^{2} + 1) (b^{2} + 1)}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)}$ , 3. $\frac{a b^{3} + b^{2} + a b + 1}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)}$ , 4. $\frac{2 a^{2} b^{2} + 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 - a b^{3} - b^{2} - a b - 1 - a^{3} b - a^{2} - a b - 1}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)}$ .
Przenieśmy wszystkie wyrazy na jedną stronę i sprowadźmy do wspólnego mianownika:
$\frac{2 a^{2} b^{2} + 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 - a b^{3} - b^{2} - a b - 1 - a^{3} b - a^{2} - a b - 1}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)} \geq 0$ .
Uprośćmy wyrazy podobne w liczniku: 1.
$2 a^{2} b^{2} - a b^{3} - a^{3} b + a^{2} + b^{2} - 2 a b = {(a - b)}^{2} (1 - a b)$ , 2. $\frac{2 (a^{2} + 1) (b^{2} + 1)}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)}$ , 3. $\frac{a b^{3} + b^{2} + a b + 1}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)}$ , 4. $\frac{2 a^{2} b^{2} + 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 - a b^{3} - b^{2} - a b - 1 - a^{3} b - a^{2} - a b - 1}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)}$ $\geq 0$ .
Zauważmy, że
$2 a^{2} b^{2} - a b^{3} - a^{3} b = - a b {(a - b)}^{2}$ i $a^{2} + b^{2} - 2 a b = {(a - b)}^{2}$ ,
czyli 1.
$2 a^{2} b^{2} - a b^{3} - a^{3} b + a^{2} + b^{2} - 2 a b = {(a - b)}^{2} (1 - a b)$ , 2. $\frac{2 (a^{2} + 1) (b^{2} + 1)}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)}$ , 3. $\frac{a b^{3} + b^{2} + a b + 1}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)}$ , 4. $\frac{2 a^{2} b^{2} + 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 - a b^{3} - b^{2} - a b - 1 - a^{3} b - a^{2} - a b - 1}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)}$ .
Możemy zatem zapisać nierówność w postaci
$\frac{{(a - b)}^{2} (1 - a b)}{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) (a b + 1)} \geq 0$ .
Uzyskana nierówność jest zawsze prawdziwa dla $a, b \in ⟨ 0; 1 ⟩$ , bo
$\{\begin{cases} {(a - b)}^{2} \geq 0 \\ 1 - a b \geq 0 \\ a^{2} + 1 \geq 1 \\ b^{2} + 1 \geq 1 \\ a b + 1 \geq 1 \end{cases}$ .

Ćwiczenie 5

RiSFQL0YDizy8

Wykaż, że jeśli
$x + y + z = 0$ oraz $x \neq 0$ , $y \neq 0$ , $z \neq 0$ ,
to wartość wyrażenia $\frac{x^{2}}{y z} + \frac{y^{2}}{x z} + \frac{z^{2}}{x y}$
jest stała i wynosi .............

Z założenia $x + y + z = 0$ wynika, że $z = - (x + y)$ .

Mamy:
$\frac{x^{2}}{y z} + \frac{y^{2}}{x z} + \frac{z^{2}}{x y} = \frac{x^{3} + y^{3} + z^{3}}{x y z} =$
$= \frac{x^{3} + y^{3} + {(- (x + y))}^{3}}{x y z} =$
$= \frac{x^{3} + y^{3} + (- (x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}))}{x y z} =$
$= \frac{x^{3} + y^{3} - x^{3} - 3 x^{2} y - 3 x y^{2} - y^{3}}{x y z} =$
$= \frac{- 3 x^{2} y - 3 x y^{2}}{x y z} =$
$= \frac{- 3 x y (x + y)}{x y z} =$
$= \frac{- 3 x y (x + y)}{x y z} =$
$= \frac{- 3 (x + y)}{z}$ .

A skoro, jak zauważyliśmy wcześniej, $z = - (x + y)$ , to wartość wyrażenia jest stała i wynosi $3$ .
Istotnie: $\frac{- 3 (x + y)}{- (x + y)} = 3$ .

Ćwiczenie 6

R1BcGBwCiEmpE

Wykaż, że nierówność $\frac{{(a + b)}^{2}}{a b} ⩾ 4$ jest zawsze prawdziwa przy założeniach:

$"{"\begin{array}{c} a \in ℝ ∖ {0} \\ b \in ℝ ∖ {0} \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} a \in ℝ \\ b \in ℝ \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} a \in (0; \infty) \\ b \in (0; \infty) \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} a \in ⟨ 0; \infty) \\ b \in ⟨ 0; \infty) \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} a \in (- \infty; 0) \\ b \in (- \infty; 10) \end{array}""$
$"{"\begin{array}{c} a \in (- \infty; 0 ⟩ \\ b \in (- \infty; 0 ⟩ \end{array}""$

Jeżeli $a b > 0$ , możemy pomnożyć nierówność obustronnie przez $a b > 0$ .

Następnie można skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia.

Przekształćmy nierówność równoważnie.

$\frac{{(a + b)}^{2}}{a b} \geq 4 \Leftrightarrow {(a + b)}^{2} \geq 4 a b \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow a^{2} + 2 a b + b^{2} \geq 4 a b \Leftrightarrow a^{2} - 2 a b + b^{2} \geq 0 \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow {(a - b)}^{2} \geq 0$

Ostatnia nierówność jest oczywista, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Ćwiczenie 7

RkL1299VvsvXa

Dane są różne od zera liczby rzeczywiste $a$ , $b$ , $c$ .

Wykaż, że wartość wyrażenia
${(1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a})}^{2} + {(1 + \frac{b}{c} + \frac{c}{b})}^{2} + {(1 + \frac{c}{a} + \frac{a}{c})}^{2} +$
$- {(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a})}^{2} - {(\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c})}^{2}$

jest stała i wynosi .............

Ćwiczenie 8

Rq0nXGZsTPusl

Udowodnij, że ułamek
$\frac{1}{(x - 1) (x - 2) (x - 3)}$
można jednoznacznie przedstawić jako sumę ułamków
$\frac{A}{x - 1}$ , $\frac{B}{x - 2}$ oraz $\frac{C}{x - 3}$
dla pewnych całkowitych wartości $A$ , $B$ , $C$ .
Wskaż te wartości:
$A =$ ............
$B =$ ............
$C =$ ............

Obliczmy sumę.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 3} =$
$= \frac{A (x - 2) (x - 3)}{(x - 1) (x - 2) (x - 3)} + \frac{B (x - 3) (x - 1)}{(x - 1) (x - 2) (x - 3)} + \frac{C (x - 1) (x - 2)}{(x - 1) (x - 2) (x - 3)}$

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika zredukujmy wyrazy podobne i porównajmy wynik z ułamkiem $\frac{4}{(x - 1) (x - 2) (x - 3)}$ .

Zapiszmy sumę.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 3} =$
$= \frac{A (x - 2) (x - 3)}{(x - 1) (x - 2) (x - 3)} + \frac{B (x - 3) (x - 1)}{(x - 1) (x - 2) (x - 3)} + \frac{C (x - 1) (x - 2)}{(x - 1) (x - 2) (x - 3)} = (i)$

Po wykonaniu obliczeń w licznikach i dodaniu ułamków uzyskamy:

$(i) = \frac{A (x^{2} - 5 x + 6) + B (x^{2} - 4 x + 3) + C (x^{2} - 3 x + 2)}{(x - 1) (x - 2) (x - 3)} =$
$= \frac{x^{2} (A + B + C) - x (5 A + 4 B + 3 C) + (6 A + 3 B + 2 C)}{(x - 1) (x - 2) (x - 3)}$ .

Wyrażenia algebraiczne
$\frac{4}{(x - 1) (x - 2) (x - 3)}$
oraz
$\frac{x^{2} (A + B + C) - x (5 A + 4 B + 3 C) + (6 A + 3 B + 2 C)}{(x - 1) (x - 2) (x - 3)}$
mają jednakowe mianowniki.
Wyrażenia te będą równe wtedy i tylko wtedy, gdy dobierzemy parametry $A$ , $B$ , $C$ tak, by uzyskać róność wielomianów w licznikach.

Zatem spełnione muszą być trzy warunki:
$\{\begin{cases} A + B + C = 0 \\ 5 A + 4 B + 3 C = 0 \\ 6 A + 3 B + 2 C = 4 \end{cases}$ .

Ten układ równań ma jedno rozwiązanie:
$\{\begin{cases} A = 2 \\ B = - 4 \\ C = 2 \end{cases}$ .

Animacja

Dla nauczyciela