Udowodnijmy, że jeżeli liczby rzeczywiste $a$, $b$ i $c$ są parami różne, to prawdziwa jest równość

$\frac{1}{{\left(a-b\right)}^2}+\frac{1}{{\left(b-c\right)}^2}+\frac{1}{{\left(c-a\right)}^2}={\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)}^2$.

Dowód

• Zacznijmy przekształcać prawą stronę równości, stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy trzech wyrażeńpodstawowe wzory skróconego mnożenia (kwadraty i sześciany)wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy trzech wyrażeń.

  $P={\left(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\right)}^2=$

  $=\frac{1}{{\left(a-b\right)}^2}+\frac{1}{{\left(b-c\right)}^2}+\frac{1}{{\left(c-a\right)}^2}+\frac{2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{2}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{2}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}=\left(i\right)$

• Obliczmy teraz sumę trzech ostatnich ułamków, sprowadzając je do wspólnego mianownika.

  $\frac{2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{2}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{2}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}=$

  $=\frac{2c-2a}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{2a-2b}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{2b-2c}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=$

  $=\frac{2c-2a+2a-2b+2b-2c}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0$

• Zatem

  $\left(i\right)=\frac{1}{{\left(a-b\right)}^2}+\frac{1}{{\left(b-c\right)}^2}+\frac{1}{{\left(c-a\right)}^2}+0=L$.

• Wykazaliśmy, że prawa  strona równości jest  równa lewej, więc tożsamość została udowodniona. Przy podanych założeniach wszystkie działania były możliwe do wykonania.

Wykażemy, że jeżeli liczby x, y są różne od zera  i  $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ jest liczbą całkowitą, to również $\frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4}$ jest liczbą całkowitą.

Dowód

• Oznaczmy $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

• Zauważmy, że

  $a^2={\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)}^2=$

  $=\frac{x^2}{y^2}+2·\frac{x}{y}·\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}=$

  $=\frac{x^2}{y^2}+2·\frac{\bcancel{x}}{\bcancel{y}}·\frac{\bcancel{y}}{\bcancel{x}}+\frac{y^2}{x^2}=$

  $=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2$,

  czyli

  $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=$

  $=a^2-2$.

• Podnieśmy obustronnie do kwadratu ostatnią równość.

  ${\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)}^2={\left(a^2-2\right)}^2$

  $\frac{x^4}{y^4}+2·\frac{x^2}{y^2}·\frac{y^2}{x^2}+\frac{y^4}{x^4}=a^4-4a^2+4$

  $\frac{x^4}{y^4}+2·\frac{\bcancel{x^2}}{\bcancel{y^2}}·\frac{\bcancel{y^2}}{\bcancel{x^2}}+\frac{y^4}{x^4}=a^4-4a^2+4$

  $\frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4}+2=a^4-4a^2+4$.

• Zatem

  $\frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4}=a^4-4a^2+2$,

  co jest liczbą całkowitą, ponieważ z założenia $a\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Wykażemy, że jeżeli dla liczb rzeczywistych $x$, $y$, $z$ różnych od $0$ zachodzi równość

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}=-2$,

to

$\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0$.

Dowód

• Sprowadźmy ułamki po lewej stronie pierwszej równości do wspólnego mianownika i obliczmy ich sumę.

  $\frac{z{x}^2+y^{2}z+x{y}^2+z^{2}x+y{z}^2+x^{2}y}{xyz}=-2$

• Możemy pomnożyć wyrażenie obustronnie przez $xyz$, a następnie przenieść wszystko na lewą stronę.

  $z{x}^2+y^{2}z+x{y}^2+z^{2}x+y{z}^2+x^{2}y=-2xyz$

  $z{x}^2+y^{2}z+x{y}^2+z^{2}x+y{z}^2+x^{2}y+2xyz=0$

• Uzyskaliśmy zapis, w którym po prawej stronie - podobnie jak w tezie - znajduje się $0$.

  Spróbujmy tak pogrupować wyrazy po lewej stronie, aby możliwe było wyłączenie przed nawias czynnika $\left(x+y\right)$.

  $\left(z{x}^2+xyz\right)+\left(xyz+y^{2}z\right)+\left(x{y}^2+x^{2}y\right)+\left(z^{2}x+y{z}^2\right)=0$

  $zx\left(x+y\right)+yz\left(x+y\right)+xy\left(x+y\right)+z^2\left(x+y\right)=0$

  $\left(x+y\right)\left(zx+yz+xy+z^2\right)=0$

• Wyrażenia w drugim nawiasie łatwo pogrupować tak, by uzyskać tezę.

  $\left(x+y\right)\left(\left(yz+z^2\right)+\left(zx+xy\right)\right)=0$

  $\left(x+y\right)\left(z\left(y+z\right)+x\left(z+y\right)\right)=0$

  $\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0$.

Wykażemy, że jeżeli dla liczb rzeczywistych $x$, $y$, $z$ różnych od $0$ zachodzi równość

$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}=-2$,

to prawdziwa jest również również równość

$\frac{x^3}{y^3}+\frac{y^3}{x^3}+\frac{y^3}{z^3}+\frac{z^3}{y^3}+\frac{z^3}{x^3}+\frac{x^3}{z^3}=-2$.

Dowód

• Założenia w przykładzie 3 i 4 się pokrywają. Wiemy zatem, że zachodzi teza wykazana w przykładzie 3, który potraktujemy jako lemat.

• Wiemy, że prawdziwa jest równość

  $\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0$.

• Oznacza to, że przynajmniej jeden z nawiasów w powyższym iloczynie przyjmuje wartość $0$, czyli wśród liczb $x$, $y$, $z$ jest para liczb przeciwnych. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że liczbami przeciwnymi są $x$ i $z$. Przekształćmy lewą stronę tezy wykorzystując podstawienie $z=-x$. Zauważmy, że $z^3=-x^3$.

• $L=\frac{x^3}{y^3}+\frac{y^3}{x^3}+\frac{y^3}{z^3}+\frac{z^3}{y^3}+\frac{z^3}{x^3}+\frac{x^3}{z^3}=$

  $=\frac{x^3}{y^3}+\frac{y^3}{x^3}-\frac{y^3}{x^3}-\frac{x^3}{y^3}-\frac{x^3}{x^3}-\frac{x^3}{x^3}=-2=P$

Wykażemy, że dla parami różnych liczb dodatnich $x$, $y$ i $z$ zachodzi równość

$\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{x-z}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\frac{y-z}{\sqrt{y}-\sqrt{z}}$.

Dowód

• W dowodzie tożsamości wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, zapisując licznik każdego z ułamków w postaci iloczynu.

• Zacznijmy od lewej strony równości.

  $L=\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=$

  $=\frac{\bcancel{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\bcancel{\sqrt{x}-\sqrt{y}}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}=\left(i\right)$

• W podobny sposób przekształcimy prawą stronę.

  $P=\frac{x-z}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\frac{y-z}{\sqrt{y}-\sqrt{z}}=$

  $=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\frac{\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)}{\sqrt{y}-\sqrt{z}}=$

  $=\frac{\bcancel{\left(\sqrt{x}+\sqrt{z}\right)}\left(\sqrt{x}-\sqrt{z}\right)}{\bcancel{\sqrt{x}+\sqrt{z}}}+\frac{\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\bcancel{\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)}}{\bcancel{\sqrt{y}-\sqrt{z}}}=$

  $=\sqrt{x}-\sqrt{z}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{x}+\sqrt{y}=\left(ii\right)$

• Zauważmy, że $\left(i\right)=\left(ii\right)$ co oznacza, że analizowana tożsamość jest prawdziwa.

• kwadrat sumy:
  ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$
  ${\left(a+b+c\right)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

• kwadrat różnicy:
  ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$

• różnica kwadratów:
  $a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)$

• sześcian sumy:
  ${\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

• sześcian różnicy:
  ${\left(a-b\right)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

• suma sześcianów:
  $a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$

• różnica sześcianów:
  $a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)$