Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z przykładami zaprezentowanymi w animacji, a potem spróbuj samodzielnie wykonać Polecenie 2 i Polecenie 3.

RMHttiHllUnHd

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/Dz4rlx0i6

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej problemów prowadzących do rozwiązywania układów równań, z których jedno jest liniowe a drugie kwadratowe.

Polecenie 2

Wyznacz współrzędne punktów wspólnych prostej $3 x - y - 3 = 0$ i paraboli $y = x^{2} + 2 x - 3$ .

Rozwiążemy układ równań, który pozwoli nam wyznaczyć punkty wspólne paraboli oraz prostej o ile istnieją. Układ równań jest postaci

$\{\begin{cases} y = x^{2} + 2 x - 3 \\ 3 x - y - 3 = 0 . \end{cases}$

Z pierwszego równania wyznaczamy $y$ i wyrażenie $x^{2} + 2 x - 3$ wstawiamy w miejsce $y$ do drugiego równania:

$\{\begin{cases} y = x^{2} + 2 x - 3 \\ 3 x - (x^{2} + 2 x - 3) - 3 = 0 . \end{cases}$

Porządkujemy drugie równanie skad otrzymujemy

$\{\begin{cases} y = x^{2} + 2 x - 3 \\ - x^{2} + x = 0 . \end{cases}$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe $x^{2} - x = 0$ wyłączając $x$ przed nawias. Otrzymujemy

$x (x - 1) = 0$ .

Rozwiązaniami powyższego równania są $x_{1} = 0$ i $x_{2} = 1$ .

Wyznaczamy odpowiednio wartości niewiadomej $y$ dla $x_{1}$ oraz $x_{2}$ . Stąd

$y_{1} = - 3$ i $y_{2} = 0$ .

Rozwiązaniami układu równań są pary liczb

$\{\begin{cases} x = 0 \\ y = - 3 \end{cases} \lor \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 0. \end{cases}$

Układ równań można również rozwiązać wykorzystując interpretację geometryczną.

Po narysowaniu paraboli oraz prostej w układzie współrzędnych odczytujemy dwa punkty przecięcia $P_{1} = (0, - 3)$ i $P_{2} = (1, 0)$ .

Polecenie 3

Znajdź liczby których suma jest równa $8$ , a iloczyn jest równy $12$ .

Rozwiążemy układ równań, pozwalający wyznaczyć szukane liczby. Oznaczmy je jako $x$ oraz $y$ . Układ równań ma postać:

$\{\begin{cases} x + y = 8 \\ x y = 12. \end{cases}$

Wyznaczymy zmienną $y$ z pierwszego równania:

$\{\begin{cases} y = 8 - x \\ x y = 12. \end{cases}$

Wyrażenie $8 - x$ wstawiamy w miejsce $y$ do drugiego równania:

$\{\begin{cases} y = 8 - x \\ x (8 - x) = 12. \end{cases}$ .

Drugie równanie w powyższym układzie jest równaniem kwadratowym. Po wymnożeniu nawiasu oraz przeniesieniu czynnika liczbowego z prawej strony równania na lewą przyjmuje postać $- x^{2} + 8 x - 12 = 0$ .

Rozwiązujemy równanie kwadratowe zaczynając od obliczenia wyróżnika trójmianu kwadratowego, czyli

$Δ = b^{2} - 4 a c = 64 - 48 = 16$ , stąd $\sqrt{Δ} = 4$ .

Rozwiązaniami równania są

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 8 - 4}{- 2} = \frac{- 12}{- 2} = 6$ oraz $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 8 + 4}{- 2} = \frac{- 4}{- 2} = 2$ .

Wyznaczamy niewiadomą $y$ odpowiednio dla $x_{1}$ oraz $x_{2}$ . Zatem

$y_{1} = 8 - 6 = 2$ i $y_{2} = 8 - 2 = 6$ .

Rozwiązaniem układu równań są dwie par liczb $(2, 6)$ oraz $(6, 2)$ .

Przeczytaj

Sprawdź się