Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z animacją i wysłuchaj uważnie rozwiązań przedstawionych w nim problemów. Po zapoznaniu się z animacją, wykonaj polecenia $2$ i $3$ . Postaraj się rozwiązać zaproponowane zadania samodzielnie, a następnie przeprowadź samokontrolę za pomocą załączonych rozwiązań.

RITRYErRs00XL

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DzuTqx5mr

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczącej wykorzystania równań w proporcjonalności odwrotnej.

Polecenie 2

Dane są trzy trójkąty równoramienne o równych polach. Oblicz pole koła wpisanego w środkowy z tych trójkątów.

RWT2DaOzLBqaU

Ilustracja przedstawia trzy trójkąty równoramienne. Pierwszy o podstawie równej a i wysokości h. drugi o podstawie równej a minus trzy oraz wysokości h plus jeden. Trzeci o podstawie a plus jeden oraz wysokości 0 przecinek 9 h.

Zapiszmy pola tych trójkątów oraz założenia: $a > 3$ , $h > 0$ .

$I$ trójkąt: $P = \frac{1}{2} a h$

$II$ trójkąt: $P = \frac{1}{2} (a - 3) (h + 1)$

$III$ trójkąt: $P = \frac{1}{2} (a + 1) \cdot 0, 9 h$

$\frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} (a + 1) \cdot 0, 9 h | \cdot \frac{2}{h}$

$a = (a + 1) \cdot 0, 9$

$a = 0, 9 a + 0, 9$

$0, 1 a = 0, 9$

$a = 9$

$\frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} (a - 3) (h + 1) | \cdot 2$

$9 h = 6 (h + 1)$

$9 h = 6 h + 6$

$3 h = 6$

$h = 2$

Narysujmy środkowy trójkąt o podstawie $a - 3 = 9 - 3 = 6$ oraz wysokości $h + 1 = 2 + 1 = 3$ .

R1N76yeIX5TQE

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny ABC. Zaznaczono na nim wysokość CD dzielącą podstawę na dwa odcinki o długości trzy. W trójkąt wpisano okrąg o promieniu długości r. Promienie tworzą z bokami punkty F, E i D. Wysokość ma długość trzy.

Wówczas ramię trójkąta $A C = B C = 3 \sqrt{2}$

Obliczmy teraz promień okręgu wpisanego w trójkąt:

Trójkąt $B C D$ jest równoramienny, zatem trójkąt do niego podobny $O C E$ (kąt, kąt, kąt) jest także równoramienny. Wobec tego odcinek $C E$ jest równy promieniowi okręgu $r$ , a odcinek $B E = 3$ .

Stąd $3 \sqrt{2} - r = 3$ , czyli $r = 3 \sqrt{2} - 3 = 3 (\sqrt{2} - 1)$ .

Wobec tego pole koła wpisanego w trójkąt jest równe:

$P = π r^{2} = π {[3 (\sqrt{2} - 1)]}^{2} = π [9 (2 - 2 \sqrt{2} + 1)] = 9 π (3 - 2 \sqrt{2})$

Odpowiedź:

Pole koła wpisanego w środkowy trójkąt wynosi $P = 9 π (3 - 2 \sqrt{2})$ .

Polecenie 3

Licznik i mianownik pewnego ułamka niewłaściwego są liczbami dodatnimi i różnią się o trzy. Jeśli od licznika odejmiemy $10$ i tę różnicę podwoimy, a mianownik pomniejszymy o $4$ , to wartość ułamka nie zmieni się. Jaki to ułamek?

Oznaczmy przez $x$ licznik szukanego ułamka, a przez $y$ jego mianownik. Wiemy, że $x > y$ , a także $y > 4$ i $x > 10$ oraz $x - y = 3$ .

Wiemy także, że $\frac{2 (x - 10)}{y - 4} = \frac{x}{y}$ .

Wyznaczymy $x = y + 3$ i podstawimy do równania: $\frac{2 (y + 3 - 10)}{y - 4} = \frac{y + 3}{y}$

$\frac{2 y - 14}{y - 4} = \frac{y + 3}{y}$

$(2 y - 14) y = (y - 4) (y + 3)$

$2 y^{2} - 14 y = y^{2} - y - 12$

$y^{2} - 13 y + 12 = 0$

$∆ = 169 - 48 = 121$

$\sqrt{∆} = 11$

$y_{1} = \frac{13 - 11}{2} = 1$ , $y_{2} = \frac{13 + 11}{2} = 12$

Wtedy $x_{1} = y + 3 = 4$ , $x_{2} = y + 3 = 15$

Wobec założeń, że $y > 4$ i $x > 10$ stwierdzamy, że $x = 15$ oraz $y = 12$ . Zatem ułamek jest równy $\frac{15}{12}$ .

Sprawdzenie:

$\frac{2 (x - 10)}{y - 4} = \frac{2 (15 - 10)}{12 - 4} = \frac{2 \cdot 5}{8} = \frac{10 : 2}{8 : 2} = \frac{5 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{15}{12}$

Odpowiedź:

Szukanym ułamkiem jest $\frac{15}{12}$ .

Przeczytaj

Sprawdź się