Przeczytaj
Dwie dodatnie wielkości oraz nazywamy odwrotnie proporcjonalnymi, jeśli wraz ze wzrostem jednej z nich określoną liczbę razy, druga z nich maleje taką samą liczbę razy.
Iloczyn wielkości odwrotnie proporcjonalnych jest stały, tzn. .
Liczbę nazywamy współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.
Przykładami wielkości odwrotnie proporcjonalnych, z którymi spotykamy się bądź to w życiu codziennym, bądź w różnych dziedzinach nauki są:
prędkość i czas trwania ruchu przy stałej drodze do pokonania,
objętość gazu i jego ciśnienie przy stałej temperaturze,
liczba pracowników i czas wykonania pewnej ustalonej pracy (przy założeniu jednakowej wydajności pracowników),
ilość towaru i jego cena jednostkowa przy stałej kwocie przeznaczonej na zakup,
długości boków prostokąta przy stałym jego polu,
siła przyłożona do ramienia dźwigni i długość tego ramienia,
długość fali światła i jej częstotliwość.
Pierwszy kierowca wyjeżdża z bazy o godzinie . Godzinę później z tej samej bazy w tę samą trasę wyjeżdża drugi kierowca, jadący średnio o szybciej, niż pierwszy. Obliczymy, z jaką prędkością poruszają się obaj kierowcy, jeśli drugi dogoni pierwszego o godzinie .
Rozwiązanie:
Czas trwania podróży pierwszego kierowcy: .
Czas trwania podróży drugiego kierowcy:.
Korzystamy z zależności . Prędkość i czas przejazdu na stałej trasie są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.
Obaj kierowcy pokonają tę samą trasę w różnym czasie i z różną prędkością. Mamy zatem:
Odpowiedź:
Pierwszy kierowca poruszał się z prędkością , a drugi z prędkością .
Właściciel pensjonatu zgromadził zapas żywności dla osób na pewną liczbę dni. Obliczył, że jeśli przyjmie mniej gości, to przy zachowaniu ustalonych porcji, zapasy wystarczą mu na dni dłużej.
Obliczymy, na ile dni wystarczy zapasów, jeśli przyjedzie osób.
Wyrazimy za pomocą wzoru zależność między liczbą dni, na które wystarczą zgromadzone zapasy, a liczbą osób, dla których te zapasy wystarczą.
Obliczymy, ile osób wykarmi właściciel w ciągu dni. Podamy, na ile dni wystarczy zapasów, jeśli przyjedzie osób.
Naszkicujemy wykreswykres otrzymanej zależności.
Rozwiązanie:
Oznaczymy przez liczbę dni, na które wystarczą zgromadzone zapasy dla osób.
Liczba osób i liczba dni są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, tzn. im więcej osób, tym krótszy czas, na który wystarczą zgromadzone zapasy. Ponieważ iloczyn wielkości odwrotnie proporcjonalnych jest stały, mamy więc:
Zapasy wystarczą na dni dla osób.
Obliczymy teraz, że dla osób zapasów wystarczy na dni.
Korzystając z poprzednich wyników, obliczymy iloczyn liczby dni, na które wystarczą zgromadzone zapasy i liczby osób, dla których te zapasy wystarczą:
oraz
Jest to współczynnik proporcjonalności odwrotnej .
Niech oznacza liczbę osób, dla których wystarczą zgromadzone zapasy, a liczbę dni, na które te zapasy wystarczą. Szukana zależność jest proporcjonalnością odwrotnąproporcjonalnością odwrotną i wyraża się wzorem:
, gdzie .
zmienna
wartości
Odpowiedź:
Zapasów wystarczy na dni dla osób oraz na dni dla osób.
R1cu5UWXdh6s0
Na rysunku przedstawiono dwa graniastosłupy prawidłowe czworokątnegraniastosłupy prawidłowe czworokątne o równych objętościach. Oszacujemy pole podstawy pierwszego z nich.
Rozwiązanie:
oraz , oraz
,
,
Obliczymy teraz pole podstawy graniastosłupa o krawędzi podstawy :
Odpowiedź:
Pole powierzchni podstawy graniastosłupa jest równe około .
Pierwsza pompa opróżni basen w czasie o godzin krótszym niż druga. Po godzinach pracy pierwszej pompy resztę wody usunęła druga pompa w ciągu godzin. Obliczymy w jakim czasie każda z pomp samodzielnie opróżniłaby basen.
Rozwiązanie:
Przyjmijmy oznaczenia:
– czas pracy pompy potrzebny do opróżnienia basenu,
– czas pracy pompy potrzebny do opróżnienia basenu,
– część basenu opróżniona w ciągu godziny przez pompę,
– część basenu opróżniona w ciągu godziny przez pompę.
,
,
Odpowiedź:
Pierwsza pompa samodzielnie opróżniłaby basen w ciągu godzin, a druga w ciągu godzin.
Słownik
graniastosłup prosty o podstawie kwadratu; objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wyraża się wzorem:
gdzie:
– oznacza długość krawędzi podstawy graniastosłupa,
– jego wysokość
proporcjonalnością odwrotną nazywamy funkcję (zależność) postaci
gdzie i ; liczbę nazywamy współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej
wykresem proporcjonalności odwrotnej jest krzywa zwana hiperbolą; położenie hiperboli w układzie współrzędnych uzależnione jest od znaku współczynnika proporcjonalności :