Pierwszy kierowca wyjeżdża z bazy o godzinie $6:00$. Godzinę później z tej samej bazy w tę samą trasę wyjeżdża drugi kierowca, jadący średnio o $16 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$ szybciej, niż pierwszy. Obliczymy, z jaką prędkością poruszają się obaj kierowcy, jeśli drugi dogoni pierwszego o godzinie $11:30$.

Rozwiązanie:

Czas trwania podróży pierwszego kierowcy: $5\frac{1}{2} \mathrm{h}=5 \mathrm{h}$.

Czas trwania podróży drugiego kierowcy:$5\frac{1}{2} \mathrm{h}-1 \mathrm{h}=4 \mathrm{h}$.

Korzystamy z zależności $s=vt$. Prędkość i czas przejazdu na stałej trasie są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.

Obaj kierowcy pokonają tę samą trasę w różnym czasie i z różną prędkością. Mamy zatem:

$5\frac{1}{2}v=4\frac{1}{2}\left(v+16\right) |·2$

$11v=9\left(v+16\right)$

$11v=9v+144$

$11v-9v=144$

$2v=144 |:2$

$v=72 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$

$v+16=88$

Odpowiedź:

Pierwszy kierowca poruszał się z prędkością $72 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$, a drugi z prędkością $88 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.

Właściciel pensjonatu zgromadził zapas żywności dla $150$ osób na pewną liczbę dni. Obliczył, że jeśli przyjmie $20\%$ mniej gości, to przy zachowaniu ustalonych porcji, zapasy wystarczą mu na $5$ dni dłużej.

1. Obliczymy, na ile dni wystarczy zapasów, jeśli przyjedzie $150$ osób.

2. Wyrazimy za pomocą wzoru zależność między liczbą dni, na które wystarczą zgromadzone zapasy, a liczbą osób, dla których te zapasy wystarczą.

3. Obliczymy, ile osób wykarmi właściciel w ciągu $15$ dni. Podamy, na ile dni wystarczy zapasów, jeśli przyjedzie $250$ osób.

4. Naszkicujemy wykreswykres proporcjonalności odwrotnejwykres otrzymanej zależności.

Rozwiązanie:

Oznaczymy przez $x$ liczbę dni, na które wystarczą zgromadzone zapasy dla $150$ osób.

Liczba osób i liczba dni są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, tzn. im więcej osób, tym krótszy czas, na który wystarczą zgromadzone zapasy. Ponieważ iloczyn wielkości odwrotnie proporcjonalnych jest stały, mamy więc:

$150x=0,8·150\left(x+5\right)$

$150x=120\left(x+5\right)$

$150x=120x+600$

$30x=600 |:30$

$x=20$

1. Zapasy wystarczą na $20$ dni dla $150$ osób.

2. Obliczymy teraz, że dla $0,8·150=120$ osób zapasów wystarczy na $25$ dni.

   Korzystając z poprzednich wyników, obliczymy iloczyn liczby dni, na które wystarczą zgromadzone zapasy i liczby osób, dla których te zapasy wystarczą:

   $20·150=3000$ oraz $25·120=3000$

   Jest to współczynnik proporcjonalności odwrotnej $a=3000$.

   Niech $y$ oznacza liczbę osób, dla których wystarczą zgromadzone zapasy, a $x$ liczbę dni, na które te zapasy wystarczą. Szukana zależność jest proporcjonalnością odwrotnąproporcjonalność odwrotnaproporcjonalnością odwrotną i wyraża się wzorem:

   $y=\frac{3000}{x}$, gdzie $x>0$.

3. zmienna	wartości
   $x$	$20$	$25$	$15$	$12$
   $y$	$150$	$120$	$200$	$250$

   $y=\frac{3000}{15}=200$

   $250=\frac{3000}{x}$

   $x=\frac{3000}{250}=12$

   Odpowiedź:

   Zapasów wystarczy na $15$ dni dla $200$ osób oraz na $12$ dni dla $250$ osób.

4. R1cu5UWXdh6s0

   Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych z osiami X od minus 5 do 70 oraz osią Y od minus 50 do 550 jednostek. Wykres funkcji homograficznej $y=\frac{3000}{x}$. Zaznaczono punkty na hiperboli. $\left(15;200\right)$, $\left(20;150\right)$, $\left(25;125\right)$.

   

Na rysunku przedstawiono dwa graniastosłupy prawidłowe czworokątnegraniastosłup prawidłowy czworokątnygraniastosłupy prawidłowe czworokątne o równych objętościach. Oszacujemy pole podstawy pierwszego z nich.

ROT9upRwOhMSd

Ilustracja przedstawia dwa graniastosłupy prawidłowe czworokątne. Pierwszy o wymiarach długości a, szerokości a oraz wysokości H. Drugi o wymiarach długości a plus 5, głębokości a plus 5 oraz wysokości 0 przecinek 8 setnych H.

Rozwiązanie:

$V=a^2·H$ oraz $V={\left(a+5\right)}^2·0,8H$ , $a>0$ oraz $H>0$

$a^2·H={\left(a+5\right)}^2·0,8H |:H$

$a^2={\left(a+5\right)}^2·0,8$

$a^2=\left(a^2+10a+25\right)·0,8$

$a^2=0,8a^2+8a+20$

$0,2a^2-8a-20=0 |·5$

$a^2-40a-100=0$

$∆=1600+400=2000$

$\sqrt{∆}=20\sqrt{5}$

$a_1=\frac{40-20\sqrt{5}}{2}$ , $a_2=\frac{40+20\sqrt{5}}{2}$

$a_1=20-10\sqrt{5}<0$ , ${\mathit{a}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{20}\mathbf{+}\mathbf{10}\sqrt{\mathbf{5}}$

Obliczymy teraz pole podstawy graniastosłupa o krawędzi podstawy $a=20+10\sqrt{5}$:

$P={\left(20+10\sqrt{5}\right)}^2=400+400\sqrt{5}+500=$

$=900+400\sqrt{5}\approx 900+894\approx 1794$

Odpowiedź:

Pole powierzchni podstawy graniastosłupa jest równe około $1794$.

Pierwsza pompa opróżni basen w czasie o $8$ godzin krótszym niż druga. Po $15$ godzinach pracy pierwszej pompy resztę wody usunęła druga pompa w ciągu $12$ godzin. Obliczymy w jakim czasie każda z pomp samodzielnie opróżniłaby basen.

Rozwiązanie:

Przyjmijmy oznaczenia:

$x$ – czas pracy $\text{I}$ pompy $\left[\mathrm{h}\right]$ potrzebny do opróżnienia basenu,
$y$ – czas pracy $\text{II}$ pompy $\left[\mathrm{h}\right]$ potrzebny do opróżnienia basenu,
$\frac{1}{x}$ – część basenu opróżniona w ciągu $1$ godziny przez $\text{I}$ pompę,
$\frac{1}{y}$ – część basenu opróżniona w ciągu $1$ godziny przez $\text{II}$ pompę.

$\left\{\begin{array}{l}x=y-8 \left(x>0,\hspace{0.33em}y>8\right)\\ 15\cdot \frac{1}{x}+12\cdot \frac{1}{y}=1\end{array}\right.$

$\frac{15}{x}+\frac{12}{x+8}=1 |\cdot x\left(x+8\right)$

$15\left(x+8\right)+12x=x^2+8x$

$x^2-19x-120=0$

$∆={\left(-19\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-120\right)=841$

$\sqrt{∆}=29$

$x_1=\frac{19-29}{2}<0$, $x_2=\frac{19+29}{2}=24$

$x=24 \mathrm{h}$, $y=32 \mathrm{h}$

Odpowiedź:

Pierwsza pompa samodzielnie opróżniłaby basen w ciągu $24$ godzin, a druga w ciągu $32$ godzin.

graniastosłup prosty o podstawie kwadratu; objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wyraża się wzorem:

gdzie:
$a$ – oznacza długość krawędzi podstawy graniastosłupa,
$h$ – jego wysokość

proporcjonalnością odwrotną nazywamy funkcję (zależność) postaci

gdzie $x\ne 0$ i $a\ne 0$; liczbę $a$ nazywamy współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej

wykresem proporcjonalności odwrotnej jest krzywa zwana hiperbolą; położenie hiperboli w układzie współrzędnych uzależnione jest od znaku współczynnika proporcjonalności $a$:

R8ltKO9Zalvgl

Ilustracja przedstawia dwa układy współrzędnych z osią X od minus 4 do czterech oraz osią Y os minus 4 do czterech. Na pierwszym zaznaczono wykres funkcji homograficznej w postaci hiperboli w pierwszej oraz trzeciej ćwiartce gdzie a będzie większe od zera. Na drugim zaznaczono wykres funkcji homograficznej w postaci hiperboli znajdującej się w drugiej oraz czwartej ćwiartce układu współrzędnych, gdzie a będzie mniejsze od zera.