Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Marcin jeździ do szkoły motorowerem, poruszając się ze średnią prędkością $45 \frac{km}{h}$ . W czwartki rozpoczyna lekcje o $8 : 00$ , więc wyjeżdża z domu o $7 : 25$ , przy czym $10$ minut zajmuje mu zakup kanapki w piekarni na trasie i wchodzi do klasy dokładnie o $7 : 55$ . W tym tygodniu w czwartek zaspał i wyjechał z domu $28$ minut później niż zwykle. Mimo, że nie kupił po drodze kanapki, to wszedł do klasy spóźniony: o $8 : 05$ . Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał tego dnia Marcin.

Obliczymy długość drogi Marcina z domu do szkoły:

Czas jazdy: $20 minut = \frac{1}{3} godziny$

Średnia prędkość: $45 \frac{km}{h}$

Ponieważ $s = v t$ , więc $s = \frac{1}{3} \cdot 45 km = 15 km$ .

W feralny czwartek droga z domu do szkoły zajęła Marcinowi tylko $12 minut = \frac{1}{5} godziny$ .

Obliczmy więc z jaką prędkością musiał pokonać tę drogę.

Ponieważ $v = \frac{s}{t}$ , więc $v = \frac{15 k m}{\frac{1}{5} h} = 15 k m \cdot 5 \frac{1}{h} = 75 \frac{km}{h}$

Odpowiedź:

Marcin jechał ze średnią prędkością $75 \frac{km}{h}$ .

R1ROvcNil8kMM1

Ćwiczenie 2

Trzech robotników wykopało rów w $10$ dni. Ile czasu potrzeba na wykopanie takiego samego rowu przez pięciu robotników o takiej samej wydajności?

$8$ dni
$6$ dni
$5$ dni
$4$ dni

Rv3QGpOkfCiR71

Ćwiczenie 3

Turysta wyruszył samochodem o godzinie $12 : 00$ w $90$ kilometrową trasę. Gdyby poruszał się ze średnią prędkością o $30 \frac{km}{h}$ mniejszą, czas jego jazdy wydłużyłby się o $48$ minut. Turysta dotarł do celu o godzinie:

$12 : 48$
$13 : 00$
$13 : 12$
$13 : 24$

R2kKp7FvE4T7z2

Ćwiczenie 4

Dostępne opcje do wyboru:

2, 68

6000

\frac{5}{π}

14

2, 88

9000

2, 98

12000

12

\frac{9}{π}

3000

16

17

\frac{4}{π}

\frac{7}{π}

15

2, 78

. Polecenie: Koło o obwodzie

2, 4 m

wykonało na pewnym odcinku

3000

obrotów.
Uzupełnij zdania. Koło o obwodzie

0, 8 m

wykona na tym odcinku luka do uzupełnienia obrotów.

2500

obrotów wykona na tym odcinku koło o obwodzie luka do uzupełnienia metrów.

Promień koła, które na tym odcinku wykona

400

obrotów, ma długość luka do uzupełnienia metrów.

Koło o pewnym obwodzie, na drodze długości

7, 2 km

, wykonało pewną liczbę obrotów. Jeżeli obwód tego koła byłby większy o

5 m

, to liczba obrotów byłaby mniejsza o

120

. Koło to ma obwód luka do uzupełnienia metrów.

Koło o obwodzie $2, 4 m$ wykonało na pewnym odcinku $3000$ obrotów.
Uzupełnij zdania:

$2, 98$ , $\frac{9}{π}$ , $9000$ , $6000$ , $\frac{4}{π}$ , $2, 68$ , $16$ , $12$ , $14$ , $2, 78$ , $15$ , $17$ , $\frac{7}{π}$ , $2, 88$ , $\frac{5}{π}$ , $3000$ , $12000$

Koło o obwodzie $0, 8 m$ wykona na tym odcinku obrotów.

$2500$ obrotów wykona na tym odcinku koło o obwodzie metrów.

Promień koła, które na tym odcinku wykona $400$ obrotów, ma długość metrów.

Koło o pewnym obwodzie, na drodze długości $7, 2 k m$ , wykonało pewną liczbę obrotów. Jeżeli obwód tego koła byłby większy o $5 m$ , to liczba obrotów byłaby mniejsza o $120$ . Koło to ma obwód metrów.

Ćwiczenie 5

Większa koparka wykonuje pewną pracę $P$ w czasie o $12$ dni krótszym niż koparka mniejsza. Razem mogą wykonać tę pracę w ciągu $8$ dni. Pracowały razem $3$ dni, po czym większą koparkę odesłano do innej pracy. Ile dni potrzebuje mniejsza koparka na dokończenie rozpoczętej pracy?

$x$ – liczba dni potrzebnych do wykonania pracy $P$ przez koparkę mniejszą

$x - 12$ – liczba dni potrzebnych do wykonania pracy $P$ przez koparkę większą

$\frac{P}{x}$ – norma dzienna pracy mniejszej koparki

$\frac{P}{x - 12}$ – norma dzienna pracy większej koparki $(x > 12)$

$(\frac{P}{x} + \frac{P}{x - 12}) \cdot 8 = P | : P$

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 12}) \cdot 8 = 1 | \cdot x (x - 12)$

$8 \cdot (x - 12 + x) = x (x - 12)$

$16 x - 96 = x^{2} - 12 x$

$x^{2} - 28 x + 96 = 0$

$∆ = {(- 28)}^{2} - 4 \cdot 96 = 400$

$\sqrt{∆} = 20$

$x_{1} = 4 \notin D$ , $x_{2} = 24$

Czyli: $x = 24$ , $x - 12 = 12$

Mniejsza koparka wykonuje pracę w ciągu $24$ dni, a większa w ciągu $12$ dni.

Praca wykonana przez obie koparki razem w ciągu $3$ dni wyniesie:

$(\frac{P}{24} + \frac{P}{12}) \cdot 3 = \frac{3 P}{24} \cdot 3 = \frac{3}{8} P$

Pozostało do wykonania $\frac{5}{8} P$ , stąd dodatkowy czas pracy mniejszej koparki wyniósł:

$\frac{5}{8} P : \frac{P}{24} = \frac{5 P}{8} \cdot \frac{24}{P} = 15$

Odpowiedź:

Mniejsza koparka potrzebuje na dokończenie pracy $15$ dni.

R6FaX6PKh8kG42

Ćwiczenie 6

Łączenie par. Dwie liczby naturalne różnią się o

4

, a ich odwrotności o

\frac{1}{24}

. Oceń prawdziwość zdań:. Kwadrat sumy tych liczb jest równy

400

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Różnica kwadratów tych liczb jest równa

100

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz.

N W W

tych liczb wynosi

48

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Stosunek kwadratu większej z tych liczb do liczby mniejszej jest liczbą całkowitą.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Dwie liczby naturalne różnią się o $4$ , a ich odwrotności o $\frac{1}{24}$ . Oceń prawdziwość zdań:

	Prawda	Fałsz
Kwadrat sumy tych liczb jest równy $400$ .	□	□
Różnica kwadratów tych liczb jest równa $100$ .	□	□
$N W W$ tych liczb wynosi $48$ .	□	□
Stosunek kwadratu większej z tych liczb do liczby mniejszej jest liczbą całkowitą.	□	□

Ćwiczenie 7

Basen napełniany jest rurami $X$ i $Y$ , a opróżniany rurą $Z$ . Czas napełniania basenu:

przy otwartych tylko rurach $X$ i $Y$ wynosi $2 h$ ,

przy otwartych tylko rurach $X$ i $Z$ wynosi $10 h$ ,

przy otwartych tylko rurach $Y$ i $Z$ wynosi $5 h$ .

Po jakim czasie basen napełni się, jeśli wszystkie rury będą otwarte?
Ile czasu zajmie napełnienie basenu tylko rurą $X$ , a ile tylko rurą $Y$ ?
Po jakim czasie rurą $Z$ można opróżnić basen?

$x$ – czas napełniania basenu rurą $X$ ,

$\frac{1}{x}$ – część basenu napełniana w czasie $1 h$ rurą $X$ ,

$y$ – czas napełniania basenu rurą $Y$ ,

$\frac{1}{y}$ – część basenu napełniana w czasie $1 h$ rurą $Y$ ,

$z$ – czas opróżniania basenu rurą $Z$ ,

$\frac{1}{z}$ – część basenu opróżniana w czasie $1 h$ rurą $Z$ .

Z treści zadania mamy, że:

$\{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{z} = \frac{1}{10} \\ \frac{1}{y} - \frac{1}{z} = \frac{1}{5} \end{cases}$

Dodając stronami równania w powyższym układzie równań, dostajemy:

$2 (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{z}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{10} + \frac{1}{5} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ ,

czyli

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{z} = \frac{2}{5}$ .

Zatem czas napełniania przy otwartych wszystkich rurach wynosi: $\frac{5}{2} h = 2, 5 h$ .

Odejmując stronami: $\{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{z} = \frac{2}{5} \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \end{cases}$ dostajemy: $- \frac{1}{z} = \frac{2}{5} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{10}$ , czyli $z = 10 h$

Odejmując stronami: $\{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{z} = \frac{2}{5} \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{z} = \frac{1}{10} \end{cases}$ , dostajemy: $\frac{1}{y} = \frac{2}{5} - \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$ , czyli $y = \frac{10}{3} h = 3 h 20 \min$

Odejmując stronami: $\{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{z} = \frac{2}{5} \\ \frac{1}{y} - \frac{1}{z} = \frac{1}{5} \end{cases}$ , dostajemy: $\frac{1}{x} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5} = \frac{1}{5}$ czyli $x = 5 h$

Odpowiedź:

Jeśli wszystkie rury będą otwarte, basen napełni się w ciągu $2, 5$ godziny. Napełnianie basenu tylko rurą $X$ zajmie $5$ godzin, a tylko rurą $Y$ – zajmie $3$ godziny $20$ minut. Basen można opróżnić rurą $Z$ w ciągu $10$ godzin.

Ćwiczenie 8

Pojemnik na odpady radioaktywne jest ołowianym zamkniętym walcem o grubości ścian równej $1, 5 dm$ . Wyraź objętość wewnętrznego walca jako funkcję jego promienia, jeśli objętość pojemnika wynosi $432 π {dm}^{3}$ .

R12RzuDOaqIeu

Ilustracja przedstawia pojemnik w kształcie walca. Promień walca wynosi r, a wysokość H. Grubość ściany jest równa półtorej decymetra.

$r$ – promień wewnętrznego walca,

$h$ – wysokość wewnętrznego walca.

$V_{c} = π {(r + 1, 5)}^{2} \cdot (h + 3) = 432 π$ ,

zatem

$h = \frac{432}{{(r + 1, 5)}^{2}} - 3$

$r > 0$ i $h > 0$

$\frac{432}{{(r + 1, 5)}^{2}} - 3 > 0$

$432 > 3 {(r + 1, 5)}^{2} | : 3$

${(r + 1, 5)}^{2} < 144$

$r + 1, 5 < 12$

$r < 10, 5$

Stąd $0 < r < 10, 5$ .

Szukana objętość walca wewnętrznego

$V = π r^{2} h$

$V = π r^{2} [\frac{432}{{(r + 1, 5)}^{2}} - 3]$ , gdzie $0 < r < 10, 5$ .

Animacja

Dla nauczyciela