Aplet

Polecenie 1

Zapoznaj się z apletem pokazującym wykresy ciągów. Określ w każdym przypadku monotoniczność ciągów. Porównaj z zapisami w aplecie.

RFjm5eJvDsfbv

Sprawdź monotoniczność podanych ciągów poprzez obliczenie różnicy

a_{n + 1} - a_{n}

.
Zaznacz prawidłową odpowiedź dla każdego ciągu. 1. Ciąg

(a_{n})

o wyrazie ogólnym

a_{n} = 3 \cdot {(\frac{4}{5})}^{n} + 2

jest:
rosnący/stały/malejący.

2. Ciąg

(a_{n})

o wyrazie ogólnym

a_{n} = 2 \cdot {(\frac{3}{4})}^{n} + 1

jest:
rosnący/stały/malejący.

3. Ciąg

(a_{n})

o wyrazie ogólnym

a_{n} = - 1

jest:
rosnący/stały/malejący.

4. Ciąg

(a_{n})

o wyrazie ogólnym

a_{n} = \frac{1}{2} n + 1

jest:
rosnący/stały/malejący.

5. Ciąg

(a_{n})

o wyrazie ogólnym

a_{n} = \frac{2}{3} \cdot {(\frac{5}{4})}^{n + 1}

jest:
rosnący/stały/malejący.

6. Ciąg

(a_{n})

o wyrazie ogólnym

a_{n} = - n - 1

jest:
rosnący/stały/malejący.

RedtFteWkmvrI

Polecenie 2

Sporządź wykres każdego z ciągów i określ, czy jest to ciąg stały, malejący czy rosnący.

Podaj pierwsze sześć wyrazów każdego z ciągów. Oblicz różnicę $a_{n + 1} - a_{n}$ i na tej podstawie określ, czy jest to ciąg stały, malejący czy rosnący.

$a_{n} = - n (n - 1) + n^{2}$

$b_{n} = - 2 n + 6$

$c_{n} = n - 7$

$d_{n} = n^{2} + 2$

$e_{n} = (n - 2) (n + 1) - (n + 1) (n + 2) + 4 n$

(a_{n})

– ciąg rosnący

(a_{n})

– ciąg rosnący

RLjwB8LUmVIWT

(b_{n})

– ciąg malejący

(b_{n})

– ciąg malejący

R1Cb0Lc1AwJqZ

(c_{n})

– ciąg rosnący

(c_{n})

– ciąg rosnący

R1FaqiSGion4E

(d_{n})

– ciąg rosnący

(d_{n})

– ciąg rosnący

R1W9e5OJnBa5f

(e_{n})

– ciąg stały

(e_{n})

– ciąg stały

RYNS0Od83UVEA

Rozpatrzymy najpierw ciąg $a_{n}$ . Jego pierwsze sześć wyrazów to: $a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{3} = 3, a_{4} = 4, a_{5} = 5, a_{6} = 6$ .

Różnica dwóch kolejnych wyrazów to: $a_{n + 1} - a_{n} = - (n + 1) (n + 1 - 1) + {(n + 1)}^{2} - (- n (n - 1) + n^{2}) = 1 > 0$ , więc ciąg jest rosnący.

Rozpatrzymy następnie ciąg $b_{n}$ . Jego pierwsze sześć wyrazów to: $b_{1} = 4, b_{2} = 2, b_{3} = 0, b_{4} = - 2, b_{5} = - 4, b_{6} = - 6$ .

Różnica dwóch kolejnych wyrazów to: $b_{n + 1} - b_{n} = - 2 (n + 1) + 6 - (- 2 n + 6) = - 2 < 0$ , czyli ciąg jest malejący.

Rozpatrzymy następnie ciąg $c_{n}$ . Jego pierwsze sześć wyrazów to: $c_{1} = - 6, c_{2} = - 5, c_{3} = - 4, c_{4} = - 3, c_{5} = - 2, c_{6} = - 1$ .

Różnica dwóch kolejnych wyrazów to: $c_{n + 1} - c_{n} = (n + 1) - 7 - (n - 7) = 1 > 0$ , czyli ciąg jest rosnący.

Rozpatrzymy następnie ciąg $d_{n}$ . Jego pierwsze sześć wyrazów to: $d_{1} = 3, d_{2} = 6, d_{3} = 11, d_{4} = 18, d_{5} = 27, d_{6} = 38$ .

Różnica dwóch kolejnych wyrazów to: $d_{n + 1} - d_{n} = {(n + 1)}^{2} + 2 - (n^{2} + 2) = 2 n + 1 > 0$ , ponieważ $n = 1, 2, 3, . . .$ . Zatem ciąg ten jest rosnący.

Rozpatrzymy następnie ciąg $e_{n}$ . Jego pierwsze sześć wyrazów to: $e_{1} = - 4, e_{2} = 4, e_{3} = - 4, e_{4} = - 4, e_{5} = - 4, e_{6} = - 4$ .

Różnica dwóch kolejnych wyrazów to: $e_{n + 1} - e_{n} = (n + 1 - 2) (n + 1 + 1) - (n + 1 + 1) (n + 1 + 2) +$

$+ 4 (n + 1) - (n - 2) (n + 1) + (n + 1) (n + 2) - 4 n = 0$ , więc ciąg jest stały.

Przeczytaj

Sprawdź się