Przykład 1

Wypiszemy kilka początkowych wyrazów ciągu an określonego wzorem ogólnym an=n3-10 dla n+.

a1=1-10=-9

a2=8-10=-2

a3=27-10=17

a4=64-10=54

a5=125-10=115

a6=216-10=206

Zauważmy, że każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest większy od wyrazu poprzedniego, czyli ciąg an jest ciągiem rosnącym.

Ciąg rosnący
Definicja: Ciąg rosnący

Ciąg an nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest większy od wyrazu poprzedniego.

Czyli dla każdej liczby n+ spełniona jest nierówność an+1>an.

R9zxhkHpFn4Tl
Przykład 2

Uzasadnimy, że ciąg an określony wzorem ogólnym an=4n-1 dla n+ jest ciągiem rosnącymciąg rosnącyciągiem rosnącym.

W tym celu określimy wyraz an+1.

an+1=4n+1-1=4n+3

Zatem

an+1=4n+3=4n-1+4

an+1=an+4

an+1>an

c.n.d

Przykład 3

W tabelce zapisanych jest kilka początkowych wyrazów ciągu an.

Początkowe wyrazy ciągu an

n

1

2

3

4

5

an

18

15

12

9

6

Zauważmy, że każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest mniejszy od wyrazu poprzedniego, czyli ciąg an jest ciągiem malejącym.

Ciąg malejący
Definicja: Ciąg malejący

Ciąg an nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest mniejszy od wyrazu poprzedniego.

Czyli dla każdej liczby n+ spełniona jest nierówność an+1<an.

RF8Mj3LV7dQAv
Przykład 4

Uzasadnimy, że ciąg an określony wzorem ogólnym an=-2n+1 dla n+ jest ciągiem malejącymciąg malejącyciągiem malejącym.

W tym celu określimy wyraz an+1.

an+1=-2n+1+1=-2n-1

Zatem

an+1=-2n-1=-2n+1-2

an+1=an-2

an+1<an

c.n.d

Przykład 5

Ciąg an o wyrazach dodatnich jest malejący. Zbadamy monotoniczność ciągu bn określonego wzorem bn=2+an22.

Określamy zależność między wyrazami bn+1bn.

bn+1=2+an+122<2+an22=bn

Ponieważ

bn+1<bn, więc wynika z tego, że ciąg bn jest malejący.

Przykład 6

Na wykresie zaznaczono kilka początkowych wyrazów ciągu an.

ROdxiDwxMZMpy

Zauważmy, że każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu, czyli ciąg an jest ciągiem stałymciąg stałyciągiem stałym.

Ciąg stały
Definicja: Ciąg stały

Ciąg an nazywamy stałym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu.

Czyli dla każdej liczby n+ spełniona jest nierówność an+1=an.

Nie każdy ciąg jest rosnący, malejący lub stały.

Przykład 7

Liczby:

1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... są kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu an określonego dla n+.

Każdy wyraz ciągu (oprócz pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu lub większy od tego wyrazu. O takim ciągu mówimy, że jest niemalejący.

Ciąg niemalejący
Definicja: Ciąg niemalejący

Ciąg an nazywamy niemalejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu lub większy od wyrazu poprzedniego.

Czyli dla każdej liczby n+ spełniona jest nierówność an+1an.

W podobny sposób możemy określić ciąg nierosnący.

Ciąg nierosnący
Definicja: Ciąg nierosnący

Ciąg an nazywamy nierosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu lub mniejszy od wyrazu poprzedniego.

Czyli dla każdej liczby n+ spełniona jest nierówność an+1an.

O ciągach rosnących, malejących, stałych, nierosnących, niemalejących mówimy, że są to ciągi monotoniczne.

Nie wszystkie ciągi są monotoniczne. Żeby to udowodnić, wystarczy pokazać, że w danym ciągu an istnieją dwa wyrazy takie, że ak+1<ak i dwa wyrazy takie, że at+1>at, gdzie k,t+.

RDVMoLCdPqAvc
Przykład 8

Uzasadnimy, że ciąg an określony wzorem an=-2n nie jest monotoniczny.

  1. Niech n będzie liczbą parzystą. Wtedy n+1 jest liczbą nieparzystą.

    Wówczas an=-2n=2n>0 oraz an+1=-2n+1=-2n+1<0

    Zatem an+1<an.

  2. Niech n będzie liczbą nieparzystą. Wtedy n+1 jest liczbą parzystą.

    Wówczas an=-2n=-2n<0 oraz an+1=-2n+1=2n+1>0

    Zatem an+1>an.

Słownik

ciąg rosnący
ciąg rosnący

ciąg an nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest większy od wyrazu poprzedniego; czyli dla każdej liczby n+ spełniona jest nierówność an+1>an

ciąg malejący
ciąg malejący

ciąg an nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest mniejszy od wyrazu poprzedniego; czyli dla każdej liczby n+ spełniona jest nierówność an+1<an

ciąg stały
ciąg stały

ciąg an nazywamy stałym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu; czyli dla każdej liczby n+ spełniona jest nierówność an+1=an