Przeczytaj
Wypiszemy kilka początkowych wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym dla .
Zauważmy, że każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest większy od wyrazu poprzedniego, czyli ciąg jest ciągiem rosnącym.
Ciąg nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest większy od wyrazu poprzedniego.
Czyli dla każdej liczby spełniona jest nierówność .
![Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią n od minus jeden do sześciu oraz z pionową osią an od minus dziesięciu do trzydziestu z podziałką co dziesięć. Na płaszczyźnie zaznaczono pięć punktów i poprowadzono przez nie linią przerywaną krzywą w kształcie prawego ramienia paraboli skierowanego do góry. Krzywa ma początek w punkcie 0;0 i biegnie w pierwszej ćwiartce.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R9zxhkHpFn4Tl/1645454850/5bfv1skr8SnrmrhXLXuABLrhXE3YHH7.png)
Uzasadnimy, że ciąg określony wzorem ogólnym dla jest ciągiem rosnącymciągiem rosnącym.
W tym celu określimy wyraz .
Zatem
c.n.d
W tabelce zapisanych jest kilka początkowych wyrazów ciągu .
Początkowe wyrazy ciągu | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Zauważmy, że każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest mniejszy od wyrazu poprzedniego, czyli ciąg jest ciągiem malejącym.
Ciąg nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest mniejszy od wyrazu poprzedniego.
Czyli dla każdej liczby spełniona jest nierówność .
![Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią n od minus jeden do sześciu oraz z pionową osią an od minus dziesięciu do trzydziestu z podziałką co dziesięć. Na płaszczyźnie zaznaczono pięć punktów i poprowadzono przez nie linią przerywaną krzywą w kształcie łuku znajdującego się w pierwszej ćwiartce. Łuk wybrzuszony jest w stronę początku układu współrzędnych.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RF8Mj3LV7dQAv/1645454850/1Hah6laImFdpPHKkL1KynerTGzozhWeJ.png)
Uzasadnimy, że ciąg określony wzorem ogólnym dla jest ciągiem malejącymciągiem malejącym.
W tym celu określimy wyraz .
Zatem
c.n.d
Ciąg o wyrazach dodatnich jest malejący. Zbadamy monotoniczność ciągu określonego wzorem .
Określamy zależność między wyrazami i .
Ponieważ
, więc wynika z tego, że ciąg jest malejący.
Na wykresie zaznaczono kilka początkowych wyrazów ciągu .
![Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią n od minus jeden do sześciu oraz z pionową osią an od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono siedem następujących punktów: 1;3, 2;3, 3;3, 4;3, 5;3, 6;3, 7;3.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/ROdxiDwxMZMpy/1645454851/tLXIaeInpZa9RkQBHKpAlZk8o4rOuLkN.png)
Zauważmy, że każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu, czyli ciąg jest ciągiem stałymciągiem stałym.
Ciąg nazywamy stałym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu.
Czyli dla każdej liczby spełniona jest nierówność .
Nie każdy ciąg jest rosnący, malejący lub stały.
Liczby:
, , , , , , , , , , , , , , , , są kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu określonego dla .
Każdy wyraz ciągu (oprócz pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu lub większy od tego wyrazu. O takim ciągu mówimy, że jest niemalejący.
Ciąg nazywamy niemalejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu lub większy od wyrazu poprzedniego.
Czyli dla każdej liczby spełniona jest nierówność .
W podobny sposób możemy określić ciąg nierosnący.
Ciąg nazywamy nierosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu lub mniejszy od wyrazu poprzedniego.
Czyli dla każdej liczby spełniona jest nierówność .
O ciągach rosnących, malejących, stałych, nierosnących, niemalejących mówimy, że są to ciągi monotoniczne.
Nie wszystkie ciągi są monotoniczne. Żeby to udowodnić, wystarczy pokazać, że w danym ciągu istnieją dwa wyrazy takie, że i dwa wyrazy takie, że , gdzie .
![Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią n od minus jeden do ośmiu oraz z pionową osią an od minus dwóch do dwóch. Na płaszczyźnie zaznaczono siedem punktów. Punkty o parzystej pierwszej współrzędnej znajdują się w pierwszej ćwiartce. Poprowadzono przez nie linią przerywaną krzywą w kształcie łuku o wybrzuszeniu w kierunku początku układu współrzędnych. Prawe ramię łuku wypłaszcza się do poziomej dodatniej półosi. Punkty o nieparzystej pierwszej współrzędnej znajdują się w czwartej ćwiartce. Poprowadzono przez nie linią przerywaną krzywą w kształcie łuku o wybrzuszeniu w kierunku początku układu współrzędnych. Prawe ramię łuku wypłaszcza się do poziomej dodatniej półosi.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RDVMoLCdPqAvc/1645454851/YHFLibMtIHd4MPJsQhBi3ChBteqnTVLX.png)
Uzasadnimy, że ciąg określony wzorem nie jest monotoniczny.
Niech będzie liczbą parzystą. Wtedy jest liczbą nieparzystą.
Wówczas oraz
Zatem .
Niech będzie liczbą nieparzystą. Wtedy jest liczbą parzystą.
Wówczas oraz
Zatem .
Słownik
ciąg nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest większy od wyrazu poprzedniego; czyli dla każdej liczby spełniona jest nierówność
ciąg nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest mniejszy od wyrazu poprzedniego; czyli dla każdej liczby spełniona jest nierówność
ciąg nazywamy stałym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu; czyli dla każdej liczby spełniona jest nierówność