Przeczytaj
Wypiszemy kilka początkowych wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym dla .
Zauważmy, że każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest większy od wyrazu poprzedniego, czyli ciąg jest ciągiem rosnącym.
Ciąg nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest większy od wyrazu poprzedniego.
Czyli dla każdej liczby spełniona jest nierówność .
Uzasadnimy, że ciąg określony wzorem ogólnym dla jest ciągiem rosnącymciągiem rosnącym.
W tym celu określimy wyraz .
Zatem
c.n.d
W tabelce zapisanych jest kilka początkowych wyrazów ciągu .
Początkowe wyrazy ciągu | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Zauważmy, że każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest mniejszy od wyrazu poprzedniego, czyli ciąg jest ciągiem malejącym.
Ciąg nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest mniejszy od wyrazu poprzedniego.
Czyli dla każdej liczby spełniona jest nierówność .
Uzasadnimy, że ciąg określony wzorem ogólnym dla jest ciągiem malejącymciągiem malejącym.
W tym celu określimy wyraz .
Zatem
c.n.d
Ciąg o wyrazach dodatnich jest malejący. Zbadamy monotoniczność ciągu określonego wzorem .
Określamy zależność między wyrazami i .
Ponieważ
, więc wynika z tego, że ciąg jest malejący.
Na wykresie zaznaczono kilka początkowych wyrazów ciągu .
Zauważmy, że każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu, czyli ciąg jest ciągiem stałymciągiem stałym.
Ciąg nazywamy stałym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu.
Czyli dla każdej liczby spełniona jest nierówność .
Nie każdy ciąg jest rosnący, malejący lub stały.
Liczby:
, , , , , , , , , , , , , , , , są kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu określonego dla .
Każdy wyraz ciągu (oprócz pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu lub większy od tego wyrazu. O takim ciągu mówimy, że jest niemalejący.
Ciąg nazywamy niemalejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu lub większy od wyrazu poprzedniego.
Czyli dla każdej liczby spełniona jest nierówność .
W podobny sposób możemy określić ciąg nierosnący.
Ciąg nazywamy nierosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu lub mniejszy od wyrazu poprzedniego.
Czyli dla każdej liczby spełniona jest nierówność .
O ciągach rosnących, malejących, stałych, nierosnących, niemalejących mówimy, że są to ciągi monotoniczne.
Nie wszystkie ciągi są monotoniczne. Żeby to udowodnić, wystarczy pokazać, że w danym ciągu istnieją dwa wyrazy takie, że i dwa wyrazy takie, że , gdzie .
Uzasadnimy, że ciąg określony wzorem nie jest monotoniczny.
Niech będzie liczbą parzystą. Wtedy jest liczbą nieparzystą.
Wówczas oraz
Zatem .
Niech będzie liczbą nieparzystą. Wtedy jest liczbą parzystą.
Wówczas oraz
Zatem .
Słownik
ciąg nazywamy rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest większy od wyrazu poprzedniego; czyli dla każdej liczby spełniona jest nierówność
ciąg nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest mniejszy od wyrazu poprzedniego; czyli dla każdej liczby spełniona jest nierówność
ciąg nazywamy stałym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest równy wyrazowi poprzedniemu; czyli dla każdej liczby spełniona jest nierówność