Aplet

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższym apletem GeoGebry. Zauważ jak zmienia się objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, gdy zmienia się krawędź podstawy lub wysokość ostrosłupa. Przesuwając punkt $A$ lub $B$ zmieniasz długość $a$ krawędzi podstawy, gdy przesuniesz punkt $D$ zmieniasz wysokość $H$ ostrosłupa.

Zapoznaj się z poniższym opisem apletu. Zauważ jak zmienia się objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, gdy zmienia się krawędź podstawy lub wysokość ostrosłupa.

RzhGG3wIMaLsM

Polecenie 2

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego krawędź podstawy ma długość równą $6$ , a wysokość równą $5$ . Korzystając z powyższego apletu ustaw punkt $A$ tak, aby krawędź podstawy zwiększyła się dwukrotnie, ale wysokość pozostaw bez zmiany. Oblicz, ile razy zwiększyła się objętość ostrosłupa po zmianie względem objętości pierwotnej?

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego krawędź podstawy ma długość równą $6$ , a wysokość równą $5$ . W podanym ostrosłupie krawędź podstawy zwiększyła się dwukrotnie, ale jego wysokość pozostała bez zmian. Oblicz, ile razy zwiększyła się objętość ostrosłupa po zmianie względem objętości pierwotnej?

Pierwotna objętość ostrosłupa to $V$ dla krawędzi podstawy $a = 6$ i wysokości $H = 5$ .

Pierwotna objętość ostrosłupa:

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{6^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot \frac{36 \sqrt{3}}{4} \cdot 5 = 15 \sqrt{3}$ .

Po zmianie krawędź podstawy wzrosła do $12$ , a wysokość $H$ pozostała bez zmian.

Nowa objętość wynosi:

$V_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{12^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot \frac{144 \sqrt{3}}{4} \cdot 5 = 60 \sqrt{3} = 4 V$ .

Stąd wniosek, że $V_{1} = 4 V$ .

Zatem objętość ostrosłupa wzrosła czterokrotnie, gdy krawędź podstawy wzrosła dwukrotnie.

Polecenie 3

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego krawędź podstawy ma długość równą $2$ , a wysokość równą $3$ . Korzystając z powyższego apletu, ustaw punkt $D$ tak, aby odcinek $H$ zwiększył się dwukrotnie, ale krawędź podstawy pozostaw bez zmiany. Oblicz, ile razy zwiększyła się objętość ostrosłupa po zmianie względem objętości pierwotnej?

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego krawędź podstawy ma długość równą $2$ , a wysokość równą $3$ . W podanym ostrosłupie jego wysokość zwiększyła się dwukrotnie, ale krawędź podstawy pozostała bez zmian. Oblicz, ile razy zwiększyła się objętość ostrosłupa po zmianie względem objętości pierwotnej?

Pierwotna objętość ostrosłupa to $V$ dla krawędzi podstawy $a = 2$ i wysokości $H = 3$ .

Pierwotna objętość ostrosłupa:

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{2^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 3 = \sqrt{3}$ .

Po zmianie $2 H = 6$ .

Nowa objętość wynosi: $V_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{4} \cdot 6 = 2 \sqrt{3}$ .

Stąd wniosek, że $V_{1} = 2 V$ .

Zatem objętość ostrosłupa wzrosła dwukrotnie, gdy wysokość wzrosła dwukrotnie.

Przeczytaj

Sprawdź się