Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1UHkK2AoC0mA1

Ćwiczenie 1

Uzupełnij zdania. Przeciągnij odpowiednie słowa.

przystającymi, równoboczny, okręgu opisanego, wysokościami, wierzchołku, środkowych, wysokości, równoramiennymi

Ostrosłup prawidłowy trójkątny, to taki ostrosłup, którego podstawą jest trójkąt .................................., spodek .................................. ostrosłupa pokrywa się ze środkiem .................................. na jego podstawie. Ściany boczne ostrosłupa są .................................. trójkątami .................................. o wspólnym .................................. zwanym wierzchołkiem ostrosłupa. Wysokość ostrosłupa poprowadzona jest ze środka ciężkości tego trójkąta, czyli z punktu przecięcia się .................................., które są zarazem .................................. i dwusiecznymi.

RIl57MiIeJsOl1

Ćwiczenie 2

Zaznacz prawidłowe odpowiedzi. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym:

wszystkie jego krawędzie boczne są równe i nachylone pod tym samym kątem do płaszczyzny podstawy
ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi
kąty dwuścienne nachylenia jego ścian bocznych do podstawy są równe
kąty dwuścienne między jego sąsiednimi ścianami są równe

R14sj8YJtPnYa2

Ćwiczenie 3

Wybierz właściwą odpowiedź. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość $a = 6$ . Jeżeli objętość tej bryły jest równa $36 \sqrt{3}$ to wysokość ostrosłupa ma miarę:

$H = 6 \sqrt{3}$
$H = 10$
$H = 12$
$H = 6 \sqrt{3}$

Ćwiczenie 4

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym $A B C S$ (tak jak na rysunku) promień okręgu wpisanego w podstawę $A B C$ tego ostrosłupa jest równy $2$ .

RjYjCcgIqhB28

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy trójkątny A B C S. W podstawę wpisano okrąg o promieniu r. Kąt między wysokością, a wysokością ściany bocznej wynosi α.

R1abMnKVsreGt

R1CtwepTqfYC02

Ćwiczenie 5

Wybierz właściwą odpowiedź. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość $a$ . Kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę $45 °$ . Objętość ostrosłupa wynosi:

$V = a^{3} \sqrt{3}$
$V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$
$V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{8}$
$V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{24}$

RPESRbvOszLBj2

Ćwiczenie 6

Wybierz właściwą odpowiedź. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy $a$ , objętość ostrosłupa wynosi:

$V = a^{3} \sqrt{3}$
$V = a^{3} \cdot \frac{\sqrt{11}}{12}$
$V = a^{3} \cdot \frac{\sqrt{11}}{2}$
$V = 12 a^{3}$

Ćwiczenie 7

Trójkąt równoboczny $A B C$ jest podstawą ostrosłupa prawidłowego $A B C S$ , w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60 °$ , a krawędź boczna ma długość $7$ . Obliczając objętość tego ostrosłupa uzupełnij puste miejsca właściwymi zapisami, Przeciągnij odpowiednie pola.

RXth5jNL4paRf

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy A B C S. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Krawędź boczna ma długość 7, a krawędź podstawy ma długość a. Na podstawie zaznaczono wysokości, w miejscu ich przecięcia utworzono punkt O. Odległość od punktu O do krawędzi podstawy wynosi r. Wysokość ostrosłupa ma długość H.

R3Izsu9Lf8BEE

Odcinek DC, jako wysokość podstawy wyznaczamy ze wzoru 1.

\cos 60 ° = \frac{D O}{D S}

, 2.

\frac{a \sqrt{3}}{6}

, 3.

7^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}

, 4.

D S = \frac{a \sqrt{3}}{3}

, 5.

a^{2} = 84

, 6.

D C = \frac{a \sqrt{3}}{2}

, 7.

O S = \frac{a}{2}

, odcinek

D O = \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} =

\cos 60 ° = \frac{D O}{D S}

, 2.

\frac{a \sqrt{3}}{6}

, 3.

7^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}

, 4.

D S = \frac{a \sqrt{3}}{3}

, 5.

a^{2} = 84

, 6.

D C = \frac{a \sqrt{3}}{2}

, 7.

O S = \frac{a}{2}

.
W trójkącie

D O S

mamy:
1.

\cos 60 ° = \frac{D O}{D S}

, 2.

\frac{a \sqrt{3}}{6}

, 3.

7^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}

, 4.

D S = \frac{a \sqrt{3}}{3}

, 5.

a^{2} = 84

, 6.

D C = \frac{a \sqrt{3}}{2}

, 7.

O S = \frac{a}{2}

, więc

\cos 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{6 \cdot D S}

, stąd 1.

\cos 60 ° = \frac{D O}{D S}

, 2.

\frac{a \sqrt{3}}{6}

, 3.

7^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}

, 4.

D S = \frac{a \sqrt{3}}{3}

, 5.

a^{2} = 84

, 6.

D C = \frac{a \sqrt{3}}{2}

, 7.

O S = \frac{a}{2}

\sin 60 ° = \frac{O S}{D S}

, więc

\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{O S}{\frac{a \sqrt{3}}{3}}

, stąd 1.

\cos 60 ° = \frac{D O}{D S}

, 2.

\frac{a \sqrt{3}}{6}

, 3.

7^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}

, 4.

D S = \frac{a \sqrt{3}}{3}

, 5.

a^{2} = 84

, 6.

D C = \frac{a \sqrt{3}}{2}

, 7.

O S = \frac{a}{2}

i oznaczamy

O S = H

Korzystając z twierdzenia pitagorasa dla trójkąta

A D S

mamy:

7^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + D S^{2}

, to 1.

\cos 60 ° = \frac{D O}{D S}

, 2.

\frac{a \sqrt{3}}{6}

, 3.

7^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}

, 4.

D S = \frac{a \sqrt{3}}{3}

, 5.

a^{2} = 84

, 6.

D C = \frac{a \sqrt{3}}{2}

, 7.

O S = \frac{a}{2}

49 = \frac{a^{2}}{4} + \frac{3 a^{2}}{9}

49 = \frac{7 a^{2}}{12}

\cos 60 ° = \frac{D O}{D S}

, 2.

\frac{a \sqrt{3}}{6}

, 3.

7^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}

, 4.

D S = \frac{a \sqrt{3}}{3}

, 5.

a^{2} = 84

, 6.

D C = \frac{a \sqrt{3}}{2}

, 7.

O S = \frac{a}{2}

$"|"D C"|" = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ , $7^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}$ , $V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H$ , $\frac{a \sqrt{3}}{6}$ , $P_{p} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ , $"|"D S"|" = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ , $"|"O S"|" = \frac{a}{2}$ , $\cos 60 ° = \frac{"|"D O"|"}{"|"D S"|"}$ , $a^{2} = 84$

Odcinek $D C$ , jako wysokość podstawy wyznaczamy ze wzoru ........................, odcinek $"|"D O"|" = \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} =$ .........................
W trójkącie $D O S$ mamy:
- ........................, więc $\cos 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{6 \cdot "|"D S"|"}$ , stąd ........................,
- $\sin 60 ° = \frac{"|"O S"|"}{"|"D S"|"}$ , więc $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{"|"O S"|"}{\frac{a \sqrt{3}}{3}}$ , stąd ........................ i oznaczamy $"|"O S"|" = H$ .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $A D S$ mamy:
$7^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {"|"D S"|"}^{2}$
........................
$49 = \frac{a^{2}}{4} + \frac{3 a^{2}}{9}$
$49 = \frac{7 a^{2}}{12}$
.........................

$a = \sqrt{84} = 2 \sqrt{21}$ , odcinek $"|"O S"|" = \frac{2 \sqrt{21}}{2} = \sqrt{21}$ , więc $H = \sqrt{21}$ .

Wyznaczamy pole podstawy ze wzoru ........................, więc $P_{p} = \frac{84 \sqrt{3}}{4} = 21 \sqrt{3}$ .

Wyznaczamy objętość ostrosłupa ze wzoru ........................:
$V = \frac{1}{3} \cdot 21 \sqrt{3} \cdot \sqrt{21}$
$V = 21 \sqrt{7}$ .

Ćwiczenie 8

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość $b$ i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze $α$ . Jaką objętość ma ten ostrosłup?

Wykonajmy rysunek z odpowiednimi oznaczeniami.

R1C2K7TxhspG3

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy trójkątny A B C D. Krawędź podstawy ma długość a, a krawędź boczna długość b. Ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem alfa. Zaznaczono wysokość ostrosłupa D E.

Z trójkąta prostokątnego $E D B$ obliczamy wysokość ostrosłupa.

$\sin α = \frac{|E D|}{|B D|}$ , stąd $|E D| = b \sin α$ .

Z tego samego trójkąta obliczamy długość odcinka $E B$ .

$\cos α = \frac{|E B|}{|B D|}$ , stąd $|E B| = b \cos α$ .

Wiemy, że $|E B|$ to $\frac{2}{3}$ wysokości trójkąta $A B C$ . Oznaczając krawędź podstawy jako $a$ mamy:

$|E B| = \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ ,

biorąc pod uwagę, że $|E B| = b \cos α$ :

$\frac{a \sqrt{3}}{3} = b \cos α$ , to $a = \frac{3 b \cos α}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} b \cos α$ .

Obliczmy pole podstawy ostrosłupa:

$P_{p} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{{(\sqrt{3} b \cos α)}^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3} b^{2} \cos^{2} α}{4}$ .

Liczymy teraz objętość:

$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \sqrt{3} b^{2} \cos^{2} α}{4} \cdot b \sin α = \frac{b^{3} \sqrt{3} \cos^{2} α \sin α}{4}$

$V = \frac{b^{3} \sqrt{3} \cos^{2} α \sin α}{4}$ .

Aplet

Dla nauczyciela