Aplet

Polecenie 1

Zapoznaj się z apletem przedstawiającym czworościan. Przyjrzyj się uważnie kątom pomiędzy wysokością czworościanu a jego krawędziami. Oceń ich miary i zakres, z którego pochodzą. Poruszając myszką na ilustracji, możesz obserwować poszczególne kąty w czworościanie z różnej perspektywy. Zastanów się, jakimi funkcjami trygonometrycznymi zaznaczonych kątów można opisać zależności krawędzi bocznych od wysokości.

Zapoznaj się z poniższym opisem apletu.

R1dWTwMrNroVr

Polecenie 2

Długość wysokości czworościanu $A B C D$ wynosi $H$ . Kąty pomiędzy wysokością czworościanu $E D$ a jego krawędziami $A D$ , $B D$ i $C D$ mają miarę $α$ , $β$ i $γ$ , odpowiednio. Wyznacz sumę odległości punktu $E$ od wierzchołków trójkąta $A B C$ .

Sporządźmy rysunek pomocniczy.

RoE81z2g44KCI

Ilustracja przedstawia czworościan ABCD. Zaznaczono wysokość czworościanu DE o mierze H. Kąt między wysokością, a ścianą boczną wynosi α. Połączono wierzchołek A z końcem wysokości tworząc odcinek AE.

Z trójkąta prostokątnego $A E D$ obliczamy: $|A E| = H tg α$ . Podobnie z trójkątów prostokątnych $B E D$ i $C E D$ wyznaczamy $|B E| = H tg β$ i $|C E| = H tg γ$ , odpowiednio. Zatem suma odległości punktu $E$ od wierzchołków trójkąta $A B C$ wynosi:

$|A E| + |B E| + |C E| = H tg α + H tg β + H tg β = H (tg α + tg β + tg γ)$ .

Odpowiedź: $H (tg α + tg β + tg γ)$ .

Polecenie 3

W czworościanie $A B C D$ dane są długości jego krawędzi $|A D| = a$ , $|B D| = b$ i $|C D| = c$ . Kąty pomiędzy wysokością czworościanu $E D$ a jego krawędziami $A D$ , $B D$ i $C D$ mają miarę $α$ , $β$ i $γ$ , odpowiednio. Uzasadnij, że

$a \cos α = b \cos β = c \cos γ$ .

Z trójkątów prostokątnych $A E D$ , $B E D$ i $C E D$ wyliczamy:

$H = a \cos α$ , $H = b \cos β$ i $H = c \cos γ$ , odpowiednio. Stąd $a \cos α = b \cos β = c \cos γ$ .

Przeczytaj

Sprawdź się