Sporządźmy rysunek pomocniczy.

R1Tnhw573e9Gf

Ilustracja przedstawia czworościan ABCD. Zaznaczono wysokość czworościanu DE o mierze H. Kąt między wysokością, a ścianą boczną wynosi $\alpha$. Połączono wierzchołek A z końcem wysokości tworząc odcinek AE.

Ponieważ

$\cos \alpha =\frac{\left|DE\right|}{\left|AD\right|}=\frac{\left|DE\right|}{2\left|DE\right|}=\frac{1}{2}$

oraz $0°<\alpha <90°$, więc $\alpha =60°$.

Ponieważ rozważany czworościan jest ostrosłupem prawidłowym trójkątnym, więc spodkiem wysokości jest punkt przecięcia wysokości podstawy. Zatem wszystkie kąty pomiędzy wysokością czworościanu a krawędziami bocznymi mają taką samą miarę.

RwG7m1iMg9TAc

Ilustracja przedstawia czworościan ABCD. Krawędzie podstawy mają długość 3, a krawędzie ścian bocznych długość dwa. Zaznaczono wysokość czworościanu DE o mierze H. Kąt między wysokością, a ścianą boczną wynosi $\alpha$. Połączono wierzchołek A z końcem wysokości tworząc odcinek AE o długości $\sqrt{3}$.

Ponieważ $\sin \alpha =\frac{{\displaystyle \sqrt{3}}}{{\displaystyle 2}}$, więc $\alpha =60°$.

Nie. Ponieważ $119°+120°+121°=360°$, więc trzy ściany boczne tego czworościanu musiałyby leżeć w jednej płaszczyźnie. Co jest oczywiście niemożliwe.

RU71lTcGrCSvt

Ilustracja przedstawia czworościan ABCD. Krawędź AD jest prostopadła do krawędzi AB i AC. Krawędzie AB, AC, AD i BC mają długość a. Kąt przy wierzchołku A jest prosty.

Z trójkątów prostokątnych $BAD$ i $CAD$ otrzymujemy $\left|BD\right|=\left|CD\right|=a\sqrt{2}$. Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $BCD$ otrzymujemy:

$a^2={\left(a\sqrt{2}\right)}^2+{\left(a\sqrt{2}\right)}^2-2a\sqrt{2}a\sqrt{2}\cos \alpha$,

$a^2=4a^2-4a^2\cos \alpha$,

$4a^2\cos \alpha =3a^2$,

$\cos \alpha =\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 4}}$.

W tablicach funkcji trygonometrycznych sprawdzamy, że $\alpha \approx 41°$.

Niech $H$ oznacza wysokość czworościanu (zobacz rysunek):

RkxuVLclXWJtE

Ilustracja przedstawia czworościan ABCD. Krawędź ściany bocznej AD ma długość a, krawędź ściany bocznej BD ma długość b, a krawędź ściany bocznej DC ma długość c. Zaznaczono wysokość czworościanu DE o mierze H. Kąt między wysokością, a ścianą boczną wynosi $\alpha$. Połączono wierzchołek A z końcem wysokości tworząc odcinek AE.

Ponieważ $V=\frac{1}{3}PH$, więc $H=\frac{3V}{P}$.

Z trójkąta prostokątnego $AED$ otrzymujemy:

$\cos \alpha =\frac{{\displaystyle H}}{{\displaystyle a}}$, czyli $a=\frac{{\displaystyle H}}{{\displaystyle \cos \alpha }}=\frac{{\displaystyle 3V}}{{\displaystyle P\cos \alpha }}$.

Podobnie obliczamy:

$b=\frac{{\displaystyle H}}{{\displaystyle \cos \beta }}=\frac{{\displaystyle 3V}}{{\displaystyle P\cos \beta }},c=\frac{{\displaystyle H}}{{\displaystyle \cos \gamma }}=\frac{{\displaystyle 3V}}{{\displaystyle P\cos \gamma }}$.

Stąd

$a+b+c=\frac{{\displaystyle 3V}}{{\displaystyle P\cos \alpha }}+\frac{{\displaystyle 3V}}{{\displaystyle P\cos \beta }}+\frac{{\displaystyle 3V}}{{\displaystyle P\cos \gamma }}=\frac{{\displaystyle 3V}}{{\displaystyle P}}\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \cos \alpha }}+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \cos \beta }}+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \cos \gamma }}\right)$.

Oznaczamy kąt pomiędzy krawędziami $AC$ i $BC$ jako $\alpha$, a kąt pomiędzy krawędzią $CD$ a wysokością czworościanu jako $\beta$. Ponieważ $\frac{H}{c}=\cos \beta$, czyli $H=c\cos \beta$. Pole podstawy $P_{ABC}=\frac{1}{2}ab\sin \alpha$. Zatem objętość czworościanu wynosi $V=\frac{1}{3}{P}_{ABC}H=\frac{1}{6}abc\sin \alpha \cos \beta$. Objętość ta będzie największa, gdy $\sin \alpha =1$ i $\cos \beta =1$. Stąd $\alpha =90°$ i $\beta =0°$ (krawędź $CD$ jest wysokością czworościanu oraz w podstawie jest trójkąt prostokątny, czyli jest to czworościan o trzech krawędziach prostopadłych). Wówczas $V=\frac{abc}{6}$.

Sporządzamy rysunek pomocniczy.

R8WaIgH2an8O4

Ilustracja przedstawia czworościan ABCD. Wszystkie krawędzie mają długość a. Zaznaczono wysokość czworościanu DE o mierze H. Połączono wierzchołek A z końcem wysokości tworząc odcinek AE. Z punktu E poprowadzono prostą na ścianę boczną AD tworząc punkt F dzielący ścianę boczną na połowę. Kąt pomiędzy odcinkami EF i AF ma miarę $\alpha$. Kąt pomiędzy odcinkami AE i AF ma miarę $\beta$.

Z treści zadania $\left|AF\right|=\frac{a}{2}$. Ponadto $\left|AE\right|=\frac{2}{3}h=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ oraz $\left|DE\right|=H=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Z trójkąta prostokątnego $AED$ obliczamy:

$\cos \beta =\frac{\left|AE\right|}{\left|AD\right|}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ oraz

$\sin \beta =\frac{\left|DE\right|}{\left|AD\right|}=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{3}}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $AEF$:

${\left|EF\right|}^2={\left|AE\right|}^2+{\left|AF\right|}^2-2\left|AE\right|·\left|AF\right|\cos \beta =\frac{3a^2}{9}+\frac{a^2}{4}-2·\frac{a\sqrt{3}}{3}·\frac{a}{2}·\frac{\sqrt{3}}{3}$ $=\frac{7a^2}{12}-\frac{a^2}{3}=\frac{a^2}{4}$

czyli $\left|EF\right|=\frac{a}{2}$.

Z twierdzenia sinusów dla trójkąta $AEF$:

$\frac{\left|AE\right|}{\sin \alpha }=\frac{\left|EF\right|}{\sin \beta }$,

$\sin \alpha =\frac{\left|AE\right|\sin \beta }{\left|EF\right|}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}·\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{a}{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{9}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.