Przeczytaj

Znasz już kąty pomiędzy odcinkami, pomiędzy odcinkiem i płaszczyzną oraz pomiędzy dwiema płaszczyznami w ostrosłupie. Poniżej przedstawimy przykłady wyznaczenia kątów pomiędzy odcinkami w czworościanieczworościanczworościanie.

Najpierw zajmiemy się czworościanem foremnym, czyli takim ostrosłupem, w którym podstawa i ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Przypomnijmy, że wysokość trójkąta równobocznego o boku długości $a$ wynosi $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Wysokości w tym trójkącie przecinają się w jednym punkcie, który dzieli wysokości w stosunku $2 : 1$ .

R1SUgOvw5UNVe

Ilustracja przedstawia trójkąt równoboczny. Zaznaczono jego trzy wysokości. Wysokość trójkąta dzieli się w stosunku 2 do jednego w punktu przecięcia wysokości. Dłuższa część ma miarę 23h, a krótsza 13h

Przypomnijmy, że korzystając z twierdzenia Pitagorasa, można wyprowadzić wzór na wysokość czworościanu foremnego $H = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ , gdzie $a$ to długość krawędzi czworościanu.

Jednym z pierwszych pytań, jakie można sobie zadać, jest pytanie o kąt pomiędzy krawędzią boczną a krawędzią podstawy lub kąt pomiędzy dwiema krawędziami bocznymi. Jednak w przypadku czworościanu jest to pytanie o kąty w trójkątach, które są ścianami bocznymi czworościanu. W szczególności w czworościanie foremnym mamy do czynienia z trójkątami równobocznymi, więc kąty te są równe $60 ° .$ Ciekawsze będą pytania o kąty pomiędzy krawędzią boczną a wysokością czworościanu, czy kąt pomiędzy wysokościami czworościanu.

Przykład 1

Wyznaczymy miarę kąta pomiędzy krawędzią boczną a wysokością czworościanu foremnego.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku.

ROMXOhdAApaWx

Ilustracja przedstawia czworościan foremny ABCD o boku a i wysokości H. Odcinek AE mający miarę 23h, jest dłuższą częścią wysokości podstawy. Kąt między wysokością a ścianą boczną ma miarę α

Wysokość czworościanu $A B C D$ wynosi $H = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ oraz wysokość podstawy $A B C$ jest równa $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Ponadto $|A E| = \frac{2}{3} h = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ . Kąt $α$ jest kątem pomiędzy krawędzią boczną a wysokością czworościanu. Z trójkąta prostokątnego $A E D$ otrzymujemy:

$tg α = \frac{|A E|}{|D E|} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{3}}{\frac{a \sqrt{6}}{3}} = \frac{a \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{a \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{18}}{6} = \frac{3 \sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0, 707$ .

W tablicach wartości funkcji trygonometrycznych sprawdzamy, że $α \approx 35 °$ .

Przykład 2

Wyznaczymy cosinus kąta pomiędzy wysokością czworościanu foremnego a wysokością ściany bocznej.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku.

RrndoxBDCJ7Lp

Ilustracja przedstawia czworościan foremny ABCD o boku a i wysokości H. Odcinek EF ma długość 13h i jest krótszą częścią wysokości podstawy. Wysokość ściany bocznej ma miarę h. Kąt pomiędzy wysokością czworościanu a wysokością ściany bocznej wynosi α.

Wysokość czworościanu $A B C D$ wynosi $H = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ oraz wysokość ściany $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Kąt $α$ jest kątem pomiędzy wysokością ściany bocznej a wysokością czworościanu. Z trójkąta prostokątnego $D E F$ otrzymujemy:

$\cos α = \frac{H}{h} = \frac{\frac{a \sqrt{6}}{3}}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{2}{a \sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{18}}{9} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} .$

W czworościanie foremnym wysokości przecinają się w jednym punkcie. Twierdzenie to nie jest prawdziwe dla dowolnego czworościanu (zastanów się nad przykładem czworościanu, którego wysokości nie przecinają się w jednym punkcie). Zanim przejdziemy do wyznaczenia miary kąta, jaki tworzą wysokości czworościanu foremnego (kąta utworzonego przez wiązania atomu węgla z atomami wodoru), obliczymy, w jakim stosunku punkt przecięcia wysokości dzieli te wysokości.

Przykład 3

Wyznaczymy stosunek, na jaki dzieli każdą z wysokości czworościanu foremnego punkt ich przecięcia.

Rozwiązanie

Poprowadźmy wysokości z wierzchołków $A$ i $D$ . Punkt przecięcia wysokości oznaczmy przez $H$ .

RkiwHgKlcwcR0

Wiemy, że wysokość czworościanu wynosi $H = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ , a wysokość trójkąta równobocznego $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Stąd $|D G| = \frac{2}{3} h = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ . Ponadto $\cos α = \frac{H}{h} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ . Z trójkąta prostokątnego $D G H$ otrzymujemy

$\cos α = \frac{|D G|}{|D H|} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{3}}{|D H|}$ ,

czyli

$|D H| = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{3}}{\cos α} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{3}}{\frac{2 \sqrt{2}}{3}} = \frac{a \sqrt{6}}{4}$ .

Ponieważ

$|E H| = |D E| - |D H| = \frac{a \sqrt{6}}{3} - \frac{a \sqrt{6}}{4} = \frac{a \sqrt{6}}{12}$ ,

więc

$\frac{|D H|}{|E H|} = \frac{\frac{a \sqrt{6}}{4}}{\frac{a \sqrt{6}}{12}} = 3$ .

Punkt przecięcia wysokości w czworościanie foremnym dzieli te wysokości w stosunku $3 : 1$ .

Ciekawostka

Stosunek, w jakim punkt przecięcia wysokości czworościanu foremnego dzieli każdą z nich, można wydedukować bez odwoływania się do trygonometrii. Czworościan foremny $A B C D$ dzielimy na cztery identyczne czworościany: $A B C H$ , $A B D H$ , $A C D H$ i $B C D H$ . Objętość każdego z takich czworościanów jest równa jednej czwartej objętości czworościanu $A B C D$ . Ponieważ podstawami wszystkich czterech czworościanów są przystające trójkąty, więc wysokość czworościanów $A B C H$ , $A B D H$ , $A C D H$ i $B C D H$ jest równa jednej czwartej wysokości czworościanu $A B C D$ . Stąd $|E H| = \frac{1}{4} H$ i $|D H| = \frac{3}{4} H$ , czyli $|E H| = \frac{1}{3} |D H|$ .

Ciekawostka

Jeśli w czworościan foremny wpiszemy kulę, to jej promieniem jest odcinek $E H$ . Promieniem kuli opisanej na czworościanie foremnym jest odcinek $D H$ .

Przykład 4

Dany jest czworościan foremny $A B C D$ . Niech $H$ będzie punktem przecięcia się wysokości tego czworościanu. Wyznaczymy miarę kąta $A H D$ .

Rozwiązanie

Wprowadźmy oznaczenia takie jak na rysunku.

RnYZRsVsxT5ns

Ilustracja przedstawia czworościan foremny ABCD o boku a i wysokości H. Z wierzchołka A poprowadzono odcinek do wysokości ściany bocznej dzieląc ją na odcinki DG oraz GF. Dzięki czemu odcinek AH i DH mają długość 34H. A kąt między odcinkami wynosi α

Ponieważ punkt przecięcia wysokości czworościanu dzieli je w stosunku $3 : 1$ , więc $|D H| = |A H| = \frac{3}{4} H = \frac{a \sqrt{6}}{4}$ . Stosując twierdzenie cosinusów do trójkąta $A D H$ , otrzymujemy:

${|A D|}^{2} = {|A H|}^{2} + {|D H|}^{2} - 2 |A H| \cdot |D H| \cos α$

$a^{2} = {(\frac{a \sqrt{6}}{4})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{6}}{4})}^{2} - 2 {(\frac{a \sqrt{6}}{4})}^{2} \cos α$

$a^{2} = \frac{3 a^{2}}{8} + \frac{3 a^{2}}{8} - 2 \cdot \frac{3 a^{2}}{8} \cos α$

$\frac{3 a^{2}}{4} \cos α = \frac{3 a^{2}}{4} - a^{2}$

$\frac{3 a^{2}}{4} \cos α = - \frac{a^{2}}{4}$

$\cos α = - \frac{1}{3}$ .

Sprawdzamy w tablicach funkcji trygonometrycznych, że $\sin (19, 5^{\circ}) \approx \frac{1}{3}$ , więc $α \approx 90 ° + 19, 5 ° = 109, 5 °$ .

Obliczyliśmy – kąty między wiązaniami w cząsteczce metanu mają miarę około $109, 5 °$ .

Przykład 5

W czworościanie $A B C D$ dane są długości krawędzi $|A C| = 1$ , $|B C| = 1$ , $|C D| = 2$ . Kąt płaski pomiędzy krawędzią $A C$ i $B C$ wynosi $120 °$ . Natomiast kąty płaskiekąt płaskikąty płaskie pomiędzy krawędziami $B C$ i $C D$ oraz $A C$ i $C D$ mają miarę $60 °$ . Obliczymy pole powierzchni całkowitej tego czworościaniu.

Rozwiązanie

Sporządźmy rysunek pomocniczy do tego zadania.

RAcT6g9bR896e

Ilustracja przedstawia ostrosłup o podstawie trójkąta. Długości krawędzi podstawy mają miarę jeden, a długości krawędzi ścian bocznych mają miarę dwa. Kąty pomiędzy krawędzią ściany bocznej oraz podstawy mają miarę 60°, a kąt pomiędzy krawędziami podstawy ma miarę 120°

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $A C D$ :

${|A D|}^{2} = 1^{2} + 2^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cos 60 ° = 3$

$|A D| = \sqrt{3}$ .

Ponieważ trójkąty $A C D$ i $B C D$ są przystające (cecha $bkb$ ), więc

$|B D| = \sqrt{3}$ .

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $A B C$ :

${|A B|}^{2} = 1^{2} + 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cos 120 ° = 3$

$|A B| = \sqrt{3}$ .

Wyznaczamy pola trójkątów:

$P_{∆ A B D} = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}, P_{∆ A C D} = P_{∆ B C D} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 \sin 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$P_{Δ A B C} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

Pole całkowite wynosi:

$P_{c} = \frac{3 \sqrt{3}}{4} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} = 2 \sqrt{3}$ .

Słownik

czworościan

ostrosłup, którego podstawą jest trójkąt; każda z czterech ściań czworościanu może być uważana za jego podstawę

kąt płaski

część płaszczyzny ograniczonej dwiema półprostymi o wspólnym początku wraz z tymi półprostymi

Wprowadzenie

Aplet

Słownik