Przeczytaj
Znasz już kąty pomiędzy odcinkami, pomiędzy odcinkiem i płaszczyzną oraz pomiędzy dwiema płaszczyznami w ostrosłupie. Poniżej przedstawimy przykłady wyznaczenia kątów pomiędzy odcinkami w czworościanieczworościanie.
Najpierw zajmiemy się czworościanem foremnym, czyli takim ostrosłupem, w którym podstawa i ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Przypomnijmy, że wysokość trójkąta równobocznego o boku długości wynosi . Wysokości w tym trójkącie przecinają się w jednym punkcie, który dzieli wysokości w stosunku .
Przypomnijmy, że korzystając z twierdzenia Pitagorasa, można wyprowadzić wzór na wysokość czworościanu foremnego , gdzie to długość krawędzi czworościanu.
Jednym z pierwszych pytań, jakie można sobie zadać, jest pytanie o kąt pomiędzy krawędzią boczną a krawędzią podstawy lub kąt pomiędzy dwiema krawędziami bocznymi. Jednak w przypadku czworościanu jest to pytanie o kąty w trójkątach, które są ścianami bocznymi czworościanu. W szczególności w czworościanie foremnym mamy do czynienia z trójkątami równobocznymi, więc kąty te są równe Ciekawsze będą pytania o kąty pomiędzy krawędzią boczną a wysokością czworościanu, czy kąt pomiędzy wysokościami czworościanu.
Wyznaczymy miarę kąta pomiędzy krawędzią boczną a wysokością czworościanu foremnego.
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku.
Wysokość czworościanu wynosi oraz wysokość podstawy jest równa . Ponadto . Kąt jest kątem pomiędzy krawędzią boczną a wysokością czworościanu. Z trójkąta prostokątnego otrzymujemy:
.
W tablicach wartości funkcji trygonometrycznych sprawdzamy, że .
Wyznaczymy cosinus kąta pomiędzy wysokością czworościanu foremnego a wysokością ściany bocznej.
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku.
Wysokość czworościanu wynosi oraz wysokość ściany . Kąt jest kątem pomiędzy wysokością ściany bocznej a wysokością czworościanu. Z trójkąta prostokątnego otrzymujemy:
W czworościanie foremnym wysokości przecinają się w jednym punkcie. Twierdzenie to nie jest prawdziwe dla dowolnego czworościanu (zastanów się nad przykładem czworościanu, którego wysokości nie przecinają się w jednym punkcie). Zanim przejdziemy do wyznaczenia miary kąta, jaki tworzą wysokości czworościanu foremnego (kąta utworzonego przez wiązania atomu węgla z atomami wodoru), obliczymy, w jakim stosunku punkt przecięcia wysokości dzieli te wysokości.
Wyznaczymy stosunek, na jaki dzieli każdą z wysokości czworościanu foremnego punkt ich przecięcia.
Rozwiązanie
Poprowadźmy wysokości z wierzchołków i . Punkt przecięcia wysokości oznaczmy przez .
Wiemy, że wysokość czworościanu wynosi , a wysokość trójkąta równobocznego . Stąd . Ponadto . Z trójkąta prostokątnego otrzymujemy
,
czyli
.
Ponieważ
,
więc
.
Punkt przecięcia wysokości w czworościanie foremnym dzieli te wysokości w stosunku .
Stosunek, w jakim punkt przecięcia wysokości czworościanu foremnego dzieli każdą z nich, można wydedukować bez odwoływania się do trygonometrii. Czworościan foremny dzielimy na cztery identyczne czworościany: , , i . Objętość każdego z takich czworościanów jest równa jednej czwartej objętości czworościanu . Ponieważ podstawami wszystkich czterech czworościanów są przystające trójkąty, więc wysokość czworościanów , , i jest równa jednej czwartej wysokości czworościanu . Stąd i , czyli .
Jeśli w czworościan foremny wpiszemy kulę, to jej promieniem jest odcinek . Promieniem kuli opisanej na czworościanie foremnym jest odcinek .
Dany jest czworościan foremny . Niech będzie punktem przecięcia się wysokości tego czworościanu. Wyznaczymy miarę kąta .
Rozwiązanie
Wprowadźmy oznaczenia takie jak na rysunku.
Ponieważ punkt przecięcia wysokości czworościanu dzieli je w stosunku , więc . Stosując twierdzenie cosinusów do trójkąta , otrzymujemy:
.
Sprawdzamy w tablicach funkcji trygonometrycznych, że , więc .
Obliczyliśmy – kąty między wiązaniami w cząsteczce metanu mają miarę około .
W czworościanie dane są długości krawędzi , , . Kąt płaski pomiędzy krawędzią i wynosi . Natomiast kąty płaskiekąty płaskie pomiędzy krawędziami i oraz i mają miarę . Obliczymy pole powierzchni całkowitej tego czworościaniu.
Rozwiązanie
Sporządźmy rysunek pomocniczy do tego zadania.
Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta :
.
Ponieważ trójkąty i są przystające (cecha ), więc
.
Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta :
.
Wyznaczamy pola trójkątów:
.
Pole całkowite wynosi:
.
Słownik
ostrosłup, którego podstawą jest trójkąt; każda z czterech ściań czworościanu może być uważana za jego podstawę
część płaszczyzny ograniczonej dwiema półprostymi o wspólnym początku wraz z tymi półprostymi