Znasz już kąty pomiędzy odcinkami, pomiędzy odcinkiem i płaszczyzną oraz pomiędzy dwiema płaszczyznami w ostrosłupie. Poniżej przedstawimy przykłady wyznaczenia kątów pomiędzy odcinkami w czworościanieczworościanczworościanie.

Najpierw zajmiemy się czworościanem foremnym, czyli takim ostrosłupem, w którym podstawa i ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Przypomnijmy, że wysokość trójkąta równobocznego o boku długości a wynosi h=a32. Wysokości w tym trójkącie przecinają się w jednym punkcie, który dzieli wysokości w stosunku 2:1.

R1SUgOvw5UNVe

Przypomnijmy, że korzystając z twierdzenia Pitagorasa, można wyprowadzić wzór na wysokość czworościanu foremnego H=a63, gdzie a to długość krawędzi czworościanu.

Jednym z pierwszych pytań, jakie można sobie zadać, jest pytanie o kąt pomiędzy krawędzią boczną a krawędzią podstawy lub kąt pomiędzy dwiema krawędziami bocznymi. Jednak w przypadku czworościanu jest to pytanie o kąty w trójkątach, które są ścianami bocznymi czworościanu. W szczególności w czworościanie foremnym mamy do czynienia z trójkątami równobocznymi, więc kąty te są równe 60°. Ciekawsze będą pytania o kąty pomiędzy krawędzią boczną a wysokością czworościanu, czy kąt pomiędzy wysokościami czworościanu.

Przykład 1

Wyznaczymy miarę kąta pomiędzy krawędzią boczną a wysokością czworościanu foremnego.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku.

ROMXOhdAApaWx

Wysokość czworościanu ABCD wynosi H=a63 oraz wysokość podstawy ABC jest równa h=a32. Ponadto AE=23h=a33. Kąt α jest kątem pomiędzy krawędzią boczną a wysokością czworościanu. Z trójkąta prostokątnego AED otrzymujemy:

tgα=AEDE=a33a63=a33·3a6=36=186=326=220,707.

W tablicach wartości funkcji trygonometrycznych sprawdzamy, że α35°.

Przykład 2

Wyznaczymy cosinus kąta pomiędzy wysokością czworościanu foremnego a wysokością ściany bocznej.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku.

RrndoxBDCJ7Lp

Wysokość czworościanu ABCD wynosi H=a63 oraz wysokość ściany h=a32. Kąt α jest kątem pomiędzy wysokością ściany bocznej a wysokością czworościanu. Z trójkąta prostokątnego DEF otrzymujemy:

cosα=Hh=a63a32=a63·2a3=2189=223.

W czworościanie foremnym wysokości przecinają się w jednym punkcie. Twierdzenie to nie jest prawdziwe dla dowolnego czworościanu (zastanów się nad przykładem czworościanu, którego wysokości nie przecinają się w jednym punkcie). Zanim przejdziemy do wyznaczenia miary kąta, jaki tworzą wysokości czworościanu foremnego (kąta utworzonego przez wiązania atomu węgla z atomami wodoru), obliczymy, w jakim stosunku punkt przecięcia wysokości dzieli te wysokości.

Przykład 3

Wyznaczymy stosunek, na jaki dzieli każdą z wysokości czworościanu foremnego punkt ich przecięcia.

Rozwiązanie

Poprowadźmy wysokości z wierzchołków AD. Punkt przecięcia wysokości oznaczmy przez H.

RkiwHgKlcwcR0

Wiemy, że wysokość czworościanu wynosi H=a63, a wysokość trójkąta równobocznego h=a32. Stąd DG=23h=a33. Ponadto cosα=Hh=223. Z trójkąta prostokątnego DGH otrzymujemy

cosα=DGDH=a33DH,

czyli

DH=a33cosα=a33223=a64.

Ponieważ

EH=DE-DH=a63-a64=a612,

więc

DHEH=a64a612=3.

Punkt przecięcia wysokości w czworościanie foremnym dzieli te wysokości w stosunku 3:1.

Ciekawostka

Stosunek, w jakim punkt przecięcia wysokości czworościanu foremnego dzieli każdą z nich, można wydedukować bez odwoływania się do trygonometrii. Czworościan foremny ABCD dzielimy na cztery identyczne czworościany: ABCH, ABDH, ACDHBCDH. Objętość każdego z takich czworościanów jest równa jednej czwartej objętości czworościanu ABCD. Ponieważ podstawami wszystkich czterech czworościanów są przystające trójkąty, więc wysokość czworościanów ABCH, ABDH, ACDHBCDH jest równa jednej czwartej wysokości czworościanu ABCD. Stąd EH=14HDH=34H, czyli EH=13DH.

Ciekawostka

Jeśli w czworościan foremny wpiszemy kulę, to jej promieniem jest odcinek EH. Promieniem kuli opisanej na czworościanie foremnym jest odcinek DH.

Przykład 4

Dany jest czworościan foremny ABCD. Niech H będzie punktem przecięcia się wysokości tego czworościanu. Wyznaczymy miarę kąta AHD.

Rozwiązanie

Wprowadźmy oznaczenia takie jak na rysunku.

RnYZRsVsxT5ns

Ponieważ punkt przecięcia wysokości czworościanu dzieli je w stosunku 3:1, więc DH=AH=34H=a64. Stosując twierdzenie cosinusów do trójkąta ADH, otrzymujemy:

AD2=AH2+DH2-2AH·DHcosα

a2=a642+a642-2a642cosα

a2=3a28+3a28-2·3a28cosα

3a24cosα=3a24-a2

3a24cosα=-a24

cosα=-13.

Sprawdzamy w tablicach funkcji trygonometrycznych, że sin19,513, więc α90°+19,5°=109,5°.

Obliczyliśmy – kąty między wiązaniami w cząsteczce metanu mają miarę około 109,5°.

Przykład 5

W czworościanie ABCD dane są długości krawędzi AC=1, BC=1, CD=2. Kąt płaski pomiędzy krawędzią ACBC wynosi 120°. Natomiast kąty płaskiekąt płaskikąty płaskie pomiędzy krawędziami BCCD oraz ACCD mają miarę 60°. Obliczymy pole powierzchni całkowitej tego czworościaniu.

Rozwiązanie

Sporządźmy rysunek pomocniczy do tego zadania.

RAcT6g9bR896e

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ACD:

AD2=12+22-2·1·2cos60°=3

AD=3.

Ponieważ trójkąty ACDBCD są przystające (cecha bkb), więc

BD=3.

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC:

AB2=12+12-2·1·1cos120°=3

AB=3.

Wyznaczamy pola trójkątów:

PABD=3234=334, PACD=PBCD=12·1·2sin60°=32

PΔABC=1211sin120=34.

Pole całkowite wynosi:

Pc=334+2·32+34=23.

Słownik

czworościan
czworościan

ostrosłup, którego podstawą jest trójkąt; każda z czterech ściań czworościanu może być uważana za jego podstawę

kąt płaski
kąt płaski

część płaszczyzny ograniczonej dwiema półprostymi o wspólnym początku wraz z tymi półprostymi