W poniższym aplecie pokażemy jak wyznaczyć długość odcinka E H . Załóżmy, że umiemy zmierzyć miarę dowolnego kąta oraz że znamy długość odcinka A B . Zapoznaj się z apletem, wykonując kolejne polecenia.
RAZGp0xpBPrU9 Aplet składa się z siedemnastu etapów. Miedzy etapami poruszamy się dzięki dwóm strzałką leżących na lewo i prawo od numeru etapu pod rysunkiem. W pierwszym etapie znajduje się zaznaczony punkt H oraz E. Punkty można przesuwać klikając w nie i przeciągając w dowolne miejsce na planszy apletu. Punkty połączone są ze sobą przerywaną linią świadczącą o tym, że szukamy długości odcinka HE. W drugim etapie na planszy pojawiają się punkty A,B,C,D,G i F. Są one rozrzucone po planszy przypadkowo, ale tak by utworzyć odpowiednią triangulację. Punkty dla rozważanego ustawienia punktów H i E układają się następująco. Punkty A, D, G znajdują się bliżej punktu H, a punkty B, C ,D bliżej punktu E. Punkt A leży na godzinie pierwszej, punkt D na godzinie czwartej, a punkt G na godzinie piątej od punktu H. Punkt F leży na godzinie ósmej, punkt C na godzinie dziesiątej, a punkt B na godzinie 11 od punktu E.W trzecim etapie dochodzi do utworzenia triangulacji między punktami. Powstaje sześć trójkątów. Wymienimy je po kolei: A B C, A C D, C DE, D E F, D F G oraz D G H. Korzystamy z założenia, że znamy długość odcinka AB, i miary wybranych kątów. W czwartym etapie pojawia się pod rysunkiem informacja, że A B = 5 , 19 . Na rysunku zaznaczają się kąty: ∢ A B C = 63 , 26 ° oraz ∢ A C B = 93 , 29 ° . Dzięki tym danym pod rysunkiem w etapie piątym pojawia się informacja, że A C = 4 , 64 . W szóstym etapie na rysunku pojawiają się nowe miary kątów: ∢ A D C = 95 , 48 ° oraz ∢ D A C = 30 , 81 ° . W siódmym etapie pojawia się długość odcinka DC równa 2 , 39 . W kolejnym etapie na rysunku dochodzą kolejne miary kątów takich jak: ∢ D E C = 30 , 03 ° oraz ∢ D C A = 95 , 97 ° . W dziewiątym etapie w miejscu na komentarz pojawia się informacja, że D E = 4 , 75 . W dziesiątym etapie na rysunki pojawiają się nowe miary kątów, ∢ D E F = 31 , 26 ° i ∢ D F E = 115 , 08 ° . W jedenastym etapie dowiadujemy się, że D F = 2 , 72 . W dwunastym etapie na rysunku pojawiają się kolejne miary kątów, ∢ D G F = 53 , 73 ° oraz ∢ D F G = 47 , 59 ° .W trzynastym etapie w miejscu na komentarz pojawia się informacja, że D G = 2 , 49 . W czternastym etapie na rysunku pojawiają się miary kąta, ∢ D G H = 79 , 79 ° oraz ∢ D H G = 39 , 77 ° . W piętnastym etapie w miejscu na komentarz pojawia się długość odcinka DH równa 3 , 83 . W etapie szesnastym na rysunku pojawia się miara kąta HDE i jest równa 172 , 78 ° . W ostatnim etapie szukany odcinek ma długość 8 , 57 . Zmieniając położenie punktu H i E w ostatnim etapie można zaobserwować, że im większy kąt H D E tym dłuższa długość boku H E.
Aplet składa się z siedemnastu etapów. Miedzy etapami poruszamy się dzięki dwóm strzałką leżących na lewo i prawo od numeru etapu pod rysunkiem. W pierwszym etapie znajduje się zaznaczony punkt H oraz E. Punkty można przesuwać klikając w nie i przeciągając w dowolne miejsce na planszy apletu. Punkty połączone są ze sobą przerywaną linią świadczącą o tym, że szukamy długości odcinka HE. W drugim etapie na planszy pojawiają się punkty A,B,C,D,G i F. Są one rozrzucone po planszy przypadkowo, ale tak by utworzyć odpowiednią triangulację. Punkty dla rozważanego ustawienia punktów H i E układają się następująco. Punkty A, D, G znajdują się bliżej punktu H, a punkty B, C ,D bliżej punktu E. Punkt A leży na godzinie pierwszej, punkt D na godzinie czwartej, a punkt G na godzinie piątej od punktu H. Punkt F leży na godzinie ósmej, punkt C na godzinie dziesiątej, a punkt B na godzinie 11 od punktu E.W trzecim etapie dochodzi do utworzenia triangulacji między punktami. Powstaje sześć trójkątów. Wymienimy je po kolei: A B C, A C D, C DE, D E F, D F G oraz D G H. Korzystamy z założenia, że znamy długość odcinka AB, i miary wybranych kątów. W czwartym etapie pojawia się pod rysunkiem informacja, że A B = 5 , 19 . Na rysunku zaznaczają się kąty: ∢ A B C = 63 , 26 ° oraz ∢ A C B = 93 , 29 ° . Dzięki tym danym pod rysunkiem w etapie piątym pojawia się informacja, że A C = 4 , 64 . W szóstym etapie na rysunku pojawiają się nowe miary kątów: ∢ A D C = 95 , 48 ° oraz ∢ D A C = 30 , 81 ° . W siódmym etapie pojawia się długość odcinka DC równa 2 , 39 . W kolejnym etapie na rysunku dochodzą kolejne miary kątów takich jak: ∢ D E C = 30 , 03 ° oraz ∢ D C A = 95 , 97 ° . W dziewiątym etapie w miejscu na komentarz pojawia się informacja, że D E = 4 , 75 . W dziesiątym etapie na rysunki pojawiają się nowe miary kątów, ∢ D E F = 31 , 26 ° i ∢ D F E = 115 , 08 ° . W jedenastym etapie dowiadujemy się, że D F = 2 , 72 . W dwunastym etapie na rysunku pojawiają się kolejne miary kątów, ∢ D G F = 53 , 73 ° oraz ∢ D F G = 47 , 59 ° .W trzynastym etapie w miejscu na komentarz pojawia się informacja, że D G = 2 , 49 . W czternastym etapie na rysunku pojawiają się miary kąta, ∢ D G H = 79 , 79 ° oraz ∢ D H G = 39 , 77 ° . W piętnastym etapie w miejscu na komentarz pojawia się długość odcinka DH równa 3 , 83 . W etapie szesnastym na rysunku pojawia się miara kąta HDE i jest równa 172 , 78 ° . W ostatnim etapie szukany odcinek ma długość 8 , 57 . Zmieniając położenie punktu H i E w ostatnim etapie można zaobserwować, że im większy kąt H D E tym dłuższa długość boku H E.
Polecenie 1
Ustaw punkty A , H , E włącz przycisk „odtwarzaj” i obserwuj kolejność wyznaczania długości odcinków. Wykonaj to kilka razy.
Na podstawie opisu apletu podaj kolejność wyznaczania długości kolejnych odcinków. Czy kolejność ich mogłaby być inna?
Pokaż rozwiązanie Kolejność to: A B , A C , C E , E F , F G , G H , H F . Podana kolejność jest najlepsza dla podanych wartości kątów.
Polecenie 2
Poruszaj punktem A i obserwuj jakie odległości zmieniają się przy zmianie położenia tego punktu.
R1HCCu8fkLdHp Czy długość odcinka A B wpływa na długość odcinka H E ? Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. tak, 2. nie
Polecenie 3
Zmieniaj położenie punktów E i H . Obserwuj odległość między tymi punktami i związek z kątem H D E .
R1GLhoBTBqYN9 Zaznacz zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Jeżeli odcinek H E znajduję nad katem
Polecenie 4
Przejdź do poprzedniej ilustracji
Przejdź do następnej ilustracji
R82UzVw7oq7ic Uzupełnij luki, wstawiając wybrane elementy w odpowiednie miejsca. Aby wyznaczyć odległości między wieżami ustawionymi w punktach B , C , D , G , F korzystamy z długości odcinka 1. H E , 2. sinusów, 3. A B , 4. cosinusów oraz stosujemy twierdzenie 1. H E , 2. sinusów, 3. A B , 4. cosinusów.
Uzupełnij luki, wstawiając wybrane elementy w odpowiednie miejsca. Aby wyznaczyć odległości między wieżami ustawionymi w punktach B , C , D , G , F korzystamy z długości odcinka 1. H E , 2. sinusów, 3. A B , 4. cosinusów oraz stosujemy twierdzenie 1. H E , 2. sinusów, 3. A B , 4. cosinusów.
Uzupełnij luki.
A B , cosinusów, H E , sinusów
Aby wyznaczyć odległości między wieżami ustawionymi w punktach B , C , D , G , F korzystamy z długości odcinka .................... oraz stosujemy twierdzenie .....................
RKwbrRbEhdjMs Uporządkuj kolejność wyznaczania odcinków. Aby wyznaczyć długości odcinków D H , D E niezbędnych do ostatniego etapu obliczenia odległości między punktami H i E wyznaczamy kolejno: Elementy do uszeregowania: 1. C D , 2. A C , 3. C E , 4. C G , 5. C H
Uporządkuj kolejność wyznaczania odcinków. Aby wyznaczyć długości odcinków D H , D E niezbędnych do ostatniego etapu obliczenia odległości między punktami H i E wyznaczamy kolejno: Elementy do uszeregowania: 1. C D , 2. A C , 3. C E , 4. C G , 5. C H
Aby wyznaczyć długości odcinków D H , D E niezbędnych do ostatniego etapu obliczenia odległości między punktami H i E wyznaczamy kolejno:
R1CSyMuOjAxvH Uzupełnij luki, wstawiając wybrane elementy w odpowiednie miejsca. Odległość między punktami H i E wyznaczamy na podstawie miary kąta 1. E H D , 2. cosinusów, 3. sinusów, 4. E D H , 5. D E H oraz stosujemy twierdzenie 1. E H D , 2. cosinusów, 3. sinusów, 4. E D H , 5. D E H .
Uzupełnij luki, wstawiając wybrane elementy w odpowiednie miejsca. Odległość między punktami H i E wyznaczamy na podstawie miary kąta 1. E H D , 2. cosinusów, 3. sinusów, 4. E D H , 5. D E H oraz stosujemy twierdzenie 1. E H D , 2. cosinusów, 3. sinusów, 4. E D H , 5. D E H .
Uzupełnij luki.
E H D , D E H , cosinusów, sinusów, E D H
Odległość między punktami H i E wyznaczamy na podstawie miary kąta .................... oraz stosujemy twierdzenie .....................
Wykonaj poniższe ćwiczenia.
R82UzVw7oq7ic Uzupełnij luki, wstawiając wybrane elementy w odpowiednie miejsca. Aby wyznaczyć odległości między wieżami ustawionymi w punktach B , C , D , G , F korzystamy z długości odcinka 1. H E , 2. sinusów, 3. A B , 4. cosinusów oraz stosujemy twierdzenie 1. H E , 2. sinusów, 3. A B , 4. cosinusów.
Uzupełnij luki, wstawiając wybrane elementy w odpowiednie miejsca. Aby wyznaczyć odległości między wieżami ustawionymi w punktach B , C , D , G , F korzystamy z długości odcinka 1. H E , 2. sinusów, 3. A B , 4. cosinusów oraz stosujemy twierdzenie 1. H E , 2. sinusów, 3. A B , 4. cosinusów.
Uzupełnij luki.
A B , cosinusów, H E , sinusów
Aby wyznaczyć odległości między wieżami ustawionymi w punktach B , C , D , G , F korzystamy z długości odcinka .................... oraz stosujemy twierdzenie .....................
RKwbrRbEhdjMs Uporządkuj kolejność wyznaczania odcinków. Aby wyznaczyć długości odcinków D H , D E niezbędnych do ostatniego etapu obliczenia odległości między punktami H i E wyznaczamy kolejno: Elementy do uszeregowania: 1. C D , 2. A C , 3. C E , 4. C G , 5. C H
Uporządkuj kolejność wyznaczania odcinków. Aby wyznaczyć długości odcinków D H , D E niezbędnych do ostatniego etapu obliczenia odległości między punktami H i E wyznaczamy kolejno: Elementy do uszeregowania: 1. C D , 2. A C , 3. C E , 4. C G , 5. C H
Aby wyznaczyć długości odcinków D H , D E niezbędnych do ostatniego etapu obliczenia odległości między punktami H i E wyznaczamy kolejno:
R1CSyMuOjAxvH Uzupełnij luki, wstawiając wybrane elementy w odpowiednie miejsca. Odległość między punktami H i E wyznaczamy na podstawie miary kąta 1. E H D , 2. cosinusów, 3. sinusów, 4. E D H , 5. D E H oraz stosujemy twierdzenie 1. E H D , 2. cosinusów, 3. sinusów, 4. E D H , 5. D E H .
Uzupełnij luki, wstawiając wybrane elementy w odpowiednie miejsca. Odległość między punktami H i E wyznaczamy na podstawie miary kąta 1. E H D , 2. cosinusów, 3. sinusów, 4. E D H , 5. D E H oraz stosujemy twierdzenie 1. E H D , 2. cosinusów, 3. sinusów, 4. E D H , 5. D E H .
Uzupełnij luki.
E H D , D E H , cosinusów, sinusów, E D H
Odległość między punktami H i E wyznaczamy na podstawie miary kąta .................... oraz stosujemy twierdzenie .....................