Przeczytaj

Na początku omówimy pojęcie triangulacjitriangulacjatriangulacji, a następnie omówimy wyniki Snelliusa i ich związek z geometrią trójkątów.

Triangulacja w geodezji

RLFPW29Aaec75

Zdjęcie przedstawia stalową konstrukcję, na szczycie znajduje się rampa do której prowadzą schody. Wieża znajduje się na szczycie góry, jest to wieża triangulacyjna i widokowa znajdująca się na Baraniej Górze. Wieża zwieńczona jest metalową częścią przypominającą krzyż. — Wieża triangulacyjna i widokowa na Baraniej Górze
Źródło: Pudelek, dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 2.0.

Na fotografii widać wieżę triangulacyjną na Baraniej Górze. W $XIX$ wieku często można było zobaczyć takie wieże. Obecnie stosuje się techniki satelitarne.

Triangulacja w geodezji to metoda pomiaru odległości polegająca na precyzyjnym pomiarze kątów między wszystkimi sąsiednimi punktami oraz długości co najmniej jednego boku w sieci składającej się z trójkątów. Taka sieć nazywana jest siecią triangulacyjną.

Triangulacja w geodezji służyła do określenia kształtu i wymiarów Ziemi. Pomiar służy do określenia współrzędnych geodezyjnych wszystkich punktów sieci triangulacyjnej. Średnio długości boków w triangulacji wynoszą około $25$ kilometrów.

Na podstawie analizy wielkości zniekształceń długości i wysokości dla różnych wartości promienia poszukiwanego obszaru wpływ zakrzywienia Ziemi można pominąć dla powierzchni o promieniu $~ 15 km$ , czyli powierzchnię o wielkości $~ 700 {km}^{2}$ można przyjąć za płaszczyznę.

Dziewiętnastowieczna sieć triangulacyjna w Nadrenii wyglądała jak na rysunku.

RVsGfLv5NHV16

Ilustracja przedstawia mapę na której znajdują się między innymi takie miejscowości jak Kassel, Eisenach czy Frankfurt. Miejscowości te oraz wiele mniejszych miejscowości, które zaznaczono punktami są połączone liniami. Wszystkie linie wraz z punktami tworzą sieć, oczka sieci mają kształt trójkątów. — Mapa sieci triangulacyjnej w Nadrenii
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Dzięki stosowaniu precyzyjnych i pracochłonnych metod pomiaru bez użycia komputerów uzyskano wyniki, niewiele odbiegające od dzisiejszych pochodzących z pomiarów GPS.

Triangulacja w matematyce i grafice komputerowej

Triangulacja

Definicja: Triangulacja

Podział figury geometrycznej na trójkąty w taki sposób, że część wspólna dowolnych dwóch różnych trójkątów jest ich wspólnym wierzchołkiem, wspólnym bokiem albo zbiorem pustym. Można dokonać triangulacji każdego wielokąta.

RTYgcU50qrGEB

Ilustracja przedstawia nieregularny siedmiokąt, który podzielono na jedenaście trójkątów o różnych rozmiarach.

Rozważa się również triangulację figur trójwymiarowych, a nawet figur o łukowych krawędziach, jak np. koło czy elipsa co ma szczególne znaczenie w grafice komputerowej.

Ułatwia ona rozwiązywanie wielu zadań, takich jak: wypełnianie obszarów, określanie zasłaniania i oświetlenia obiektów trójwymiarowych, a także wyznaczenie linii ich przecięcia.

Na rysunku przedstawiony jest wypukły obiekt składający się z trójkątów oraz jego rzut na płaszczyznę.

RvW17XujeXD9m

Ilustracja przedstawia kanciastą kopułę składającą się z trójkątów o równych rozmiarach i kolorach, pod kopułą znajduje się jej rzut płaski, który również składa się z trójkątów o różnych rozmiarach.

Co zrobił Snellius?

Snellius zastosował metodę triangulacji do pomiaru długości jednego stopnia łuku południka. W tym celu wybrał dwa holenderskie miasta Bergen op Zoom i Alkmaar, które leżą na jednym równoleżniku, a ich położenie południkowe różni się o jeden stopień szerokości geograficznej.

Policzona przez niego odległość to $107, 395 km$ , podczas gdy faktyczna wynosi około $111 km$ . Znając tę odległość mógł wyznaczyć obwód Ziemi: $360$ razy $107, 37$ daje w przybliżeniu obwód Ziemi $38, 653 km$ . Obecnie wyznaczony obwód wynosi $40, 075 km$ , więc Snellius pomylił się o $3, 5 %$ .

Najważniejszym założeniem w metodzie Snelliusa jest to, że łatwo jest wyznaczyć kąt, trudno jest zmierzyć odległość.

W tamtych czasach istniały narzędzia pomiarowe pozwalające zmierzyć kąt. Snellius używał kwadrantu, który można zobaczyć w muzeum w Boerhaave. Kwadrant Snelliusa pozwalał wyznaczać kąty z dokładnością do dziesiątych części stopnia.

R1MBXOKk703WL

Zdjęcie przedstawia kwadrant, czyli przyrząd służący do pomiaru kątów. Jego kształt przypomina ćwiartkę okręgu, w którego wnętrzu znajduje się wiele przecinających się ze sobą odcinków. Posiada również element ruchomy, który pozwala wyznaczyć kąt. — Kwadrant, Museum Boerhaave, Leiden
Źródło: Prof. Jos van den Broek, dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 3.0.

W tamtych czasach („złoty wiek”) wieże kościołów były najwyższymi obiektami w miastach i każde miasto miało swój kościół. Miasta były położone w takich odległościach, że do obliczeń wystarczyła sieć złożona z $14$ miast.

Taka sieć mogłaby wyglądać następująco:

RLTuXRxivMJDQ

Ilustracja przedstawia czternaście wieży kościelnych, wieża wysunięta najbardziej do lewej strony jest podpisana Bergen, wieża wysunięta najbardziej do prawej strony jest podpisana Alkmaar. Wieże są ze sobą połączone liniami, tak że tworzą siatkę składającą się z trójkątów.

Na początku wyznaczamy odległość między dowolnymi dwoma punktami jednego z trójkątów. Musi to być odległość zmierzona fizycznie, na przykład wzdłuż prostej drogi łączącej punkty obserwacyjne.

Załóżmy, że mamy trójkąt, znamy jego jeden bok

R1dNKsRHbKftK

Ilustracja przedstawia trzy wieże kościelne, wieża znajdująca się w prawym dolnym rogu została podpisana Alkmaar. Wieże połączono odcinkami, które tworzą trójkąt, podstawa trójkąta oraz jego lewy bok zaznaczono kolorem niebieskim, a bok prawy zaznaczono kolorem czarnym.

oraz potrafimy wyznaczyć kąt widzenia każdego z boków. W języku matematyki mamy trójkąt $A B C$ , znamy jego bok i wszystkie kąty. Z cech przystawania trójkątów wynika, że do zbudowania trójkąta wystarczy informacja o boku i dwóch kątach trójkąta.

R1FEs3nKHtuUL

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C, przy czym bok AB podpisano literą c. Kąt BAC podpisano literą alfa, kąt CBA podpisano literą beta, kąt BCA podpisano literą gamma.

Problem 1

Wyznacz długość boków $A C$ i $C B$ w trójkącie $A B C$ , gdy znana jest długość boku $A B$ i kąty trójkąta.

Willebrord Snell van Royen rozwiązał ten problem i dziś znamy jego rozwiązanie w postaci twierdzenia sinusów (lub twierdzenia Snella).

Twierdzenie sinusów

Twierdzenie: Twierdzenie sinusów

W każdym trójkącie stosunek długości dowolnego boku do sinusa kąta przeciwległego jest wielkością stałą i równą długości średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.

RfJdK5cL6FcuU

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C, przy czym bok AB podpisano literą c, bok BC podpisano literą a, bok AC podpisano literą b. Kąt BAC podpisano literą alfa, kąt CBA podpisano literą beta, kąt BCA podpisano literą gamma.

Równoważnie, przy oznaczeniach z rysunku zachodzą równości:

$\frac{a}{sinα} = \frac{b}{sinβ} = \frac{c}{sinγ} = 2 R$ , gdzie $R$ jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie $A B C$ .

Przykład 1

Zastosujemy to twierdzenie do wyznaczenia długości boków $a$ i $b$ w trójkącie $A B C$ , w którym $c = 10$ , $α = 30 °$ , $γ = 45 °$ .

Z twierdzenia sinusów mamy $\frac{a}{sinα} = \frac{b}{sinβ} = \frac{c}{sinγ}$ . Kąt $β$ wyznaczamy stosując fakt, że suma kątów w trójkącie jest równa $180 °$ , czyli $β = 180 ° - 30 ° - 45 ° = 105 °$ .

$a = \frac{c \sin α}{\sin γ} = \frac{10 \sin 30 °}{\sin 45 °} = \frac{10 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10 \sqrt{2}}{2} = 5 \sqrt{2}$

$b = \frac{c \sin β}{\sin γ} = \frac{10 \sin 105 °}{\sin 45 °} = \frac{10 \sin 105 °}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} \sin 105 °$

Wystarczy teraz wyznaczyć wartość sinusa dla $105 °$ :

$\sin 105 ° = \sin (60 ° + 45 °) = \sin 60 ° \cos 45 ° + \sin 45 ° \cos 60 ° =$

$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ ,

stąd $b = \frac{20}{\sqrt{2}} \sin 105 ° = \frac{20}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 5 (\sqrt{3} + 1)$ .

Zwróćmy teraz uwagę na aspekt praktyczny. Celem Snelliusa było wyznaczenie długości w jednostkach metrycznych stosowanych w jego czasach, więc dokładna wartość pierwiastków musi zostać zamieniona na postać dziesiętną. Z drugiej strony kąty podane w przykładzie miały miary, które pozwoliły wyznaczyć dokładną wartość sinusa. W praktyce takie kąty zdarzają się dość rzadko. Zatem aspekt praktyczny wymusza na nas stosowanie tablic wartości sinusów.

Jednak należy uważać, żeby nie powielać niedokładności i tam, gdzie to możliwe odwoływać się do wartości najbardziej dokładnych. W powyższym przykładzie mogliśmy wyznaczyć wartość $b$ na podstawie wartości $a$ lub wartości $c$ , ale wartość $a$ została wyliczona, a wartość $c$ podana. Podana wartość jest bardziej dokładna, więc należało wyznaczyć $b$ na podstawie wartości $c$ , a nie $a$ .

Przykład 2

Wyznaczymy przybliżone wartości długości boków $a$ i $b$ w trójkącie $A B C$ z poprzedniego przykładu.

Mamy do wyboru wyznaczyć $a$ jak w poprzednim przykładzie lub skorzystać z tablic wartości sinusów.

$a = \frac{c \sin α}{\sin γ} = \frac{10 \sin 30 °}{\sin 45 °} = \frac{10 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10 \sqrt{2}}{2} = 5 \sqrt{2}$ , więc stosujemy przybliżoną wartość pierwiastka z dwóch $\sqrt{2} \approx 1, 414214$ i wtedy $a \approx 5 \cdot 1, 414214 = 7, 071068 \approx 7, 07$ .

Drugi sposób, to $a = \frac{c \sin α}{\sin γ} = \frac{10 \sin 30 °}{\sin 45 °}$ , więc stosujemy dokładna wartość $\sin 30 ° = \frac{1}{2}$ oraz przybliżoną wartość $\sin 45 ° \approx 0, 70711$ . Stąd $a \approx \frac{10 \cdot 0, 5}{0, 70711} = 7, 071036 = 7, 07$ .

Otrzymane wartości są równe po zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku, ale przy większej dokładności widać różnicę na piątym miejscu po przecinku.

Obliczymy przybliżoną wartość $b$ odczytując przybliżoną wartość sinusa z tablic $\sin 105 ° \approx 0, 96593$ oraz przyjmując $\sqrt{2} \approx 1, 414214$ .

$b = \frac{20}{\sqrt{2}} \sin 105 ° \approx \frac{20}{1, 414214} \cdot 0, 96593 = 13, 66031 \approx 13, 66$

Problem 2

Mamy taki układ punktów jak na rysunku. Znając tylko długość $A B$ i mając możliwość wyznaczenia kątów tylko między odcinkami łączącymi punkty linią ciągłą wyznacz długość $A D$ .

R1TKYOZCGMOp4

Ilustracja przedstawia figurę składającą się z wierzchołków A B C D E, przy czym odcinek AC dzieli figurę na trójkąt A B C i czworokąt A C D E, bok AB ma długość sześć. W czworokącie linią przerywaną zaznaczono jego przekątną AD.

Długości pozostałych odcinków możemy wyliczyć korzystając z twierdzenia sinusów. Trzeba wyznaczyć długość $A D$ , ale istnieją przeszkody, które uniemożliwiają pomiar tych kątów, których jednym z ramion jest $A D$ .

Problem wyznaczenia długości odcinka $A D$ sprowadza się do problemu wyznaczenia długości przekątnej czworokąta $A C D E$ , gdy dane są długości boków $A C$ i $C D$ oraz kąt między tymi bokami.

Łatwo zauważyć, że wystarczy rozwiązać trójkąt $A C D$ . Do tego celu wykorzystamy twierdzenie cosinusów.

Twierdzenie cosinusów

Twierdzenie: Twierdzenie cosinusów

Rl8XOI1xG1EFd

W dowolnym trójkącie $A B C$ , przy oznaczeniach z rysunku mamy $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ$ .

Przykład 3

Załóżmy, że na pewnym etapie triangulacji uzyskaliśmy wartości jak na rysunku. Wyznaczymy długość odcinka $A D$ .

R1YfYU5d1Y3OS

Ilustracja przedstawia czworokąt o wierzchołkach A C D E, w który bok AC ma długość cztery, bok CD ma długość sześć, a kąt ACD ma wartość 76 stopni. W czworokącie linią przerywaną zaznaczono jego przekątną AD.

Z twierdzenia cosinusów ${|A D|}^{2} = 4^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cos 76 °$ ,

wartość cosinusa odczytujemy z tablic $\cos 76 ° \approx 0, 24192$ .

Stąd ${|A D|}^{2} \approx 4^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 0, 24192 = 40, 38784$ .

Stąd $|A D| \approx \sqrt{40, 38784} \approx 6, 355143 \approx 6, 4$ .

Jak wykonać obliczenia triangulacyjne? Oznacza to, że chcemy wyznaczyć odległość między dwoma punktami posługując się siecią trójkątów, których kąty potrafimy zmierzyć oraz przynajmniej jeden bok jednego z trójkątów jest znany.

Omówimy, to na przykładzie.

Przykład 4

Znamy odległość $|A B| = 6$ . Nie możemy wyznaczyć kąta $D A B$ ani $D B A$ . Punkt $E$ nie może połączyć się z punktem $B$ .

R1LgFyWBtt6sZ

Ilustracja przedstawia dwa połączone ze sobą odcinki AD oraz AB, przy czym odcinek AB jest poziomy i ma długość , a odcinek AD jest ukośny i został namalowany linią przerywaną. Z lewej strony odcinek AD znajduje się punkt E, z prawej strony odcinka AD znajduje się punkt C.

Wyznaczymy odległość punktu $D$ od punktu $A$ .

Wszystkie możliwe odcinki zaznaczone są na rysunku.

R148jda6QhrOi

Ilustracja przedstawia trzy połączone ze sobą trójkąty A B C, A C D oraz C E D. Bok AB ma długość 6, w figurze składającej się z tych trójkątów linią przerywaną zaznaczono odcinek AD.

Wyznaczymy długość $A C$ z trójkąta $A B C$ , potem $E C$ z trójkąta $A C E$ oraz $C D$ z trójkąta $E C D$ . Na końcu wyznaczymy długość $A D$ z trójkąta $A C D$ .

R1V6C6U4ZIlFc

Z twierdzenia sinusów $\frac{6}{\sin 115, 8 °} = \frac{|A C|}{\sin 35, 1 °}$ .

Odczytujemy wartości z tablicy wartości sinusów

$\sin 115, 8 ° \approx 0, 9$ , $\sin 35, 1 ° \approx 0, 575$ więc $|A C| = \frac{6 \cdot 0, 575}{0, 9} \approx 3, 8$ .

RPaLvwOUPJLUL

Podobnie wyznaczamy $|E C| \approx 5, 3$ .

R164Wrs33ptC9

Podobnie wyznaczamy $|C D| \approx 5, 4$ .

Rt5BSrcAwueuY

Teraz pozostaje nam wyliczyć $A D$ na podstawie uzyskanych informacji. W tym celu skorzystamy z twierdzenia cosinusów.

${|A D|}^{2} = 3, 8^{2} + 5, 4^{2} - 2 \cdot 3, 8 \cdot 5, 4 \cos 69, 2 °$ .

Odczytujemy wartość z tablicy wartości cosinusów $\cos 69, 2 ° \approx 0, 35511$ .

Wtedy ${|A D|}^{2} \approx 29, 0263$ . Ostatecznie, $|A D| \approx 5, 4$ .

Korzystanie z tablic funkcji trygonometrycznych

W celu ułatwienia obliczeń triangulacyjnych z wykorzystaniem tablic funkcji trygonometrycznych korzysta się z tożsamości, które przytoczymy poniżej. Dzięki tym własnościom wystarczy umieć odczytywać sinus kąta ostrego, by otrzymać też cosinus kąta ostrego oraz sinus i cosinus kąta rozwartego.

Jedynka trygonometryczna

\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1

Cosinus podwojonego kąta

\cos 2 α = α - α = α - 1 = 1 - 2 α

Wzory redukcyjne w odniesieniu do kątów w trójkącie:

\sin (90 ° + α) = \cos α

\sin (90 ° - α) = \cos α

\cos (90 ° + α) = - \sin α

\cos (90 ° - α) = \sin α

\sin (180 ° - α) = \sin α

\cos (180 ° - α) = - \cos α

Przykład 5

Odczytujemy z tablic wartość $0, 766$ dla sinusa kąta $50 °$ . Pokażemy, jak wykorzystać tę wartość do wyznaczania sinusa kąta $130 °$ oraz cosinusa kątów $40 °$ , $140 °$ , $80 °$ .

$\sin 130 ° = \sin (180 ° - 50 °) = \sin 50 ° = 0, 766$

$\cos 40^{\circ} = \cos (90^{\circ} - 50^{\circ}) = \sin 50^{\circ} = 0, 766$

$\cos 140^{\circ} = \cos (180^{\circ} - 40^{\circ}) = - \cos 40^{\circ} = - 0, 766$

$\cos 80^{\circ} = \cos^{2} 40^{\circ} - 1 = 2 \cdot {(0, 766)}^{2} - 1 \approx 0, 17$

Przykład 6

Wyznaczymy długości przekątnych $a$ i $b$ dziewięciokąta foremnego o boku $5$ . Wyznaczenie długości przekątnej $c$ pozostawiamy jako ćwiczenie.

R15GwH9XZemgc

Ilustracja przedstawia dziewięciokąt, w którym cztery sąsiadujące wierzchołki podpisano A B C D, odcinek AC podpisano literą a, odcinek AD podpisano literą b, odcinek biegnący z punktu A do punktu sąsiadującego z punktem D, ale nie będącym punktem C podpisano literą c.

Kąt wewnętrzny dziewięciokąta foremnego wynosi:

$180 ° - \frac{360 °}{9} = 140 °$ .

Długość przekątnej $a$ wyznaczymy z twierdzenia cosinusów $a^{2} = 5^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cos 140 °$ .

Odczytujemy wartość cosinusa
$\cos 140 ° = \cos (180 ° - 40 °) = - \cos 40 ° \approx - 0, 766$ ,

stąd $a^{2} \approx 50 - 50 \cdot (- 0, 766) = 50 \cdot 1, 766 \approx 88, 3$ , więc $a \approx \sqrt{88, 3} \approx 9, 39$ .

Kąt $B C D$ ma miarę $140 ° - ∢ A C B = 140 ° - (\frac{180 ° - 140 °}{2}) = 120 °$ ,

stąd $b^{2} = a^{2} + 5^{2} - 2 \cdot a \cdot 5 \cos 120 ° \approx$

$\approx 88, 3 + 25 - 2 \cdot 9, 39 \cdot 5 \cdot (- \frac{1}{2}) = 160, 25$ ,

więc $b \approx \sqrt{160, 25} \approx 12, 66$ .

Słownik

triangulacja

podział figury geometrycznej na trójkąty w taki sposób, że część wspólna dowolnych dwóch różnych trójkątów jest ich wspólnym wierzchołkiem, wspólnym bokiem albo zbiorem pustym

Wprowadzenie

Aplet

Triangulacja w geodezji

Triangulacja w matematyce i grafice komputerowej

Co zrobił Snellius?

Korzystanie z tablic funkcji trygonometrycznych

Słownik