Niech $a$ oznacza długość boku pięciokąta $ABCDE$, a $b$ - długość boku pięciokąta $FGHIJ$. Kąt wewnętrzny pięciokąta foremnego ma miarę $108°$.

Stąd $\sphericalangle AIB={108}^{\circ }$ jako kąt wierzchołkowy kąta $HIJ$. Natomiast $\sphericalangle IAB=\sphericalangle IBA=\frac{{180}^{\circ }-{108}^{\circ }}{2}={36}^{\circ }$ jako kąty trójkąta równoramiennego $AIB$. Z twierdzenia sinusów mamy $\left|BI\right|=a\frac{\sin {36}^{\circ }}{\sin {108}^{\circ }}$.

Aby wyznaczyć $b=\left|IJ\right|$ rozważmy trójkąt $BIJ$, w którym $\sphericalangle BIJ=\sphericalangle BJI=180°-108°=72°$ jako kąt dopełniający kąt $108°$ oraz $\sphericalangle IBJ=180°-2·72°=36°$.

Z twierdzenia sinusów zastosowanego do tego trójkąta wynika, że

$b=\frac{\left|BI\right|·\sin 36°}{\sin 72°}=\frac{{\displaystyle \frac{a\sin 36°}{\sin 108°}}·\sin 36°}{\sin 72°}=\frac{a·{\sin }^{2}36°}{\sin 72°·\sin 108°}=\frac{a·{\sin }^{2}36°}{{\sin }^{2}72°}$.

Zatem $\frac{a}{b}=\frac{{\sin }^{2}72°}{{\sin }^{2}36°}=\frac{{\left(2\sin 36°\cos 36°\right)}^2}{{\sin }^{2}36°}=4{\cos }^{2}36°$. 

Po odczytaniu wartości cosinusa z tablic dostajemy $\frac{a}{b}\approx 4·0,{809}^2\approx 2,62$.

Kąt $ASB$ ma miarę $180°-40°-25°=115°$.

Z twierdzenia sinusów $\frac{d}{\sin 40°}=\frac{b}{\sin 90°}$, więc $d=b·\sin 40°$

oraz $\frac{b}{\sin 25°}=\frac{500}{\sin 115°}$, więc $b=\frac{500·\sin 25°}{\sin 115°}\approx \frac{500·0,42}{0,9}\approx 233,3$

- wartości sinusów odczytujemy z tablic.

Zatem $d=b·\sin 40°\approx 233,3·0,64=149,3 \mathrm{m}$.

Kąt $ACD$ ma miarę $180°-\left(90°-30°\right)=120°$.

Kąt $CDA$ ma miarę $180°-120°-6,6°=53,4°$.

Kąt $CDE$ ma miarę $180°-120°-9,9°=50,1°$.

Wtedy $\frac{x}{\sin 6,6°}=\frac{50+y}{\sin 53,4°}$, $\frac{x}{\sin 9,9°}=\frac{y}{\sin 50,1°}$.

Stąd $y=\frac{x·\sin 50,1°}{\sin 9,9°}$ oraz po wstawieniu do drugiej równości:

$x=\frac{\left(50+{\displaystyle \frac{x·\sin 50,1°}{\sin 9,9°}}\right)·\sin 6,6°}{\sin 53,4°}\approx \frac{\left(50+{\displaystyle \frac{x·0,767}{0,17}}\right)·0,11}{0,8}\approx \frac{5,5+0,496x}{0,8}$

$0,8x-0,496x=5,5$

$x=\frac{5,5}{0,3}\approx 18,33$.

Wieża ma wysokość około $18$ metrów.

Z twierdzenia cosinusów

${d_1}^2=a^2+b^2-2ab\cos 60°=a^2+b^2-ab$

${d_2}^2=a^2+b^2-2ab\cos 120°=a^2+b^2+ab$.

Wtedy

$\frac{{d_1}^2}{{d_2}^2}=\frac{a^2+b^2-ab}{a^2+b^2+ab}=\frac{a^2+b^2+ab-2ab}{a^2+b^2+ab}=1-\frac{2ab}{a^2+b^2+ab}=$

$=1-\frac{2}{{\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1}}=1-\frac{2}{{\displaystyle \frac{2}{5}+\frac{5}{2}+1}}=1-\frac{2·10}{4+25+10}=1-\frac{20}{39}=\frac{19}{39}$.

Zatem $\frac{d_1}{d_2}=\sqrt{\frac{19}{39}}=\frac{\sqrt{741}}{39}$