Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Korzystając z oznaczeń przedstawionych na rysunku, oceń prawdziwość podanych zdań.

R7alonRLOL0aZ

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B C, przy czym bok AB podpisano literą c, bok BC podpisano literą a, bok AC podpisano literą b. Kąt BAC podpisano literą alfa, kąt CBA podpisano literą beta, kąt BCA podpisano literą gamma.

RNeS5DAp8jcB6

Łączenie par. Zaznacz w odpowiedniej kolumnie, czy zdania jest prawdziwe czy fałszywe. . Jeżeli znamy

b

β

, to z twierdzenia sinusów możemy obliczyć długość promienia okręgu opisanego na trójkącie

A B C .

. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jeżeli znamy

a

α

, to z twierdzenia cosinusów możemy obliczyć długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt

A B C .

. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jeżeli znamy miary wszystkich kątów i wiemy, że jeden z boków ma długość

10

, to z twierdzenia sinusów możemy obliczyć długości pozostałych boków trójkąta

A B C .

. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jeżeli znamy

c

oraz

α

β

, to z twierdzenia sinusów możemy obliczyć długości pozostałych boków trójkąta

A B C .

. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jeżeli znamy

b

c

oraz wiemy, że jeden z kątów ma miarę

30 °

, to z twierdzenia cosinusów możemy obliczyć długość boku

a

i miary pozostałych kątów trójkąta

A B C .

. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jeżeli znamy

a

c

oraz

β

, to z twierdzenia cosinusów możemy obliczyć długość boku

b

i miary pozostałych kątów trójkąta

A B C .

. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Zdanie	Prawda	Fałsz
Jeżeli znamy $b$ i $β$ , to z twierdzenia sinusów możemy obliczyć długość promienia okręgu opisanego na trójkącie $A B C .$	□	□
Jeżeli znamy $a$ i $α$ , to z twierdzenia cosinusów możemy obliczyć długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt $A B C .$	□	□
Jeżeli znamy miary wszystkich kątów i wiemy, że jeden z boków ma długość $10$ , to z twierdzenia sinusów możemy obliczyć długości pozostałych boków trójkąta $A B C .$	□	□
Jeżeli znamy $c$ oraz $α$ i $β$ , to z twierdzenia sinusów możemy obliczyć długości pozostałych boków trójkąta $A B C .$	□	□
Jeżeli znamy $b$ i $c$ oraz wiemy, że jeden z kątów ma miarę $30 °$ , to z twierdzenia cosinusów możemy obliczyć długość boku $a$ i miary pozostałych kątów trójkąta $A B C .$	□	□
Jeżeli znamy $a$ i $c$ oraz $β$ , to z twierdzenia cosinusów możemy obliczyć długość boku $b$ i miary pozostałych kątów trójkąta $A B C .$	□	□

Ćwiczenie 2

Kąt $α$ jest kątem pewnego trójkąta. Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi.

RBRHtV1T9AWrX

Jeżeli $α = 42, 5 °$ , to w przybliżeniu do $4$ miejsc po przecinku sinus tego kąta wynosi:

$0, 4762$
$0, 5873$
$0, 6756$
$0, 7821$

R1U3T4uvSu2gD

Jeżeli $\sin α \approx 0, 9426$ , to miara tego kąta w przybliżeniu wynosi:

$64, 5 °$
$70, 5 °$
$101, 5 °$
$109, 5 °$

R1K3gU3somT8I

Jeżeli chcemy z tablic sinusa odczytać wartość $\cos 35 °$ , to należy odczytać:

$\sin 35 °$
$\sin 55 °$
$\sin 125 °$
$\sin 145 °$

RBRHtV1T9AWrX

Jeżeli $α = 42, 5 °$ , to w przybliżeniu do $4$ miejsc po przecinku sinus tego kąta wynosi:

$0, 4762$
$0, 5873$
$0, 6756$
$0, 7821$

R1U3T4uvSu2gD

Jeżeli $\sin α \approx 0, 9426$ , to miara tego kąta w przybliżeniu wynosi:

$64, 5 °$
$70, 5 °$
$101, 5 °$
$109, 5 °$

R1K3gU3somT8I

Jeżeli chcemy z tablic sinusa odczytać wartość $\cos 35 °$ , to należy odczytać:

$\sin 35 °$
$\sin 55 °$
$\sin 125 °$
$\sin 145 °$

Ćwiczenie 3

Na pięciokącie foremnym o boku $a$ opisano okrąg o środku $O$ . Wykonano triangulację tego pięciokąta łącząc środek okręgu z wierzchołkami pięciokąta. Przeanalizuj poniższe problemy i zaznacz poprawne odpowiedzi.

Rf3Z4OfiTmn3t

Kąty wewnętrzne pięciokąta mają miarę

$144 °$
$120 °$
$108 °$
$72 °$

RBMciRGVNzauA

Długość promienia $r$ okręgu opisanego na tym pięciokącie wynosi:

$a \frac{\sin 54 °}{\sin 72 °}$
$a \frac{\sin 108 °}{\sin 72 °}$
$a \frac{\sin 108 °}{\sin 54 °}$
$a \frac{\sin 144 °}{\sin 54 °}$

R1NwRSpzyqZEL

Jeżeli $a = 10$ , to po odczytaniu z tablic wartości sinusów przybliżona długość promienia wynosi:

$10$
$9, 46$
$8, 99$
$8, 51$

RGafzKL3epnEs

Długość przekątnej $d$ tego pięciokąta wynosi:

$2 a \sin 54 °$
$a \sin 72 °$
$2 a \sin 72 °$
$2 a \sin 108 °$

RdK8nc1Kjd1ad

Jeżeli $a = 10$ , to po odczytaniu z tablic wartości sinusów przybliżona długość przekątnej wynosi:

$8, 09$
$8, 62$
$9, 16$
$13, 77$

Rf3Z4OfiTmn3t

Kąty wewnętrzne pięciokąta mają miarę

$144 °$
$120 °$
$108 °$
$72 °$

RBMciRGVNzauA

Długość promienia $r$ okręgu opisanego na tym pięciokącie wynosi:

$a \frac{\sin 54 °}{\sin 72 °}$
$a \frac{\sin 108 °}{\sin 72 °}$
$a \frac{\sin 108 °}{\sin 54 °}$
$a \frac{\sin 144 °}{\sin 54 °}$

R1NwRSpzyqZEL

Jeżeli $a = 10$ , to po odczytaniu z tablic wartości sinusów przybliżona długość promienia wynosi:

$10$
$9, 46$
$8, 99$
$8, 51$

RGafzKL3epnEs

Długość przekątnej $d$ tego pięciokąta wynosi:

$2 a \sin 54 °$
$a \sin 72 °$
$2 a \sin 72 °$
$2 a \sin 108 °$

RdK8nc1Kjd1ad

Jeżeli $a = 10$ , to po odczytaniu z tablic wartości sinusów przybliżona długość przekątnej wynosi:

$8, 09$
$8, 62$
$9, 16$
$13, 77$

Ćwiczenie 4

Sześciokąt $B C D E F G$ wpisano w okrąg o promieniu $r = 10$ i środku $A$ . Znane jest pięć kątów wewnętrznych tego sześciokąta:

$∢ G B C = 120 °$ , $∢ B C D = 130 °$ , $∢ C D E = 140 °$ , $∢ D E F = 110 °$ , $∢ E F G = 100 °$ oraz jeden bok $|B C| = 10$ .

Dokonano triangulacji tego sześciokąta łącząc środek okręgu $A$ z jego wierzchołkami. Uzupełnij tabelę dopasowując długości boków sześciokąta.

R5qo1yjlv0UrC

Dopasuj liczby do długości boków:

|B C|

Możliwe odpowiedzi: 1.

15, 3

, 2.

10

, 3.

10

, 4.

5, 18

, 5.

6, 84

, 6.

6, 84

|G B|

Możliwe odpowiedzi: 1.

15, 3

, 2.

10

, 3.

10

, 4.

5, 18

, 5.

6, 84

, 6.

6, 84

|C D|

Możliwe odpowiedzi: 1.

15, 3

, 2.

10

, 3.

10

, 4.

5, 18

, 5.

6, 84

, 6.

6, 84

|D E|

Możliwe odpowiedzi: 1.

15, 3

, 2.

10

, 3.

10

, 4.

5, 18

, 5.

6, 84

, 6.

6, 84

|E F|

Możliwe odpowiedzi: 1.

15, 3

, 2.

10

, 3.

10

, 4.

5, 18

, 5.

6, 84

, 6.

6, 84

|F G|

Możliwe odpowiedzi: 1.

15, 3

, 2.

10

, 3.

10

, 4.

5, 18

, 5.

6, 84

, 6.

6, 84

$"|"B C"|"$ , $"|"G B"|"$ , $"|"C D"|"$ , $"|"D E"|"$ , $"|"E F"|"$ , $"|"F G"|"$

bok sześciokąta	długość boku
$"\|"B C"\|"$
$"\|"G B"\|"$
$"\|"C D"\|"$
$"\|"D E"\|"$
$"\|"E F"\|"$
$"\|"F G"\|"$

Ćwiczenie 5

Na rysunku przedstawiony jest pięciokąt foremny $A B C D E$ . Wyznacz stosunek długości boku pięciokąta $A B C D E$ do długości boku pięciokąta $F G H I J$ .

RYhQe9FhbHgR0

Ilustracja przedstawia pięciokąt foremny o wierzchołkach A B C D E. Wierzchołek A połączono z wierzchołkiem C oraz D, wierzchołek B z wierzchołkiem D oraz E, wierzchołek C z wierzchołkiem A oraz E, wierzchołek D z wierzchołkiem A oraz B, wierzchołek E z wierzchołkiem C oraz A, w taki sposób, że tworzą pięcioramienną gwiazdę. Punkty przecięcia się odcinków tworzą pięciokąt. Punkt przecięcia odcinka AC z CE podpisano literą I, przecięcie AC z BD literą J, przecięcie BD z CE literą F, przecięcie CE z AD literą G, a przecięcie AD z BE literą H.

Niech $a$ oznacza długość boku pięciokąta $A B C D E$ , a $b$ - długość boku pięciokąta $F G H I J$ . Kąt wewnętrzny pięciokąta foremnego ma miarę $108 °$ .

Stąd $∢ A I B = 108^{\circ}$ jako kąt wierzchołkowy kąta $H I J$ . Natomiast $∢ I A B = ∢ I B A = \frac{180^{\circ} - 108^{\circ}}{2} = 36^{\circ}$ jako kąty trójkąta równoramiennego $A I B$ . Z twierdzenia sinusów mamy $| B I | = a \frac{\sin 36^{\circ}}{\sin 108^{\circ}}$ .

Aby wyznaczyć $b = |I J|$ rozważmy trójkąt $B I J$ , w którym $∢ B I J = ∢ B J I = 180 ° - 108 ° = 72 °$ jako kąt dopełniający kąt $108 °$ oraz $∢ I B J = 180 ° - 2 \cdot 72 ° = 36 °$ .

Z twierdzenia sinusów zastosowanego do tego trójkąta wynika, że

$b = \frac{|B I| \cdot \sin 36 °}{\sin 72 °} = \frac{\frac{a \sin 36 °}{\sin 108 °} \cdot \sin 36 °}{\sin 72 °} = \frac{a \cdot \sin^{2} 36 °}{\sin 72 ° \cdot \sin 108 °} = \frac{a \cdot \sin^{2} 36 °}{\sin^{2} 72 °}$ .

Zatem $\frac{a}{b} = \frac{\sin^{2} 72 °}{\sin^{2} 36 °} = \frac{{(2 \sin 36 ° \cos 36 °)}^{2}}{\sin^{2} 36 °} = 4 \cos^{2} 36 °$ .

Po odczytaniu wartości cosinusa z tablic dostajemy $\frac{a}{b} \approx 4 \cdot 0, 809^{2} \approx 2, 62$ .

Ćwiczenie 6

Z punktu $A$ statek widać pod kątem $α = 40 °$ , a z punktu $B$ pod kątem $β = 25 °$ . Odcinek brzegu między punktami $A$ i $B$ ma długość $500 m$ . Wyznacz odległość statku od brzegu, czyli odcinka $A B$ .

R139kdxC8q2WL

Ilustracja przedstawia trójkąt o wierzchołkach A B , bok AS podpisano literą b, bok BS podpisano literą a. Kąt BAS ma miarę 40 stopni, kąt ABS ma miarę 25 stopni. Z wierzchołka S na podstawę AB opuszczono wysokość d, spodek tej wysokości podpisano literą C. Odcinek AB ma długość 500 metrów.

Kąt $A S B$ ma miarę $180 ° - 40 ° - 25 ° = 115 °$ .

Z twierdzenia sinusów $\frac{d}{\sin 40 °} = \frac{b}{\sin 90 °}$ , więc $d = b \cdot \sin 40 °$

oraz $\frac{b}{\sin 25 °} = \frac{500}{\sin 115 °}$ , więc $b = \frac{500 \cdot \sin 25 °}{\sin 115 °} \approx \frac{500 \cdot 0, 42}{0, 9} \approx 233, 3$

- wartości sinusów odczytujemy z tablic.

Zatem $d = b \cdot \sin 40 ° \approx 233, 3 \cdot 0, 64 = 149, 3 m$ .

Ćwiczenie 7

Wieża stoi na wzgórzu o nachyleniu $30 °$ . Jeśli stoimy u podnóża wzgórza widzimy szczyt wieży pod kątem $6, 6 °$ . Po przejściu $50 m$ w kierunku szczytu wzgórza widzimy szczyt wieży pod kątem $9, 9 °$ . Jaka jest wysokość wieży?

R1BWSvCFvWuTb

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny A B D, na boku BD zaznaczono punkt C, odcinek DC podpisano literą x. W trójkącie zaznaczono odcinek AC, kąt BAC ma miarę 30 stopni. Kąt DAC ma miarę 6,6 stopnia. Na odcinku AC zaznaczono punkt E, odcinek EC podpisano literą y, kąt CED ma miarę 9,9 stopnia. Odcinek AE ma długość pięćdziesiąt.

Kąt $A C D$ ma miarę $180 ° - (90 ° - 30 °) = 120 °$ .

Kąt $C D A$ ma miarę $180 ° - 120 ° - 6, 6 ° = 53, 4 °$ .

Kąt $C D E$ ma miarę $180 ° - 120 ° - 9, 9 ° = 50, 1 °$ .

Wtedy $\frac{x}{\sin 6, 6 °} = \frac{50 + y}{\sin 53, 4 °}$ , $\frac{x}{\sin 9, 9 °} = \frac{y}{\sin 50, 1 °}$ .

Stąd $y = \frac{x \cdot \sin 50, 1 °}{\sin 9, 9 °}$ oraz po wstawieniu do drugiej równości:

$x = \frac{(50 + \frac{x \cdot \sin 50, 1 °}{\sin 9, 9 °}) \cdot \sin 6, 6 °}{\sin 53, 4 °} \approx \frac{(50 + \frac{x \cdot 0, 767}{0, 17}) \cdot 0, 11}{0, 8} \approx \frac{5, 5 + 0, 496 x}{0, 8}$

$0, 8 x - 0, 496 x = 5, 5$

$x = \frac{5, 5}{0, 3} \approx 18, 33$ .

Wieża ma wysokość około $18$ metrów.

Ćwiczenie 8

Stosunek boków $a$ , $b$ równoległoboku o kącie ostrym $60 °$ wynosi $2 : 5$ . Wyznacz stosunek krótszej przekątnej $d_{1}$ równoległoboku do jego dłuższej przekątnej $d_{2}$ .

Z twierdzenia cosinusów

${d_{1}}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos 60 ° = a^{2} + b^{2} - a b$

${d_{2}}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos 120 ° = a^{2} + b^{2} + a b$ .

Wtedy

$\frac{{d_{1}}^{2}}{{d_{2}}^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2} - a b}{a^{2} + b^{2} + a b} = \frac{a^{2} + b^{2} + a b - 2 a b}{a^{2} + b^{2} + a b} = 1 - \frac{2 a b}{a^{2} + b^{2} + a b} =$

$= 1 - \frac{2}{\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1} = 1 - \frac{2}{\frac{2}{5} + \frac{5}{2} + 1} = 1 - \frac{2 \cdot 10}{4 + 25 + 10} = 1 - \frac{20}{39} = \frac{19}{39}$ .

Zatem $\frac{d_{1}}{d_{2}} = \sqrt{\frac{19}{39}} = \frac{\sqrt{741}}{39}$

Aplet

Dla nauczyciela