Dany jest wielomian $W\left(x\right)$. Wiadomo, że $W\left(x\right)$ jest podzielny przez x plus 2, reszta z dzielenia $W\left(x\right)$ przez x odjąć 5 wynosi 105, reszta z dzielenia $W\left(x\right)$ przez x odjąć 4 wynosi 60. Jaka jest reszta z dzielenia $W\left(x\right)$ przez $P\left(x\right)=x^3-7x^2+2x+40=\left(x+2\right)\left(x-5\right)\left(x-4\right)$? Wykonaj samodzielnie następny krok.

Wykonaj samodzielnie kolejny krok.

Wykonaj samodzielnie kolejny krok.

Jaka jest reszta z dzielenia $W\left(x\right)$ przez $P\left(x\right)=x^3-7x^2+2x+40=\left(x+2\right)\left(x-5\right)\left(x-4\right)$?

Wiemy, że wielomiany $Q\left(x\right)$ i $R\left(x\right)$ są takie, że

przy czym $R\left(x\right)$ jest wielomianem stopnia co najwyżej drugiego.

Resztę wielomianu możemy zapisać jako $R\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$.

Wykorzystajmy zebrane wiadomości.

Wiemy, ze $W\left(-2\right)=0$.

Zapiszemy teraz wielomian, podstawiając wzór na resztę wielomianu. Zatem wielomian jest postaci:

$W\left(x\right)=Q\left(x\right)·\left(x+2\right)\left(x-5\right)\left(x-4\right)+a{x}^2+bx+c$

Podstawmy do tej postaci wielomianu $x=-2$.

$W\left(-2\right)=Q\left(-2\right)·\left(-2+2\right)\left(-2-5\right)\left(-2-4\right)+a{\left(-2\right)}^2+b\left(-2\right)+c$

$0=0+4a-2b+c$

Stąd otrzymujemy

$4a-2b+c=0$.

Wykonamy to samo rozumowanie dla argumentu $x=5$.

Wiemy, ze $W\left(5\right)=105$.

Zapiszemy teraz wielomian, podstawiając wzór na resztę wielomianu. Zatem wielomian jest postaci:

$W\left(x\right)=Q\left(x\right)·\left(x+2\right)\left(x-5\right)\left(x-4\right)+a{x}^2+bx+c$

Podstawmy do tej postaci wielomianu $x=5$.

$W\left(5\right)=Q\left(5\right)·\left(5+2\right)\left(5-5\right)\left(5-4\right)+a{\left(5\right)}^2+b\left(5\right)+c$

$105=0+25a+5b+c$

Stąd otrzymujemy

$25a+5b+c=105$.

Wykonamy to samo rozumowanie dla argumentu $x=4$.

Wiemy, ze $W\left(4\right)=60$.

Zapiszemy teraz wielomian, podstawiając wzór na resztę wielomianu. Zatem wielomian jest postaci:

$W\left(x\right)=Q\left(x\right)·\left(x+2\right)\left(x-5\right)\left(x-4\right)+a{x}^2+bx+c$

Podstawmy do tej postaci wielomianu $x=4$.

$W\left(4\right)=Q\left(4\right)·\left(4+2\right)\left(4-4\right)\left(4-4\right)+a{\left(4\right)}^2+b\left(4\right)+c$

$60=0+16a+4b+c$

Stąd otrzymujemy

$16a+4b+c=60$.

Dany jest wielomian $W\left(x\right)$. Wiadmo, że

$\left\{\begin{array}{l}4a-2b+c=0\\ 25a+5b+c=105\\ 16a+4b+c=60\end{array}\right.$

Rozwiązujemy układ trzech równań i otrzymujemy, że

$\left\{\begin{array}{l}a=5\\ b=0\\ c=-20\end{array}\right..$

Istnieją wielomiany $Q\left(x\right)$ i $R\left(x\right)$ takie, że $W\left(x\right)=Q\left(x\right)·\left(x+2\right)\left(x-5\right)\left(x-4\right)+R\left(x\right)$, przy czym $R\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$.

Więc szukana reszta wynosi $R\left(x\right)=5x^2-20$.