Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RRxhCjCjMuP1A1

Ćwiczenie 1

Reszta z dzielenia wielomianu $W (x)$ przez $x + 1$ wynosi $2$ , a reszta z dzielenia przez $x + 2$ wynosi $1$ . Jaka jest reszta z dzielenia $W (x)$ przez $(x + 1) (x + 2)$ ?

$x + 3$
$2$
$1$
$x - 3$
$x + 1$
$x - 1$
$0$

RQTG33I7fJJqI1

Ćwiczenie 2

Reszta z dzielenia wielomianu $W (x)$ przez $x^{2} + 2 x - 15$ wynosi $3 x - 4$ .
Jaka jest reszta z dzielenia $W (x)$ przez $x + 5$ ?

$- 19$
$11$
$x - 3$
$- 3$
$x + 3$

R1AlJWhoe8GyZ1

Ćwiczenie 3

Wskaż poprawne dokończenia zdania. Dany jest wielomian $W (x) = (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 3) + 3$ . Zatem reszta z dzielenia $W (x)$ przez

$x + 3$ wynosi $3$ .
$x - 3$ wynosi $3$ .
$x + \sqrt{3}$ wynosi $3$ .
$x - \sqrt{3}$ wynosi $3$ .
$x$ wynosi $3$ .

RgvToJiHzdEkp2

Ćwiczenie 4

Dla jakich wartości parametru $m$ reszta z dzielenia wielomianu
$W (x) = x^{4} + m x^{3} + m^{2} x + 9$ przez $x + 2$ wynosi $1$ ?

$m = 2$
$m = 6$
$m = - 2$
$m = - 6$
$m = - 1$
$m = 1$

R5HXnVNxvrMc32

Ćwiczenie 5

Reszta z dzielenia wielomianu $W (x)$ przez $x^{3} - 343$ wynosi $x^{2} - 5 x - 6$ .

Zatem reszta z dzielenia $W (x)$ przez $x - 7$ jest równa .............

R1RIX4bVCvUOv2

Ćwiczenie 6

Dany jest wielomian $W (x) = x^{4} + p x^{2} + q$ .
Wiadomo, że reszta z dzielenia $W (x)$ przez $x + 3$ wynosi $49$ , a reszta z dzielenia przez $x + 1$ wynosi $16$ . Wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

$W (x) = {(x + 3)}^{2}$ .
$W (3) = 49$ .
$W (1) = 16$ .
$p + q = 15$ .
$W (x) = {(x^{2} + 3)}^{2}$ .
$W (3) = W (- 3)$ .

R15eibwJ901FG3

Ćwiczenie 7

Wielomian

W (x) = a x^{4} - 4 x^{3} + 11 x^{2} + b x + c

jest podzielny przez wielomian

x^{2} + 2 x - 3

, a z dzielenia przez dwumian

x + 1

daje resztę

- 12

. Wskaż, jak poprawnie uzupełnić rozumowanie prowadzące do wyznaczenia parametrów

a

b

c

. Zauważmy, że

x^{2} + 2 x - 3 =

(x - 3) (x + 1)

(x - 1) (x + 3)

.
Zatem

W (- 1) = W (3) = 0

W (1) = W (- 3) = 0

.
Ponadto

W (- 1) = - 12

W (1) = - 12

.
Zatem

$a - 4 + 11 + b + c = 0$ / $a - 4 - 11 - b + c = 0$ ,
$a + 4 + 11 - b + c = - 12$ / $a + 4 + 11 + b + c = - 12$ ,
$81 a + 108 + 99 - 3 b + c = 0$ / $81 a - 108 + 99 + 3 b + c = 0$ .

Po obliczeniach uzyskujemy

$a =$ $2$ / $- 2$ / $- 0, 4$ ,
$b =$ $10$ / $- 22$ / $22$ ,
$c =$ $- 36$ / $- 15$ / $- 18, 6$ .

Wielomian $W (x) = a x^{4} - 4 x^{3} + 11 x^{2} + b x + c$ jest podzielny przez wielomian $x^{2} + 2 x - 3$ , a z dzielenia przez dwumian $x + 1$ daje resztę $- 12$ . Wskaż, jak poprawnie uzupełnić rozumowanie prowadzące do wyznaczenia parametrów $a$ , $b$ , $c$ .

Zauważmy, że $x^{2} + 2 x - 3 =$ { $(x - 3) (x + 1)$ }/{# $(x - 1) (x + 3)$ }.
Zatem { $W (- 1) = W (3) = 0$ }/{# $W (1) = W (- 3) = 0$ }.
Ponadto {# $W (- 1) = - 12$ }/{ $W (1) = - 12$ }.
Zatem

{# $a - 4 + 11 + b + c = 0$ }/{ $a - 4 - 11 - b + c = 0$ },
{# $a + 4 + 11 - b + c = - 12$ }/{ $a + 4 + 11 + b + c = - 12$ },
{# $81 a + 108 + 99 - 3 b + c = 0$ }/{ $81 a - 108 + 99 + 3 b + c = 0$ }.

Po obliczeniach uzyskujemy

$a =$ { $2$ }/{# $- 2$ }/{ $- 0, 4$ },
$b =$ {# $10$ }/{ $- 22$ }/{ $22$ },
$c =$ { $- 36$ }/{# $- 15$ }/{ $- 18, 6$ }.

R14zY0GZ26HLy3

Ćwiczenie 8

Dany jest wielomian

W (x)

. Wiadomo, że:

reszta z dzielenia $W (x)$ przez $x^{2} - 1$ to $x + 12$ .
reszta z dzielenia $W (x)$ przez $x + 5$ to $31$ .

Jaka jest reszta z dzielenia

W (x)

przez

P (x) = (x + 5) (x^{2} - 1)

?
Uzupełnij kolejne kroki rozumowania. Istnieje wielomian

Q (x)

oraz reszta będąca wielomianem

R (x)

stopnia 1.

a - b + c

, 2.

1

, 3. co najwyżej drugiego, 4.

2 x - 3

, 5.

a x^{2} + b x + c

, 6.

a + b + c

, 7.

\{\begin{cases} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{cases}

, 8.

- 5

, 9.

(x + 5) (x - 1) (x + 1)

, 10.

- 1

, 11.

W (x)

, 12.

5

, 13.

a x + b

, 14.

x^{2} + x + 11

, 15. pierwszego, 16.

25 a - 5 b + c

takie, że
1.

a - b + c

, 2.

1

, 3. co najwyżej drugiego, 4.

2 x - 3

, 5.

a x^{2} + b x + c

, 6.

a + b + c

, 7.

\{\begin{cases} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{cases}

, 8.

- 5

, 9.

(x + 5) (x - 1) (x + 1)

, 10.

- 1

, 11.

W (x)

, 12.

5

, 13.

a x + b

, 14.

x^{2} + x + 11

, 15. pierwszego, 16.

25 a - 5 b + c

= Q (x) \cdot P (x) + R (x) = Q (x) \cdot

a - b + c

, 2.

1

, 3. co najwyżej drugiego, 4.

2 x - 3

, 5.

a x^{2} + b x + c

, 6.

a + b + c

, 7.

\{\begin{cases} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{cases}

, 8.

- 5

, 9.

(x + 5) (x - 1) (x + 1)

, 10.

- 1

, 11.

W (x)

, 12.

5

, 13.

a x + b

, 14.

x^{2} + x + 11

, 15. pierwszego, 16.

25 a - 5 b + c

+

a - b + c

, 2.

1

, 3. co najwyżej drugiego, 4.

2 x - 3

, 5.

a x^{2} + b x + c

, 6.

a + b + c

, 7.

\{\begin{cases} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{cases}

, 8.

- 5

, 9.

(x + 5) (x - 1) (x + 1)

, 10.

- 1

, 11.

W (x)

, 12.

5

, 13.

a x + b

, 14.

x^{2} + x + 11

, 15. pierwszego, 16.

25 a - 5 b + c

.
Zatem

$W (1) =$ 1. $a - b + c$ , 2. $1$ , 3. co najwyżej drugiego, 4. $2 x - 3$ , 5. $a x^{2} + b x + c$ , 6. $a + b + c$ , 7. $\{\begin{cases} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{cases}$ , 8. $- 5$ , 9. $(x + 5) (x - 1) (x + 1)$ , 10. $- 1$ , 11. $W (x)$ , 12. $5$ , 13. $a x + b$ , 14. $x^{2} + x + 11$ , 15. pierwszego, 16. $25 a - 5 b + c$
$W (- 1) =$ 1. $a - b + c$ , 2. $1$ , 3. co najwyżej drugiego, 4. $2 x - 3$ , 5. $a x^{2} + b x + c$ , 6. $a + b + c$ , 7. $\{\begin{cases} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{cases}$ , 8. $- 5$ , 9. $(x + 5) (x - 1) (x + 1)$ , 10. $- 1$ , 11. $W (x)$ , 12. $5$ , 13. $a x + b$ , 14. $x^{2} + x + 11$ , 15. pierwszego, 16. $25 a - 5 b + c$
$W (- 5) =$ 1. $a - b + c$ , 2. $1$ , 3. co najwyżej drugiego, 4. $2 x - 3$ , 5. $a x^{2} + b x + c$ , 6. $a + b + c$ , 7. $\{\begin{cases} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{cases}$ , 8. $- 5$ , 9. $(x + 5) (x - 1) (x + 1)$ , 10. $- 1$ , 11. $W (x)$ , 12. $5$ , 13. $a x + b$ , 14. $x^{2} + x + 11$ , 15. pierwszego, 16. $25 a - 5 b + c$

Z twierdzenia o reszcie wiemy, że

$W ($ 1. $a - b + c$ , 2. $1$ , 3. co najwyżej drugiego, 4. $2 x - 3$ , 5. $a x^{2} + b x + c$ , 6. $a + b + c$ , 7. $\{\begin{cases} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{cases}$ , 8. $- 5$ , 9. $(x + 5) (x - 1) (x + 1)$ , 10. $- 1$ , 11. $W (x)$ , 12. $5$ , 13. $a x + b$ , 14. $x^{2} + x + 11$ , 15. pierwszego, 16. $25 a - 5 b + c$ $) = 31$
$W ($ 1. $a - b + c$ , 2. $1$ , 3. co najwyżej drugiego, 4. $2 x - 3$ , 5. $a x^{2} + b x + c$ , 6. $a + b + c$ , 7. $\{\begin{cases} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{cases}$ , 8. $- 5$ , 9. $(x + 5) (x - 1) (x + 1)$ , 10. $- 1$ , 11. $W (x)$ , 12. $5$ , 13. $a x + b$ , 14. $x^{2} + x + 11$ , 15. pierwszego, 16. $25 a - 5 b + c$ $) = 1 + 12 = 13$
$W ($ 1. $a - b + c$ , 2. $1$ , 3. co najwyżej drugiego, 4. $2 x - 3$ , 5. $a x^{2} + b x + c$ , 6. $a + b + c$ , 7. $\{\begin{cases} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{cases}$ , 8. $- 5$ , 9. $(x + 5) (x - 1) (x + 1)$ , 10. $- 1$ , 11. $W (x)$ , 12. $5$ , 13. $a x + b$ , 14. $x^{2} + x + 11$ , 15. pierwszego, 16. $25 a - 5 b + c$ $) = - 1 + 12 = 11$

Otrzymujemy układ trzech równań:
1.

a - b + c

, 2.

1

, 3. co najwyżej drugiego, 4.

2 x - 3

, 5.

a x^{2} + b x + c

, 6.

a + b + c

, 7.

\{\begin{cases} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{cases}

, 8.

- 5

, 9.

(x + 5) (x - 1) (x + 1)

, 10.

- 1

, 11.

W (x)

, 12.

5

, 13.

a x + b

, 14.

x^{2} + x + 11

, 15. pierwszego, 16.

25 a - 5 b + c

.
Po jego rozwiązaniu wyznaczamy resztę.

R (x)

a - b + c

, 2.

1

, 3. co najwyżej drugiego, 4.

2 x - 3

, 5.

a x^{2} + b x + c

, 6.

a + b + c

, 7.

\{\begin{cases} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{cases}

, 8.

- 5

, 9.

(x + 5) (x - 1) (x + 1)

, 10.

- 1

, 11.

W (x)

, 12.

5

, 13.

a x + b

, 14.

x^{2} + x + 11

, 15. pierwszego, 16.

25 a - 5 b + c

Dany jest wielomian

W (x)

. Wiadomo, że:

reszta z dzielenia $W (x)$ przez $x^{2} - 1$ to $x + 12$ .
reszta z dzielenia $W (x)$ przez $x + 5$ to $31$ .

Jaka jest reszta z dzielenia

W (x)

przez

P (x) = (x + 5) (x^{2} - 1)

?
Uzupełnij kolejne kroki rozumowania. Istnieje wielomian

Q (x)

oraz reszta będąca wielomianem

R (x)

stopnia 1.

a - b + c

, 2.

1

, 3. co najwyżej drugiego, 4.

2 x - 3

, 5.

a x^{2} + b x + c

, 6.

a + b + c

, 7.

\{\begin{cases} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{cases}

, 8.

- 5

, 9.

(x + 5) (x - 1) (x + 1)

, 10.

- 1

, 11.

W (x)

, 12.

5

, 13.

a x + b

, 14.

x^{2} + x + 11

, 15. pierwszego, 16.

25 a - 5 b + c

takie, że
1.

a - b + c

, 2.

1

, 3. co najwyżej drugiego, 4.

2 x - 3

, 5.

a x^{2} + b x + c

, 6.

a + b + c

, 7.

\{\begin{cases} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{cases}

, 8.

- 5

, 9.

(x + 5) (x - 1) (x + 1)

, 10.

- 1

, 11.

W (x)

, 12.

5

, 13.

a x + b

, 14.

x^{2} + x + 11

, 15. pierwszego, 16.

25 a - 5 b + c

= Q (x) \cdot P (x) + R (x) = Q (x) \cdot

a - b + c

, 2.

1

, 3. co najwyżej drugiego, 4.

2 x - 3

, 5.

a x^{2} + b x + c

, 6.

a + b + c

, 7.

\{\begin{cases} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{cases}

, 8.

- 5

, 9.

(x + 5) (x - 1) (x + 1)

, 10.

- 1

, 11.

W (x)

, 12.

5

, 13.

a x + b

, 14.

x^{2} + x + 11

, 15. pierwszego, 16.

25 a - 5 b + c

+

a - b + c

, 2.

1

, 3. co najwyżej drugiego, 4.

2 x - 3

, 5.

a x^{2} + b x + c

, 6.

a + b + c

, 7.

\{\begin{cases} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{cases}

, 8.

- 5

, 9.

(x + 5) (x - 1) (x + 1)

, 10.

- 1

, 11.

W (x)

, 12.

5

, 13.

a x + b

, 14.

x^{2} + x + 11

, 15. pierwszego, 16.

25 a - 5 b + c

.
Zatem

$W (1) =$ 1. $a - b + c$ , 2. $1$ , 3. co najwyżej drugiego, 4. $2 x - 3$ , 5. $a x^{2} + b x + c$ , 6. $a + b + c$ , 7. $\{\begin{cases} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{cases}$ , 8. $- 5$ , 9. $(x + 5) (x - 1) (x + 1)$ , 10. $- 1$ , 11. $W (x)$ , 12. $5$ , 13. $a x + b$ , 14. $x^{2} + x + 11$ , 15. pierwszego, 16. $25 a - 5 b + c$
$W (- 1) =$ 1. $a - b + c$ , 2. $1$ , 3. co najwyżej drugiego, 4. $2 x - 3$ , 5. $a x^{2} + b x + c$ , 6. $a + b + c$ , 7. $\{\begin{cases} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{cases}$ , 8. $- 5$ , 9. $(x + 5) (x - 1) (x + 1)$ , 10. $- 1$ , 11. $W (x)$ , 12. $5$ , 13. $a x + b$ , 14. $x^{2} + x + 11$ , 15. pierwszego, 16. $25 a - 5 b + c$
$W (- 5) =$ 1. $a - b + c$ , 2. $1$ , 3. co najwyżej drugiego, 4. $2 x - 3$ , 5. $a x^{2} + b x + c$ , 6. $a + b + c$ , 7. $\{\begin{cases} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{cases}$ , 8. $- 5$ , 9. $(x + 5) (x - 1) (x + 1)$ , 10. $- 1$ , 11. $W (x)$ , 12. $5$ , 13. $a x + b$ , 14. $x^{2} + x + 11$ , 15. pierwszego, 16. $25 a - 5 b + c$

Z twierdzenia o reszcie wiemy, że

$W ($ 1. $a - b + c$ , 2. $1$ , 3. co najwyżej drugiego, 4. $2 x - 3$ , 5. $a x^{2} + b x + c$ , 6. $a + b + c$ , 7. $\{\begin{cases} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{cases}$ , 8. $- 5$ , 9. $(x + 5) (x - 1) (x + 1)$ , 10. $- 1$ , 11. $W (x)$ , 12. $5$ , 13. $a x + b$ , 14. $x^{2} + x + 11$ , 15. pierwszego, 16. $25 a - 5 b + c$ $) = 31$
$W ($ 1. $a - b + c$ , 2. $1$ , 3. co najwyżej drugiego, 4. $2 x - 3$ , 5. $a x^{2} + b x + c$ , 6. $a + b + c$ , 7. $\{\begin{cases} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{cases}$ , 8. $- 5$ , 9. $(x + 5) (x - 1) (x + 1)$ , 10. $- 1$ , 11. $W (x)$ , 12. $5$ , 13. $a x + b$ , 14. $x^{2} + x + 11$ , 15. pierwszego, 16. $25 a - 5 b + c$ $) = 1 + 12 = 13$
$W ($ 1. $a - b + c$ , 2. $1$ , 3. co najwyżej drugiego, 4. $2 x - 3$ , 5. $a x^{2} + b x + c$ , 6. $a + b + c$ , 7. $\{\begin{cases} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{cases}$ , 8. $- 5$ , 9. $(x + 5) (x - 1) (x + 1)$ , 10. $- 1$ , 11. $W (x)$ , 12. $5$ , 13. $a x + b$ , 14. $x^{2} + x + 11$ , 15. pierwszego, 16. $25 a - 5 b + c$ $) = - 1 + 12 = 11$

Otrzymujemy układ trzech równań:
1.

a - b + c

, 2.

1

, 3. co najwyżej drugiego, 4.

2 x - 3

, 5.

a x^{2} + b x + c

, 6.

a + b + c

, 7.

\{\begin{cases} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{cases}

, 8.

- 5

, 9.

(x + 5) (x - 1) (x + 1)

, 10.

- 1

, 11.

W (x)

, 12.

5

, 13.

a x + b

, 14.

x^{2} + x + 11

, 15. pierwszego, 16.

25 a - 5 b + c

.
Po jego rozwiązaniu wyznaczamy resztę.

R (x)

a - b + c

, 2.

1

, 3. co najwyżej drugiego, 4.

2 x - 3

, 5.

a x^{2} + b x + c

, 6.

a + b + c

, 7.

\{\begin{cases} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{cases}

, 8.

- 5

, 9.

(x + 5) (x - 1) (x + 1)

, 10.

- 1

, 11.

W (x)

, 12.

5

, 13.

a x + b

, 14.

x^{2} + x + 11

, 15. pierwszego, 16.

25 a - 5 b + c

Dany jest wielomian $W (x)$ . Wiadomo, że:

reszta z dzielenia $W (x)$ przez $x^{2} - 1$ to $x + 12$ .
reszta z dzielenia $W (x)$ przez $x + 5$ to $31$ .

Jaka jest reszta z dzielenia

W (x)

przez

P (x) = (x + 5) (x^{2} - 1)

?
Uzupełnij kolejne kroki rozumowania.

$(x + 5) (x - 1) (x + 1)$ , $2 x - 3$ , $- 1$ , $W (x)$ , $a + b + c$ , pierwszego, co najwyżej drugiego, $- 5$ , $"{"\begin{array}{c} a + b + c = 13 \\ a - b + c = 11 \\ 25 a - 5 b + c = 31 \end{array}""$ , $x^{2} + x + 11$ , $25 a - 5 b + c$ , $5$ , $a x^{2} + b x + c$ , $a - b + c$ , $1$ , $a x + b$

Istnieje wielomian $Q (x)$ oraz reszta będąca wielomianem $R (x)$ stopnia ...................................................... takie, że
...................................................... $= Q (x) \cdot P (x) + R (x) = Q (x) \cdot$ ...................................................... $+$ .......................................................
Zatem

$W (1) =$ ......................................................
$W (- 1) =$ ......................................................
$W (- 5) =$ ......................................................

Z twierdzenia o reszcie wiemy, że

$W ($ ...................................................... $) = 31$
$W ($ ...................................................... $) = 1 + 12 = 13$
$W ($ ...................................................... $) = - 1 + 12 = 11$

Otrzymujemy układ trzech równań:
.......................................................
Po jego rozwiązaniu wyznaczamy resztę.

R (x)

.......................................................

Aplet

Dla nauczyciela