Dla każdego wielomianu $W\left(x\right)$ i niezerowego wielomianu $P\left(x\right)$ istnieją wielomiany $Q\left(x\right)$ i $R\left(x\right)$ takie, że $W\left(x\right)=P\left(x\right)·Q\left(x\right)+R\left(x\right)$, przy czym wielomian $R\left(x\right)$, nazywany resztą z dzielenia, jest stopnia mniejszego niż stopień wielomianu $P\left(x\right)$ lub jest wielomianem zerowym.

Wiemy, że reszta z dzielenia pewnego wielomianu $W\left(x\right)$ przez wielomian $x^3+4x^2-2x-8$ jest wielomianem $x^2+6x+5$.
Jak wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu $W\left(x\right)$ przez dwumian $x+4$?

Rozwiązanie

Wiemy, że istnieje wielomian $Q\left(x\right)$ taki, że $W\left(x\right)=Q\left(x\right)·\left(x^3+4x^2-2x-8\right)+\left(x^2+6x+5\right)$.

Z twierdzenia o reszcie wiemy, że reszta z dzielenia $W\left(x\right)$ przez $x+4$ to $W\left(-4\right)$.

Obliczmy
$W(-4)=Q(-4)\cdot ({(-4)}^3+4\cdot {(-4)}^2-2\cdot (-4)-8)+({(-4)}^2+6·(-4)+5)$,
czyli
$W\left(-4\right)=Q\left(-4\right)·0-3$.

Zatem szukana resztatwierdzenie o reszciereszta wynosi $W\left(-4\right)=-3$.

Wiemy, że reszta z dzielenia pewnego wielomianu $W\left(x\right)$ przez dwumian $x-3$ wynosi $-5$, zaś reszta z dzielenia $W\left(x\right)$ przez $x+4$ to $9$.
Jak wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu $W\left(x\right)$ przez wielomian $x^2+x-12$?

Rozwiązanie

Wiemy, że istnieją wielomiany $Q\left(x\right)$ oraz $R\left(x\right)$ takie, że $W\left(x\right)=Q\left(x\right)·\left(x^2+x-12\right)+R\left(x\right)$.

Zauważmy, że $x^2+x-12=\left(x+4\right)\left(x-3\right)$.

Z twierdzenia o dzieleniu z resztą wiemy, że $R\left(x\right)$ jest wielomianem stopnia co najwyżej pierwszego. Zatem istnieją liczby $a$ i $b$ takie, że $R\left(x\right)=ax+b$.

Z twierdzenia o reszcie wiemy, że $W\left(3\right)=-5$ oraz $W\left(-4\right)=9$.

Zatem
$W\left(3\right)=Q\left(3\right)\cdot (3+4)\cdot (3-3)+3a+b$, a ponieważ $3-3=0$, mamy
$3a+b=-5$.

Analogicznie
$W\left(-4\right)=Q\left(-4\right)·\left(-4+4\right)·\left(-4-3\right)-4a+b$, więc
$-4a+b=9$.

Wystarczy teraz rozwiązać układ równań
$\left\{\begin{array}{l}3a+b=-5\\ -4a+b=9\end{array}\right.$.
Rozwiązaniem jest para liczb $\left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=1\end{array}\right.$.

Zatem szukana reszta to $R\left(x\right)=-2x+1$.

Dany jest wielomian $W\left(x\right)=x^3+p{x}^2+qx-1$. Dla jakich wartości parametrów $p$ i $q$ reszta z dzielenia wielomianu $W\left(x\right)$ przez $P\left(x\right)=x^2+4x+3$ jest równa $R\left(x\right)=7x-13$?

Rozwiązanie

Zauważmy na początek, że $P\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x+3\right)$.

Zatem istnieje wielomian $Q\left(x\right)$ taki, że
$W\left(x\right)=Q\left(x\right)·\left(x+3\right)·\left(x+1\right)+7x-13$.

Obliczmy wartość wielomianu $W\left(x\right)$ dla argumentów $-3$ oraz $-1$:
$W\left(-3\right)=0+7·\left(-3\right)-13=-34$,
$W\left(-1\right)=0+7·\left(-1\right)-13=-20$.

Wykorzystajmy teraz wzór wielomianu $W\left(x\right)$ z parametrami:
$W\left(-3\right)={\left(-3\right)}^3+p·{\left(-3\right)}^2+q·\left(-3\right)-1$,
co daje nam równanie
$-27+9p-3q-1=-34$.

$W\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3+p·{\left(-1\right)}^2+q·\left(-1\right)-1$,
czyli
$-1+p-q-1=-20$.

Po uproszczeniu uzyskujemy układ równań z niewiadomymi $p$, $q$:
$\left\{\begin{array}{l}9p-3q=-6\\ p-q=-18\end{array}\right.$,
którego rozwiązaniem jest para liczb $\left\{\begin{array}{l}p=8\\ q=26\end{array}\right.$.

Dany jest wielomian $W\left(x\right)=2x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+5$. Wiadomo, że reszta z dzielenia $W\left(x\right)$ przez wielomian $P\left(x\right)=\left(x^2-1\right)\left(x+2\right)$ wynosi $R\left(x\right)=8x^2+x-1$. Wyznaczmy wartości parametrów $a$, $b$ i $c$.

Rozwiązanie

Z twierdzenia o dzieleniu z resztą wiemy, że istnieje wielomian $Q\left(x\right)$ taki, że
$W\left(x\right)=Q\left(x\right)\cdot (x-1)(x+1)(x+2)+8x^2+x-1$.

Zatem
$W\left(1\right)=Q\left(1\right)·0+8+1-1=8$,
$W\left(-1\right)=Q\left(-1\right)·0+8-1-1=6$,
$W\left(-2\right)=Q\left(-2\right)·0+32-2-1=29$.

Podstawmy liczby $W\left(1\right)=8$, $W\left(-1\right)=6$ oraz $W\left(-2\right)=29$ do wzoru wielomianu $W\left(x\right)$:

$W\left(1\right)=2+a+b+c+5=8$, więc
$a+b+c=1$.

$W\left(-1\right)=2-a+b-c+5=6$, więc
$-a+b-c=-1$.

$W\left(-2\right)=32-8a+4b-2c+5=29$, więc
$-8a+4b-2c=-8$.

Wystarczy więc rozwiązać układ równań
$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=1\\ -a+b-c=-1\\ -8a+4x-2c=-8\end{array}\right.$.

Szukane wartości parametrów to $\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=0\\ c=0\end{array}\right.$.

dla każdego wielomianu $W\left(x\right)$ i niezerowego wielomianu $P\left(x\right)$ istnieją wielomiany $Q\left(x\right)$ i $R\left(x\right)$ takie, że $W\left(x\right)=P\left(x\right)·Q\left(x\right)+R\left(x\right)$, przy czym wielomian $R\left(x\right)$, nazywany resztą z dzielenia, jest stopnia mniejszego niż stopień wielomianu $P\left(x\right)$ lub jest wielomianem zerowym

reszta z dzielenia wielomianu $W\left(x\right)$ przez dwumian postaci $x-a$ wynosi $W\left(a\right)$ (czyli jest stałą równą wartości wielomianu $W\left(x\right)$ dla argumentu $a$)