Argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość

Przykład 1

Aby odczytać z wykresu, czy i dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość $w$ , wystarczy dorysować prostą równoległą do osi $O X$ , na której leżą wszystkie punkty, których druga współrzędna jest równa $w$ (o takiej prostej mówimy, że ma równanie $y = w$ ). Jeżeli taka dorysowana prosta przecina wykres danej funkcji, to odczytując pierwszą współrzędną każdego z punktów przecięcia, wyznaczymy argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość.

RuJYMFY5jBFLz1

Przykład 2

Odczytaj z wykresu funkcji $f$ liczbę rozwiązań równania $f (x) = m$ .

R1RJ9ys6Aw57r1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D124pzltd

Przykład 3

Wyznaczymy wszystkie miejsca zerowe funkcji

$p (x) = 8 - 7 x$

Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Rozwiązujemy równanie $p (x) = 0$ , a zatem $8 - 7 x = 0$ , skąd $7 x = 8$ , czyli $x = \frac{8}{7}$ .
Funkcja $p$ ma jedno miejsce zerowe $x = \frac{8}{7}$ .

$k (x) = (3 x - 2) (x + 1)$

Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Rozwiązujemy równanie $k (x) = 0$ , a zatem $(3 x - 2) (x + 1) = 0$ . Ponieważ iloczyn jest równy $0$ wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy $0$ , więc $3 x - 2 = 0$ lub $x + 1 = 0$ . Stąd $x = \frac{2}{3}$ lub $x = - 1$ .
Funkcja $k$ ma dwa miejsca zerowe: $x_{1} = \frac{2}{3}$ oraz $x_{2} = - 1$ .

$f (x) = x^{2} - 4$

Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Rozwiązujemy równanie $f (x) = 0$ , a zatem $x^{2} - 4 = 0$ . Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów, zapisujemy równanie w postaci $(x - 2) (x + 2) = 0$ , a więc $x - 2 = 0$ lub $x + 2 = 0$ . Wynika z tego, że $x = 2$ lub $x = - 2$ .
Funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe: $x_{1} = 2$ oraz $x_{2} = - 2$ .
Fragment wykresu funkcji $f (x) = x^{2} - 4$ przedstawiony jest na rysunku.

RtrFc2ks8lYos1

Wykres w postaci krzywej leżącej w pierwszej, drugiej, trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych przechodzącej przez punkty o współrzędnych (-2, 0), (0, -4), (2, 0).

$g (x) = (x - 1) (x + 1) (x - 2)$

Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Rozwiązujemy równanie $g (x) = 0$ , a zatem $(x - 1) (x + 1) (x - 2) = 0$ , skąd $x - 1 = 0$ lub $x + 1 = 0$ lub $x - 2 = 0$ . Wynika z tego, że funkcja $g$ ma $3$ miejsca zerowe: $x_{1} = 1$ , $x_{2} = - 1$ oraz $x_{3} = 2$ .
Fragment wykresu funkcji $g (x) = (x - 1) (x + 1) (x - 2)$ przedstawiony jest na rysunku.

RgNBxTiBIc73T1

$t (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$

Dziedziną funkcji $t$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, z wyjątkiem liczby $- 1$ . Zauważmy, że dla $x \neq - 1$ funkcję $t$ można zapisać w postaci
$t (x) = \frac{(x - 1) (x + 1)}{x + 1} = x - 1$ . Jedynym miejscem zerowym funkcji $t$ jest zatem $x = 1$ .
Fragment wykresu funkcji $t (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ przedstawiony jest na rysunku.

RBf7ylEZ2SCUc1

Wykres w postaci prostej leżącej w pierwszej, trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych przecina oś OX w punkcie o współrzędnych (1, 0). Oś OY przecina w punkcie o współrzędnych (0, -1 ). Punkt o współrzędnych (-1, -2 ) nie należy do wykresu funkcji.

$m (x) = \{\begin{matrix} - 2 x - 2 & dla & - 2 \leq x < - 1 \\ 0 & dla & - 1 \leq x \leq 1 \\ 2 x - 2 & dla & 1 < x \leq 2 \end{matrix}$

Dziedziną tej funkcji jest przedział $〈- 2, 2〉$ .
Zauważmy, że:

Jeżeli $x \in ⟨- 2, - 1)$ , to $m (x) = - 2 x - 2$ . Rozwiązujemy równanie $m (x) = 0,$ a zatem $- 2 x - 2 = 0$ , skąd $x = - 1$ . Ale $- 1$ nie należy do przedziału $⟨- 2, - 1)$ , zatem w tym przypadku funkcja $m$ nie ma miejsc zerowych;
Ponieważ dla $x \in 〈- 1, 1〉$ funkcja $m$ dana jest wzorem $m (x) = 0$ , to każda liczba z przedziału $〈- 1, 1〉$ jest miejscem zerowym tej funkcji;
Jeżeli $x \in (1, 2⟩$ , to $m (x) = 2 x - 2$ . Rozwiązujemy równanie $m (x) = 0$ , a więc $2 x - 2 = 0$ , skąd $x = 1$ . Ale $1$ nie należy do przedziału $(1, 2⟩$ , zatem w tym przypadku funkcja $m$ nie ma miejsc zerowych.

A zatem każda liczba rzeczywista z przedziału $〈- 1, 1〉$ jest miejscem zerowym funkcji $m$ . Funkcja $m$ ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.
Cały wykres funkcji m przedstawiony jest na rysunku.

RQcgmUCJGGWBd1

Wykres w postaci łamanej złożonej z trzech odcinków leżącej w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Punkty o współrzędnych (-2, -2), (-1, 0), (1, 0), (2, 2) należą do wykresu.

Przykład 4

Funkcja $f$ każdej liczbie rzeczywistej dodatniej przyporządkowuje liczbę o $30 %$ od niej mniejszą. Obliczymy, dla jakiego argumentu funkcja $f$ przyjmuje wartość $14$ .
Oznaczmy taką liczbę rzeczywistą przez $x$ . Przyporządkowanie opisane w treści zadania zapisujemy wzorem $f (x) = x - 30 % x = x - 0,3 x = 0,7 x$ . Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.
Szukamy argumentu, dla którego $f (x) = 14$ , a więc $0,7 x = 14$ , skąd $x = \frac{14}{0,7} = 20$ .
Jedynym argumentem, dla którego funkcja $f$ przyjmuje wartość $14$ jest $x = 20$ .

Przykład 5

Wyznaczymy wszystkie argumenty, dla których funkcja $g (x) = \frac{x^{2} - 4 x}{2}$ przyjmuje wartość $- 2$ .
Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Rozwiązujemy równanie $g (x) = - 2$ .
$\frac{x^{2} - 4 x}{2} = - 2$
$x^{2} - 4 x = - 4$
$x^{2} - 4 x + 4 = 0$
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Wtedy ${(x - 2)}^{2} = 0$ ,
czyli $x - 2 = 0$ , a zatem $x = 2$ .
Wobec tego funkcja $g (x) = \frac{x^{2} - 4 x}{2}$ przyjmuje wartość $- 2$ tylko wtedy, gdy $x = 2$ .

Przykład 6

Wyznaczymy wszystkie argumenty, dla których funkcja $k (x) = \frac{2}{x + 1}$ przyjmuje wartość $\frac{1}{3}$ .
Najpierw ustalimy dziedzinę funkcji $k$ . Jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od $- 1 .$
Rozwiązujemy równanie $k (x) = \frac{1}{3}$ .
$\frac{2}{x + 1} = \frac{1}{3}$
Z własności proporcji $x + 1 = 2 \cdot 3$ ,
czyli $x = 5$ .
A zatem funkcja $k (x) = \frac{2}{x + 1}$ przyjmuje wartość $\frac{1}{3}$ tylko wtedy, gdy $x = 5$ .

Przykład 7

Funkcja $P$ każdej dodatniej liczbie rzeczywistej $a$ przyporządkowuje pole trójkąta równobocznego o boku $a$ . Obliczymy $a$ , dla którego funkcja $P$ osiąga wartość $\sqrt{3}$ .
Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego, ustalamy wzór funkcji $P$ : $P (a) = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ , dla $a > 0$ .
Rozwiązujemy równanie $P (a) = \sqrt{3}$

\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} = \sqrt{3} |\cdot \frac{4}{\sqrt{3}}

a^{2} = 4

Ponieważ $a$ jest liczbą dodatnią, to korzystamy z definicji pierwiastka kwadratowego, skąd $a = \sqrt{4} = 2 .$
A zatem $P$ osiąga wartość $\sqrt{3}$ dla $a = 2$ .

Przykład 8

Funkcje: $a (n) = n (2 n - 3) (n - 4)$ i $b (n) = - 3 n^{2} + 1$ określone są na zbiorze dodatnich liczb całkowitych.

Obliczymy miejsce zerowe funkcji $a$ .

Rozwiązujemy równanie $a (n) = 0$ , a więc $n (2 n - 3) (n - 4) = 0$ , skąd $n = 0$ lub $2 n - 3 = 0$ lub $n - 4 = 0$ , czyli $n = 0$ lub $n = \frac{3}{2}$ lub $n = 4$ . Spośród tych trzech liczb jedynie $4$ jest liczbą całkowitą dodatnią, a zatem funkcja $a$ ma tylko jedno miejsce zerowe, $n = 4$ .

Wyznaczymy wszystkie argumenty, dla których funkcja $b$ przyjmuje wartość $- 26$ .

Rozwiązujemy równanie $b (n) = - 26$ .

- 3 n^{2} + 1 = - 26

- 3 n^{2} = - 26 - 1

- 3 n^{2} = - 27 |: (- 3)

n^{2} = 9

Ponieważ $n$ jest liczbą dodatnią, to korzystamy z definicji pierwiastka kwadratowego, skąd

n = \sqrt{9} = 3

Wynika z tego, że funkcja $b$ przyjmuje wartość $- 26$ tylko wtedy, gdy $n = 3$ .

Przykład 9

Dana jest funkcja $f (x) = \{\begin{matrix} 4 & dla & x \leq - 1 \\ 2 - 7 x & dla & - 1 < x \leq 3 \\ x^{2} & dla & x > 3 \end{matrix}$ .
Wyznaczymy wartości funkcji $f$ dla argumentów: $x = - \sqrt{5}$ , $x = - 1$ , $x = \frac{15}{7}$ , $x = 4$ .

R1bXzKxkmOb3k1

classicmobile

Ćwiczenie 1

Funkcję $f$ przedstawiono za pomocą grafu.

R1O0LsJFEy2G71

Graf pokazuje przyporządkowanie. Argumentowi dwie piąte przyporządkowano wartość pięć drugich. Argumentowi trzy czwarte przyporządkowano wartość 1. Argumentowi -3 przyporządkowano wartość -2. Argumentowi -2 przyporządkowano wartość 3. Argumentowi -1 przyporządkowano wartość 2.

Wskaż, która równość jest poprawna.

R3yfKHTF0kPJ1

$f (- 1) = 2$
$f (- 2) = - 3$
$f (- 3) + f (- 1) = 0$
$\frac{2}{5} \cdot f (\frac{2}{5}) = 1$

static

Ćwiczenie 1

Funkcję $f$ przedstawiono za pomocą grafu.

R1O0LsJFEy2G71

Wskaż, która równość jest poprawna.

RuHPHJodJELRA

$f <mfenced separators="|"> - 1 = 2$
$f <mfenced separators="|"> - 2 = - 3$
$f <mfenced separators="|"> - 3 + f <mfenced separators="|"> - 1 = 0$

classicmobile

Ćwiczenie 2

Funkcję $g$ przedstawiono za pomocą tabelki.

Funkcja g
$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$g (x)$	$2$	$4$	$- 1$	$0$	$- 2$	$2$

Wynika z tego, że funkcja $g$

RgQKunKUqAs8K

ma dwa miejsca zerowe
dla $x = 0$ przyjmuje wartość $1$
dla każdego argumentu ujemnego przyjmuje wartość dodatnią
przyjmuje wartość $3$

static

Ćwiczenie 2

Funkcję $g$ przedstawiono za pomocą tabelki.

Funkcja g
$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$g (x)$	$2$	$4$	$- 1$	$0$	$- 2$	$2$

Wynika z tego, że funkcja $g$

R18RM51ilP1UW

ma dwa miejsca zerowe
dla $x = 0$ przyjmuje wartość $1$
dla każdego argumentu ujemnego przyjmuje wartość dodatnią
przyjmuje wartość $3$

classicmobile

Ćwiczenie 3

Funkcja $i$ każdej dodatniej liczbie dwucyfrowej przyporządkowuje iloraz tej liczby przez sumę jej cyfr. Wynika z tego, że

R1dcCQYnuG3DO

$i (10) = 10$
$i (24) = 4$
$i (35)$ jest liczbą całkowitą
$i (20) < i (21)$

static

Ćwiczenie 3

Funkcja $i$ każdej dodatniej liczbie dwucyfrowej przyporządkowuje iloraz tej liczby przez sumę jej cyfr. Wynika z tego, że

Rm6sQdfqIX22T

$i (10) = 10$
$i (24) = 4$
$i (35)$ jest liczbą całkowitą
$i (20) < i (21)$

classicmobile

Ćwiczenie 4

Rozpatrzmy funkcję $g (x) = \frac{3 - 2 x}{5}$ . Funkcja $g$

R1WHXXEEZp9Dl

dla $x = - 1$ przyjmuje wartość $1$
dla $x = 7$ przyjmuje wartość całkowitą
ma jedno miejsce zerowe
nie przyjmuje wartości $2$

static

Ćwiczenie 4

Rozpatrzmy funkcję $g (x) = \frac{3 - 2 x}{5}$ . Funkcja $g$

R1P1R8wT36g2B

dla $x = - 1$ przyjmuje wartość $1$
dla $x = 7$ przyjmuje wartość całkowitą
ma jedno miejsce zerowe
nie przyjmuje wartości $2$

classicmobile

Ćwiczenie 5

Funkcja $z$ każdej dodatniej liczbie całkowitej $n$ przyporządkowuje liczbę o $1$ mniejszą od dwukrotności liczby $n$ . Wtedy

R1ZrTpuU3GK2m

$z (5) = 4$
funkcja $z$ nie ma miejsc zerowych
$z (2) = z (3)$
do zbioru wartości funkcji $z$ należy liczba $333$

static

Ćwiczenie 5

Funkcja $z$ każdej dodatniej liczbie całkowitej $n$ przyporządkowuje liczbę o $1$ mniejszą od dwukrotności liczby $n$ . Wtedy

R1WPGVvP6bg2t

$z (5) = 4$
funkcja $z$ nie ma miejsc zerowych
$z (2) = z (3)$
do zbioru wartości funkcji $z$ należy liczba $333$

Ćwiczenie 6

Oznaczmy przez $P (a)$ pole powierzchni sześcianu o krawędzi długości $a$ .

Oblicz $P (\frac{1}{2})$ .
Wykaż, że $P (\sqrt{2}) > 10$ .
Wyznacz $a$ , dla którego $P (a)$ przyjmuje wartość $6$ .
Wyznacz $a$ , dla którego $P (a)$ przyjmuje wartość $30$ .

$P (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$
$P (\sqrt{2}) = 12 > 10$
$P (a) = 6$ , gdy $a = 1$
$P (a) = 30$ , gdy $a = \sqrt{5}$

Pole powierzchni sześcianu o krawędzi długości $a$ dane jest wzorem $P (a) = 6 a^{2}$ , gdzie $a > 0$

$P (\frac{1}{2}) = 6 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} = 6 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{2}$
$P (\sqrt{2}) = 6 \cdot {(\sqrt{2})}^{2} = 6 \cdot 2 = 12 > 10$
$P (a) = 6$ , gdy $6 a^{2} = 6$ , a więc $a^{2} = 1$ , skąd $a = \sqrt{1} = 1$
$P (a) = 30$ , gdy $6 a^{2} = 30$ , a zatem $a^{2} = 5$ , skąd $a = \sqrt{5}$

Ćwiczenie 7

RVdYA7F0nH4CF1

classicmobile

Ćwiczenie 8

Dziedziną funkcji $a (n) = 7 n - 2$ jest zbiór liczb naturalnych. Sprawdź, czy do zbioru wartości funkcji $a$ należy liczba

RysnQRl98rklJ

$5$
$15$
$110$
$1000$

static

Ćwiczenie 8

Dziedziną funkcji $a (n) = 7 n - 2$ jest zbiór liczb naturalnych. Sprawdź, czy do zbioru wartości funkcji $a$ należy liczba

RBRZvCnrNKQf5

$5$
$15$
$110$
$1000$

classicmobile

Ćwiczenie 9

Miejscem zerowym funkcji $f (x) = (m + 2) x^{2} - mx + 8$ jest liczba $- 1$ . Wynika stąd, że

RjQiQrcTg5KMv

$m = 0$
$m = - 1$
$m = 8$
$m = - 5$

$f (- 1) = (m + 2) \cdot {(- 1)}^{2} - m \cdot (- 1) + 8 = 0$ , gdy $m + 2 + m + 8 = 0$ , a więc $2 m = - 10$ , czyli $m = - 5$

static

Ćwiczenie 9

Miejscem zerowym funkcji $f (x) = (m + 2) x^{2} - mx + 8$ jest liczba $- 1$ . Wynika stąd, że

R1ZMGV3FbGgoh

$m = 0$
$m = - 1$
$m = 8$
$m = - 5$

$f (- 1) = (m + 2) \cdot {(- 1)}^{2} - m \cdot (- 1) + 8 = 0$ , gdy $m + 2 + m + 8 = 0$ , a więc $2 m = - 10$ , czyli $m = - 5$

Ćwiczenie 10

Funkcja $f$ jest określona wzorem

f (x) = \{\begin{matrix} x + 1 & dla & x \leq 2 \\ 7 - 2 x & dla & 2 < x < 5 \end{matrix}

Dla jakich argumentów funkcja $f$ przyjmuje wartość $- 5$ ?

$f (x) = - 5$ tylko wtedy, gdy $x = - 6$

Jeżeli $x \leq 2$ , to $f (x) = x + 1$ i równanie $f (x) = - 5$ zapisujemy jako $x + 1 = - 5$ , a zatem $x = - 6$ . Ponieważ $- 6 \leq 2$ , to $f (- 6) = - 5$ .
Jeżeli $x \in (2,5)$ , to $f (x) = 7 - 2 x$ i równanie $f (x) = - 5$ zapisujemy jako $7 - 2 x = - 5$ , skąd $2 x = 12$ , a więc $x = 6$ . Ale $6$ nie należy do przedziału $(2, 5)$ , czyli w tym przypadku funkcja $f$ nie przyjmuje wartości $- 5$ .

Ćwiczenie 11

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $n$ przez $s (n)$ oznaczamy sumę $n$ początkowych liczb całkowitych dodatnich, to znaczy $s (n) = 1 + 2 + \dots + n$ .

Oblicz $s (10)$ .
Znajdź $n$ , dla którego $s (n) = 66$ .
Wykaż, że nie istnieje $n$ , dla którego $s (n) = 60$ .

$s (10) = 55$
$s (n) = 66$ dla $n = 11$
Ponieważ $s (10) = 55$ i $s (11) = 66$ oraz w przedziale $(10, 11)$ nie ma żadnej liczby całkowitej, to nie istnieje $n$ , dla którego $s (n) = 60$ .

$s (10) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55$
Z warunków zadania wynika, że wartości funkcji $s$ rosną wraz ze wzrostem argumentów. Ponieważ $s (10) = 55 < 66$ , to $s (n) = 66$ dla $n > 1$ . Sprawdzamy, że $s (11) = s (10) + 11 = 55 + 11 = 66$ , czyli $s (n) = 66$ dla $n = 11$ .
Ponieważ $s (10) = 55$ i $s (11) = 66$ oraz w przedziale $(10, 11)$ nie ma żadnej liczby całkowitej, to nie istnieje $n$ , dla którego $s (n) = 60$ .

Ćwiczenie 12

Długość boku kwadratu $ABCD$ jest równa $4$ . Punkt $E$ leży na przekątnej $AC$ kwadratu, przy czym $|AE| = x$ . Dla jakiej wartości $x$ pole $P$ trójkąta $ABE$ jest równe $3 \sqrt{2}$ ?

Dla $x = 3$

Wysokość $h$ trójkąta $ABE$ , poprowadzona z wierzchołka $E$ na bok $AB$ jest równa $\frac{x \sqrt{2}}{2}$ , więc pole $P$ trójkąta $ABE$ jest opisane wzorem $P (x) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{x \sqrt{2}}{2} = x \sqrt{2}$ .
Rozwiązujemy równanie $P (x) = 3 \sqrt{2}$ , a więc $x \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ , skąd $x = 3$ .

Wartość funkcji dla danego argumentu

Zadania

Argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość