Rysunek trzech trójkątów prostokątnych A B C, D E F i G H I. Najmniejszy trójkąt A B C ma przyprostokątne długości 2 i 1,5 oraz przeciwprostokątną długości 2,5. Trójkąt D E F ma przyprostokątne długości 3 i 4 a przeciwprostokątną 5. Trójkąt G H I ma przyprostokątne długości 4,5 i 6 oraz przeciwprostokątną długości 7,5. Odpowiednie kąty w trójkątach A C B, D E F i G I H mają miarę alfa, a kąty A B C, D E F i G H I miarę beta.
Popatrz na trójkąty przedstawione na rysunku. Drugi z nich powstał przez powiększenie długości każdego boku trójkąta dwa razy. Trzeci przez powiększenie długości każdego boku trójkąta trzy razy. Odpowiadające sobie kąty mają jednakowe miary, a odpowiadające sobie boki są proporcjonalne. Takie trójkąty nazywamy podobnymi. Figury podobne to takie, które mają jednakowy kształt, a mogą się różnić wielkością. Przykładami figur podobnych są kopie tego samego obrazka, które powiększamy lub pomniejszamy.
Żeby stwierdzić, czy dwa trójkąty są podobne, korzystamy z cech podobieństwa trójkątów.
Cechy podobieństwa trójkątów
Twierdzenie: Cechy podobieństwa trójkątów
Cecha bok‑bok‑bok ()
Jeżeli każdy bok trójkąta jest proporcjonalny do odpowiedniego boku trójkąta , to trójkąty te są podobne.
R1bafCpt9XUKL1
Animacja pokazuje trójkąt A B C o długościach boków 4, 5, 6 oraz trójkąt A prim B prim C prim, w którym można zmieniać długości boków zachowując ich proporcję. Trójkąty są nadal podobne i stosunek odpowiednich boków obu trójkątów pozostaje zawsze taki sam. Jest to cecha bbb.
Animacja pokazuje trójkąt A B C o długościach boków 4, 5, 6 oraz trójkąt A prim B prim C prim, w którym można zmieniać długości boków zachowując ich proporcję. Trójkąty są nadal podobne i stosunek odpowiednich boków obu trójkątów pozostaje zawsze taki sam. Jest to cecha bbb.
Animacja pokazuje trzy różnych wymiarów zdjęcia tej samej budowli w kształcie trójkątna ostrokątnego. Na zdjęciu największym zaznaczono kąty alfa, beta i gamma. Porównując, w dwóch etapach (zdjęcie największe i średnie a potem największe i najmniejsze) odpowiednie kąty tych budowli, zauważamy że odpowiednie kąty w tych trójkątach są tej samej miary, a więc trójkąty są podobne.
Animacja pokazuje trzy różnych wymiarów zdjęcia tej samej budowli w kształcie trójkątna ostrokątnego. Na zdjęciu największym zaznaczono kąty alfa, beta i gamma. Porównując, w dwóch etapach (zdjęcie największe i średnie a potem największe i najmniejsze) odpowiednie kąty tych budowli, zauważamy że odpowiednie kąty w tych trójkątach są tej samej miary, a więc trójkąty są podobne.
Animacja pokazuje trzy różnych wymiarów zdjęcia tej samej budowli w kształcie trójkątna ostrokątnego. Na zdjęciu największym zaznaczono kąty alfa, beta i gamma. Porównując, w dwóch etapach (zdjęcie największe i średnie a potem największe i najmniejsze) odpowiednie kąty tych budowli, zauważamy że odpowiednie kąty w tych trójkątach są tej samej miary, a więc trójkąty są podobne.
RaEcXctIppHWB1
Animacja pokazuje dwa różnych wymiarów zdjęcia tej samej budowli w kształcie trójkątna ostrokątnego, na których zaznaczono długości boków 12, 10, 8 oraz 6, 5, 4. Obliczając stosunki długości każdego boku w jednym trójkącie do odpowiadającego mu boku w drugim trójkącie, zauważamy że są one równe. Trójkąty są podobne.
Animacja pokazuje dwa różnych wymiarów zdjęcia tej samej budowli w kształcie trójkątna ostrokątnego, na których zaznaczono długości boków 12, 10, 8 oraz 6, 5, 4. Obliczając stosunki długości każdego boku w jednym trójkącie do odpowiadającego mu boku w drugim trójkącie, zauważamy że są one równe. Trójkąty są podobne.
Animacja pokazuje dwa różnych wymiarów zdjęcia tej samej budowli w kształcie trójkątna ostrokątnego, na których zaznaczono długości boków 12, 10, 8 oraz 6, 5, 4. Obliczając stosunki długości każdego boku w jednym trójkącie do odpowiadającego mu boku w drugim trójkącie, zauważamy że są one równe. Trójkąty są podobne.
R1ROQgwiTBV2z1
Animacja pokazuje dwa różnych wymiarów zdjęcia tej samej budowli w kształcie trójkątna ostrokątnego. W jednym trójkącie zaznaczono boki o długości 12 i 10 oraz między nimi kąt alfa, w drugim boki o długościach 6 i 5 oraz między nimi kąt alfa. Obliczając stosunki długości każdego boku w jednym trójkącie do odpowiadającego mu boku w drugim trójkącie, zauważamy że są one równe, a więc trójkąty są podobne.
Animacja pokazuje dwa różnych wymiarów zdjęcia tej samej budowli w kształcie trójkątna ostrokątnego. W jednym trójkącie zaznaczono boki o długości 12 i 10 oraz między nimi kąt alfa, w drugim boki o długościach 6 i 5 oraz między nimi kąt alfa. Obliczając stosunki długości każdego boku w jednym trójkącie do odpowiadającego mu boku w drugim trójkącie, zauważamy że są one równe, a więc trójkąty są podobne.
Animacja pokazuje dwa różnych wymiarów zdjęcia tej samej budowli w kształcie trójkątna ostrokątnego. W jednym trójkącie zaznaczono boki o długości 12 i 10 oraz między nimi kąt alfa, w drugim boki o długościach 6 i 5 oraz między nimi kąt alfa. Obliczając stosunki długości każdego boku w jednym trójkącie do odpowiadającego mu boku w drugim trójkącie, zauważamy że są one równe, a więc trójkąty są podobne.
Skala podobieństwa trójkątów
Twierdzenie: Skala podobieństwa trójkątów
Jeżeli trójkąty oraz są podobne, przy czym wierzchołki odpowiadają wierzchołkom odpowiednio , to
oraz
Skalą podobieństwa trójkątów nazywamy iloraz długości odpowiadających sobie boków w trójkątach podobnych
Rcuo7CPrRW0Dr1
Rysunek trójkąta A B C o bokach długości a, b, c oraz trójkąta A prim B prim C prim o bokach długości ka, kb, kc.
