Czy trójkąty $\mathrm{ABC}$ i  $\mathrm{DEF}$ są podobne?

1. R2TvJsj7gmVkI1

   Rysunek dwóch trójkątów prostokątnych A B C i D E F. W trójkącie A B C zaznaczono kąt A B C równy 35 stopni, a w trójkącie D E F kąt D E F równy 55 stopni.

   

   Tak. Trójkąty $\mathrm{ABC}$ i $\mathrm{DEF}$ są podobne na mocy cechy $\mathrm{kąt}-\mathrm{kąt}-\mathrm{kąt}$. W każdym z tych trójkątów miary kątów są równe $35°$, $55°$ oraz $90°$.

2. R1VDzFv2us1eQ1

   Rysunek dwóch trójkątów rozwartokątnych A B C i D E F. W trójkącie A B C zaznaczono boki długości AB =5 i AC =2 oraz kąt C A B równy 115 stopni. W trójkącie D E F zaznaczono boki długości DF =3 i FE =6 oraz kąt D F E równy 115 stopni.

   

   Trójkąty $\mathrm{ABC}$ i $\mathrm{DEF}$ nie są podobne. Każdy z nich ma kąt o mierze $115°$. Jednak stosunki długości odpowiadających sobie boków tych trójkątów nie są równe. Rzeczywiście $\frac{\left|\mathrm{FE}\right|}{\left|\mathrm{AB}\right|}=\frac{6}{5}$, $\frac{\left|\mathrm{DF}\right|}{\left|\mathrm{AC}\right|}=\frac{3}{2}$, a$\frac{6}{5}\ne \frac{3}{2}.$

RM1YX13xSQRSH1

Rysunek trójkąta A B C o bokach długości 8, 10, 12 oraz trójkąta D E F o bokach długości 4, 5, 6.

Obliczymy stosunki długości odpowiadających sobie boków trójkątów $\mathrm{ABC}$ i $\mathrm{DEF}$.

Trójkąty te na mocy cechy $\mathrm{bok}-\mathrm{bok}-\mathrm{bok}$ są podobne w skali $k=2$.

Trójkąt $\mathrm{ABC}$ ma boki długości $15$, $20$, $25$. Trójkąt $\mathrm{EFG}$ jest do niego podobny. Najkrótszy bok w trójkącie $\mathrm{EFG}$ ma długość $30$. Obliczmy stosunek obwodu trójkąta $\mathrm{EFG}$ do obwodu trójkąta $\mathrm{ABC}$ i stosunek pola trójkąta $\mathrm{EFG}$ do pola trójkąta $\mathrm{ABC}$.
Najkrótszy bok w trójkącie $\mathrm{EFG}$ odpowiada najkrótszemu bokowi trójkąta $\mathrm{ABC}$. Skala podobieństwa trójkąta $\mathrm{EFG}$ do trójkąta $\mathrm{ABC}$ jest więc równa

Pozostałe boki trójkąta $\mathrm{EFG}$ mają długości

Obliczamy obwody trójkątów i stosunek tych obwodów

Zauważmy, że trójkąt $\mathrm{ABC}$ jest trójkątem prostokątnym

Zatem trójkąt $\mathrm{EFG}$ do niego podobny też jest trójkątem prostokątnym.

RguUfTDh1xVxz1

Rysunek trójkąta prostokątnego A B C o przyprostokątnych długości 15, 20 i przeciwprostokątnej 25.

Własność tę wykorzystamy, obliczając pola trójkątów i ich stosunek.

Stosunek obwodu trójkąta $\mathrm{EFG}$ do obwodu trójkąta $\mathrm{ABC}$ jest równy $2$, a  stosunek pola trójkąta $\mathrm{EFG}$ do pola trójkąta $\mathrm{ABC}$ jest równy $4$.