Jeżeli trójkąt jest podobny do trójkąta w skali podobieństwa , to stosunek obwodów tych trójkątów jest równy skali podobieństwa, a stosunek ich pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa
Rozważmy trójkąty prostokątne oraz podobne w skali . Wysokości tych trójkątów zaznaczone na rysunku są równe odpowiednio i .
R1VHuayKbu3sN1
Rysunek trójkątów prostokątnych A B C o bokach długości a, b, c oraz A prim B prim C prim o bokach długości a prim, b prim, c prim. W trójkącie ABC wysokość AD równa jest h, a w trójkącie A prim B prim C prim wysokość A prim D prim jest równa h prim.
Zauważmy, że skoro trójkąt jest podobny do trójkąta , to
oraz
Stąd
Na mocy cechy podobieństwa trójkąt jest podobny do trójkąta i skala podobieństwa wynosi . Stąd
czyli stosunek długości wysokości w trójkątach podobnych jest taki sam jak stosunek długości boków.
Stosunek pól trójkątów podobnych jest więc równy kwadratowi skali podobieństwa.
Stosunek obwodów trójkątów podobnych jest równy skali podobieństwa.
Rozważmy dowolny trójkąt . Zaznaczmy w nim środki dwóch boków i połączmy je odcinkiem. Taki odcinek nazywamy linią środkową trójkąta.
R1L7JjpNkgN0w1
Rysunek trójkąta A B C z zaznaczoną linią środkową DE, która jest równoległa do boku AB.
Zauważmy, że trójkąty i są podobne na mocy cechy . Kąt jest wspólny dla obu trójkątów oraz
Z definicji podobieństwa wynika, że . Mamy też równość kątów
Ponieważ punkty , , są współliniowe, więc kąty i są odpowiadające. Stąd wynika równoległość i .
R1XFfvJJJcr6N1
Rysunek trójkąta A B C z zaznaczoną linią środkową DE, równoległą do boku AB. Długość boku AB oznaczono 2z, odcinek DE ma długość z. Punkt D dzieli bok AC na dwa równe odcinki o długości x, a punkt E dzieli bok BC na dwa równe odcinki o długości y.
o linii środkowej trójkąta
Twierdzenie: o linii środkowej trójkąta
Odcinek łączący środki dwóch boków w trójkącie jest równoległy do trzeciego boku trójkąta i jest od niego dwa razy krótszy.
RZF5you7n5V6Z1
Animacja pokazuje w sześciu krokach dowód na podaną regułę. W trójkącie A B C zaznaczono środki boków AC i BC. Otrzymane punkty D i E połączono tworząc odcinek DE. Zauważamy, że punkt D podzielił bok AC na dwie równe części. Punkt E podzielił bok BC na dwie równe części. Stosunek długości boku DC i AC oraz EC i BC wynosi 1 do 2. Wynika z tego, że w trójkątach A B C i D E C boki AC i DC oraz BC i EC są proporcjonalne. Kąt przy wierzchołku C jest kątem wspólnym dla obu trójkątów. Trójkąty A B C i D E C są podobne na mocy cechy bkb, więc boki DE i AB pozostają w stosunku 1 do 2. Z podobieństwa trójkątów A B C i D E C wynika, że kąty przy wierzchołkach A i D są równe oraz kąty przy wierzchołkach B i E są równe. Odcinek DE jest równoległy do odcinka Ab, co dowodzi, że odcinek łączący środki 2 boków trójkąta ma długość równą połowie trzeciego boku i jest do niego równoległy.
Animacja pokazuje w sześciu krokach dowód na podaną regułę. W trójkącie A B C zaznaczono środki boków AC i BC. Otrzymane punkty D i E połączono tworząc odcinek DE. Zauważamy, że punkt D podzielił bok AC na dwie równe części. Punkt E podzielił bok BC na dwie równe części. Stosunek długości boku DC i AC oraz EC i BC wynosi 1 do 2. Wynika z tego, że w trójkątach A B C i D E C boki AC i DC oraz BC i EC są proporcjonalne. Kąt przy wierzchołku C jest kątem wspólnym dla obu trójkątów. Trójkąty A B C i D E C są podobne na mocy cechy bkb, więc boki DE i AB pozostają w stosunku 1 do 2. Z podobieństwa trójkątów A B C i D E C wynika, że kąty przy wierzchołkach A i D są równe oraz kąty przy wierzchołkach B i E są równe. Odcinek DE jest równoległy do odcinka Ab, co dowodzi, że odcinek łączący środki 2 boków trójkąta ma długość równą połowie trzeciego boku i jest do niego równoległy.
Podstawy trapezu mają długości oraz . Punkt jest środkiem boku , a punkt jest środkiem boku . Odcinek łączący środki ramion trapezu nazywamy linią środkową w trapezie. Obliczymy jego długość.
RFEUAKFdRvzAR1
Rysunek trapezu A B C D z zaznaczoną linią środkową EF równoległą do podstawy AB.
Poprowadźmy przekątną i oznaczmy przez jej środek.
RNF4y5gF023LW1
Rysunek trapezu A B C D z zaznaczoną przekątną AC.
Odcinek jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie . Stąd jest równoległy do podstawy trapezu oraz
Podobnie odcinek jest odcinkiem łączącym środki boków trójkąta , czyli jest równoległy do podstawy trapezu oraz
Ponieważ oba odcinki i są równoległe do podstaw trapezu, więc punkty leżą na jednej prostej.
RXsZkDRzk5BEM1
Rysunek trapezu A B C D z zaznaczoną linią środkową EF oraz przekątną AC. Punkt G jest punktem przecięcia linii środkowej EF i przekątnej AC.
Mamy
Stąd twierdzenie:
o linii środkowej w trapezie
Twierdzenie: o linii środkowej w trapezie
Odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw tego trapezu, a jego długość jest równa średniej arytmetycznej długości podstaw trapezu.
RLFCoKQvm4KfS1
Animacja pokazuje w pięciu krokach dowód na podaną regułę. W trapezie A B C D z zaznaczono podstawę górną a i podstawą dolną b. Poprowadzono przekątną AC i oznaczono jej środek przez G. Następnie oznaczono przez E i F odpowiednio środki odcinków AD i BC. Zauważamy, że stosunek długości odcinków DC i EG wynosi 1 do 2. Odcinek EG jest linią środkową w trójkącie A C D, czyli jest równoległy do podstawy DC i równy 0,5a. Odcinek AB jest dwa razy dłuższy od odcinka GF, więc odcinek GF jest linią środkową w trójkącie A B C, czyli jest równoległy do podstawy AB i równy 0,5b. Odcinki EG i GF są częścią prostej równoległej do podstawy trapezu i przechodzącej przez punkt G, stąd długość linii środkowej w trapezie jest równa połowie sumy długości podstaw trapezu a i b.
Animacja pokazuje w pięciu krokach dowód na podaną regułę. W trapezie A B C D z zaznaczono podstawę górną a i podstawą dolną b. Poprowadzono przekątną AC i oznaczono jej środek przez G. Następnie oznaczono przez E i F odpowiednio środki odcinków AD i BC. Zauważamy, że stosunek długości odcinków DC i EG wynosi 1 do 2. Odcinek EG jest linią środkową w trójkącie A C D, czyli jest równoległy do podstawy DC i równy 0,5a. Odcinek AB jest dwa razy dłuższy od odcinka GF, więc odcinek GF jest linią środkową w trójkącie A B C, czyli jest równoległy do podstawy AB i równy 0,5b. Odcinki EG i GF są częścią prostej równoległej do podstawy trapezu i przechodzącej przez punkt G, stąd długość linii środkowej w trapezie jest równa połowie sumy długości podstaw trapezu a i b.
Punkty , i dzielą ramię trójkąta na odcinki równej długości. Punkty , i wybrano na boku tak, że odcinki , i są równoległe do podstawy (patrz rysunek). Długość odcinka jest równa .
RszwvKi2eXIAE1
Rysunek trójkąta A B C z zaznaczonymi odcinkami: KP, LO, MN równoległymi do podstawy AB.
Wtedy
RAUcaydm1tqWo
A
Ćwiczenie 3
W trapezie podstawa jest dłuższa od podstawy . Ramiona i mają długości , . Proste zawierające te ramiona przecinają się w punkcie i . Wówczas
RTfTPnfVnilDV
Trójkąt jest podobny do trójkąta w skali .
Długość odcinka jest równa .
RJ3VpSUztyigS1
Rysunek trapezu A B C D opisanego w zadaniu.
A
Ćwiczenie 4
W trapezie podstawa jest dłuższa od podstawy . Punkt przecięcia przekątnych trapezu dzieli każdą z nich w stosunku . Krótsza podstawa trapezu ma długość . Oblicz długość drugiej podstawy.
W trapezie podstawy mają długości i . Przekątna ma długość . Na jakie odcinki dzieli tę przekątną prosta ?
W trapezie podstawy mają długości i |. Przekątne i przecinają się w punkcie . Trójkąt ma pole równe . Oblicz pole trójkąta .
Req2wtWll5pPB1
Rysunek trapezu A B C D - pomocniczy do rozwiązania zadania podpunkt a. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie S. W trapezie zaznaczono kąty parami równe B D C i A B D, A C D i C A D oraz D S C i A S B.
Trójkąt jest podobny do trójkąta , ponieważ odpowiednie kąty (zaznaczone na rysunku kolorami) są wierzchołkowe albo naprzemianległe, czyli równe. Otrzymujemy więc równanie
Ri85VOyvZKVQb1
Rysunek trapezu A B C D - pomocniczy do rozwiązania zadania podpunkt c. Podstawy trapezu mają długość AB =9 i CD =3. Poprowadzone przekątne trapezu AC i DB przecinają się w punkcie S.
Trójkąt jest podobny do trójkąta (patrz podpunkt a)).Mamy więc oraz . Stąd
Trójkąt jest podobny do trójkąta , a skala tego podobieństwa jest równa . Mamy więc
A
Ćwiczenie 5
Zaznacz poprawne stwierdzenie.
REykXe9ohJ3Kk
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości i . Wtedy wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości i .
W trójkącie prostokątnym stosunek długości przyprostokątnych i jest równy 15:8. Poprowadzono wysokość . Pole trójkąta jest równe . Wtedy pole trójkąta jest równe .
W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości i wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest równa .
A
Ćwiczenie 6
Zaznacz poprawne stwierdzenie.
RLwFXQxcaVLvE
Odcinki i są wysokościami trójkąta ostrokątnego , którego bok ma długość . Wtedy, .
Trójkąt jest równoramienny o ramionach długości i podstawie długości . Wtedy wysokości w tym trójkącie są równe i .
A
Ćwiczenie 7
W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych i wpisano kwadrat, tak jak na rysunku. Oblicz długość boku tego kwadratu.
R2fSHSeE0N67K1
Rysunek trójkąta A B C z wpisanym kwadratem A D F E o bokach długości x opisanego w zadaniu podpunkt a.
W trójkąt o podstawie i wysokości równej opuszczonej z wierzchołka na tę podstawę wpisano prostokąt, tak jak na rysunku. Długości odcinków i pozostają w stosunku . Znajdź długości boków prostokąta .
RHFlKfici9rXv1
Rysunek trójkąta A B C z wpisanym prostokątem D E F G o bokach długości 5x i 2x opisanego w zadaniu podpunkt b.
W trójkąt prostokątny , w którym kąt jest prosty, wpisano kwadrat o boku długości . Bok kwadratu leży na przeciwprostokątnej trójkąta. Wierzchołki , leżą odpowiednio na przyprostokątnych i . Odcinek jest równy . Oblicz pole trójkąta .
R15czgW7tASpQ1
Rysunek trójkąta A B C z wpisanym kwadratem D E G F z zadania podpunkt c.
Trójkąt jest podobny do trójkąta na mocy cechy podobieństwa , ponieważ trójkąty mają wspólny kąt przy wierzchołku oraz oba są prostokątne. Kąt odpowiedni w obu trójkątach jest więc równy. Zachodzi więc równość
Prosta jest równoległa do , stąd odpowiednie kąty (patrz rysunek) są równe, jako kąty odpowiadające. Trójkąt jest podobny do trójkąta na mocy cechy podobieństwa .
Reqm3dA1BtkhU1
Rysunek trójkąta A B C - pomocniczy do rozwiązania zadania podpunkt b.
Przez oznaczmy długość odcinka . Wówczas odcinek ma długość .Stosunek długości odpowiednich wysokości w trójkątach podobnych jest równy skali podobieństwa, czyli jest równy stosunkowi długości odpowiednich boków. Stąd otrzymujemy
Długości boków prostokąta są równe , oraz .
Zauważmy, że otrzymane trójkąty są do siebie podobne oraz podobne do całego trójkąta .
RVweXl5SebgEj1
Rysunek trójkąta A B C - pomocniczy do rozwiązania zadania podpunkt c.
Z podobieństwa trójkątów oraz obliczamy długość odcinka , czyli , skąd Długość przeciwprostokątnej trójkąta jest więc równa .Długość przeciwprostokątnej w trójkącie obliczymy z twierdzenia Pitagorasa
Ponieważ to
Skala podobieństwa trójkąta do trójkąta jest więc równa
Pole trójkąta jest równe . Stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa, czyli
Otrzymujemy więc
B
Ćwiczenie 8
Odpowiedz na pytania.
W trapezie długość podstawy jest równa , a długości ramion trapezu i są odpowiednio równe i . Kąty i , zaznaczone na rysunku, mają równe miary. Oblicz obwód tego trapezu.
RsgPgJaKxRi6r1
Rysunek trapezu A B C D z przekątną BD z zadania podpunkt a.
Dwa trójkąty podobne i umieszczono obok siebie (patrz rysunek) tak, że punkty , i leżą na jednej prostej. Punkty , i są odpowiednio środkami odcinków , i . Udowodnij, że trójkąt jest podobny do każdego z trójkątów i .
RajJuslbDxkSQ1
Rysunek trójkątów A B C i B D E opisanego w zadaniu podpunkt b. Zaznaczono punkty K, L, M.
Przekątne czworokąta przecinają się w punkcie i zachodzi równość . Udowodnij, że czworokąt jest trapezem.
gdyż są to kąty naprzemianległe. Stąd na mocy cechy podobieństwa trójkąt jest podobny do trójkąta .
R1NuVO80PLNiL1
Rysunek trapezu A B C D - pomocniczy do rozwiązania zadania podpunkt a. Kąty A D B i D C B są tej samej miary. Kąty C D B i A B C są równej miary.
Z podobieństwa tych trójkątów otrzymujemy
Stąd
Obwód trapezu jest równy
Ponieważ trójkąty i są podobne, więc . Punkty , i leżą na jednej prostej. Otrzymaliśmy więc dwa kąty odpowiadające równej miary. Stąd jest równoległe do . Figura jest więc trapezem. Odcinek łączy środki jego ramion, jest więc równoległy do podstaw oraz , zatem
Podobnie można wykazać, że figura jest trapezem. Odcinek łączy środki jego ramion, zatem jest równoległy do podstaw i trapezu . Stąd
Z cechy podobieństwa wynika, że trójkąty , , są podobne.
RIS6IxvSakLzH1
Animacja pokazuje w dziewięciu krokach ilustrację rozwiązania zadania podpunkt b.
Animacja pokazuje w dziewięciu krokach ilustrację rozwiązania zadania podpunkt b.
Przekształćmy równość daną w zadaniu do postaci . Zauważmy, że miara kąta jest równa mierze kąta , ponieważ są to kąty wierzchołkowe. Zatem trójkąty i są podobne, co wynika z cechy podobieństwa trójkątów . Wynika stąd, że
Są to kąty naprzemianległe i równe, zatem bok jest równoległy do . Czworokąt jest więc trapezem.
A
Ćwiczenie 9
Zaznacz poprawne stwierdzenie.
RzF2Gyd0tFYj5
Stosunek długości przekątnych dwóch prostokątów podobnych jest równy . Wówczas stosunek pól tych prostokątów jest równy .
Stosunek pól dwóch trójkątów podobnych wynosi . Wówczas stosunek obwodów tych trójkątów jest równy .
W trójkącie poprowadzono odcinek równoległy do podstawy , który ramię podzielił w stosunku , licząc od wierzchołka . Wówczas pole trójkąta stanowi pola trójkąta .
R1bFJrFrxWzPy1
Grafika statyczna
A
Ćwiczenie 10
Zaznacz poprawne stwierdzenie.
R1P3c6zmrvzDK
Ramiona trapezu mają długości i , a obwód trapezu jest równy . Wtedy długość odcinka łączącego środki ramion tego trapezu jest równa .
Wysokość trapezu jest równa , a odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość . Wtedy pole tego trapezu jest równe .
W trapezie o podstawach długości i (gdzie ) odcinek łączący środki przekątnych ma długość .
A
Ćwiczenie 11
Odcinki i są równoległe oraz , , .
R4wvxAjdinvNE1
Rysunek trójkąta A B C opisanego w zadaniu. Na boku AB zaznaczono punkt D, a na boku AC zaznaczono punkt E.
Wówczas długość odcinka jest równa
RvG5jZPGyU0RE
A
Ćwiczenie 12
Prosta równoległa do boku trójkąta odcina z niego trójkąt, którego pole stanowi pola trójkąta . Wynika stąd, że ta prosta dzieli boki i w stosunku
RMAgW1ONXLGsJ
A
Ćwiczenie 13
W prostokącie o bokach długości i odległość wierzchołka od przekątnej jest równa
R1BtdMswhTG9h
A
Ćwiczenie 14
W trapezie podstawa jest razy dłuższa od podstawy . Punkt jest punktem przecięcia się przekątnych. Wówczas stosunek jest równy
Rj20ViJJHB6OF
A
Ćwiczenie 15
Drzewo rzuca cień długości . W tym samym czasie stojący obok człowiek o wzroście rzuca cień długości . Drzewo ma wysokość
R1ZT3CezaZBNl
A
Ćwiczenie 16
Odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość . Krótsza podstawa ma długość . Wtedy długość dłuższej podstawy jest równa
RMGRmSh2qwNbp
A
Ćwiczenie 17
W trójkąt równoboczny o boku długości wpisano kwadrat, w taki sposób, że jego dwa wierzchołki leżą na jednym z boków trójkąta, a dwa pozostałe wierzchołki leżą na pozostałych dwóch ramionach trójkąta.
RURk9hBgcPPrv1
Rysunek trójkąta równobocznego A B C z wpisanym wewnątrz kwadratem F G H I opisanego w zadaniu.
Długość boku kwadratu jest równa
RevVCVQ7e2lqh
A
Ćwiczenie 18
Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości i ramionach długości . Wysokość opuszczona na ramię tego trójkąta jest równa
RKRgXNOUF7Nva
A
Ćwiczenie 19
Trójkąt ma boki długości ,,. W trójkącie ,podobnym do trójkąta , najkrótszy bok ma długość . Obwód trójkąta ' jest równy
Rby7bN4AskGFf
A
Ćwiczenie 20
Suma obwodów dwóch trójkątów podobnych jest równa . Stosunek pól tych trójkątów jest równy . Obwody tych trójkątów są równe
RJV7zNFhQH5qS
i
i
i
i
A
Ćwiczenie 21
W trójkącie długości boków są równe , oraz Na bokach i wybrano punkty i , które podzieliły te boki w stosunku , licząc od wierzchołka . Oblicz obwód trójkąta .
RyAVnMv08uya91
Rysunek trójkąta ABC - pomocniczy do rozwiązania zadania. Bok AC podzielono na dwa odcinki AD =2x i DC =x. Bok BC podzielono na dwa odcinki BE =2y i EC =y.
Trójkąty i mają wspólny kąt oraz boki przy tym kącie są proporcjonalne
Zatem trójkąty i są podobne, co wynika z cechy podobieństwa . Skala tego podobieństwa jest równa . Boki trójkąta są więc równe
Ostatecznie obwód trójkąta jest równy
A
Ćwiczenie 22
Punkty i leżą na boku trójkąta i dzielą go w stosunku , licząc od wierzchołka . Przez punkty i poprowadzono proste równoległe do boku . Oblicz, w jakim stosunku pozostają pola figur, na jakie te proste podzieliły trójkąt .
RVs2LXX5bE7yx1
Rysunek trójkąta A B C - pomocniczy do rozwiązania zadania. Bok CA podzielono na trzy odcinki CD =x, DE =2x i EA =3x. Punkty F, G leżą na boku BC. Odcinki DF i EG są równoległe do boku AB.
Pole trapezu obliczymy jako różnicę pól trójkątów i . Trójkąt jest podobny do trójkąta (na mocy cechy podobieństwa ) oraz. Stosunek pól tych trójkątów jest równy kwadratowi skali podobieństwa
Stąd
a zatem
Pole trapezu obliczymy jako różnicę pól trójkątów i . Trójkąt jest podobny do trójkąta (na mocy cechy podobieństwa ) oraz. Stosunek pól tych trójkątów jest równy kwadratowi skali podobieństwa
Stąd
a zatem
A
Ćwiczenie 23
W trapezie o podstawach długości i przedłużono ramiona do punktu ich przecięcia. Długości odcinków i są równe i Oblicz długości ramion trapezu .
i
Rm26QLDyLQTKc1
Rysunek trapezu A B C D opisanego w zadaniu.
Trójkąty oraz są podobne na mocy cechy podobieństwa . Otrzymujemy równanie
Z podobieństwa trójkątów oraz mamy też
A
Ćwiczenie 24
Dany jest trójkąt prostokątny o kącie prostym przy wierzchołku . Punkt jest spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka tego trójkąta. Wykaż, że .
R1dKLvmN0gVIn1
Rysunek trójkąta A B C opisanego w zadaniu.
Oznaczmy przez kąt w trójkącie znajdujący się przy wierzchołku . Zauważmy, ze trójkąty oraz mają kąty , , . Zatem trójkąty oraz są podobne, na mocy cechy podobieństwa . Możemy napisać proporcję
z której otrzymujemy
Ponieważ , to
A
Ćwiczenie 25
W trapezie dłuższa podstawa ma długość . Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie , który dzieli każdą z nich w stosunku . Oblicz długość krótszej podstawy.
R1M7KiWSgHVeL1
Rysunek trapezu A B C D z przekątnymi AC i BD pomocniczy do rozwiązania zadania. Odcinek DS =3x, odcinek SB =5x.
Kąty oraz są wierzchołkowe, zatem mają taką samą miarę. Kąty oraz są naprzemianległe. Ponieważ podstawy trapezu są równoległe, miary kątów i są równe. Podobnie równe są miary kątów naprzemianległych i . Trójkąt jest podobny do trójkąta na mocy cechy podobieństwa trójkątów. Skala podobieństwa wynosi Stąd
Zatem
A
Ćwiczenie 26
W trójkącie podstawa ma długość a wysokość opuszczona na tę podstawę jest równa . W trójkąt ten wpisano prostokąt , taki jak na rysunku. Boki tego prostokąta pozostają w stosunku , przy czym dłuższy bok leży na podstawie trójkąta . Oblicz pole wpisanego prostokąta.
RWiuKA81JafBo1
Rysunek trójkąta A B C, opisanego w zadaniu, z wpisanym prostokątem D E F G. Punkty G i F zaznaczono odpowiednio na bokach AC i BC. Bok DE prostokąta leży na boku AB trapezu.
Odcinek jest równoległy do , skąd miary odpowiednich kątów są równe jako kątów odpowiadających. Trójkąt jest podobny do trójkąta na mocy cechy podobieństwa .
R17PzMLYHXE0k1
Rysunek trójkąta A B C z wpisanym prostokątem DEFG służący pomocniczo do rozwiązania zadania. Dłuższy bok GF prostokąta ma długość 4x, a bok krótszy DG długość 3x.
Stosunek odpowiednich wysokości w trójkątach podobnych jest równy skali podobieństwa, czyli jest równy stosunkowi długości odpowiednich boków. Stąd otrzymujemy
Boki prostokąta są równe oraz , zatem pole jest równe .
A
Ćwiczenie 27
Na zewnątrz trójkąta prostokątnego , w którym kąt jest prosty oraz i , zbudowano kwadrat . Punkt należy do prostej i . Oblicz pole trójkąta .
R1YrOZToULyhX1
Rysunek trójkąta A B C i kwadratu A C D E zbudowanego na zewnątrz trójkąta. Krótsza przyprostokątna AC trójkąta jest jednocześnie bokiem kwadratu z zadania.
Oznaczmy miarę kąta przez . Mamy wówczas
Kąt jest kątem półpełnym, więc
Zatem trójkąty prostokątne i są podobne na mocy cechy podobieństwa trójkątów. Z proporcji
mamy
Pole trójkąta wynosi
B
Ćwiczenie 28
Dany jest równoległobok . Na przedłużeniu przekątnej poza punkt , wybrano punkt , taki że . Znajdź stosunek pola trójkąta do pola równoległoboku .
RHDyQRTudItRe1
Rysunek równoległoboku A B C D, o wysokości h, pomocniczy do rozwiązania zadania. Przekątna równoległoboku AC ma długość 3x. Odcinek CP =x. Wysokość trójkąta D C P to h z indeksem dolnym jeden.
Zaznaczmy odcinek równoległy do oraz odcinek równoległy do . Powstały trójkąt jest podobny do trójkąta . Skala tego podobieństwa jest równa
Stosunek wysokości trójkątów podobnych jest równy skali podobieństwa , skąd . Trójkąt oraz równoległobok mają podstawę tej samej długości. Oznaczmy ją przez . Pola tych figur wyrażają się wzorami
Zatem stosunek tych pól jest równy
B
Ćwiczenie 29
W trójkącie środkowa ma długość . Punkt leży na środkowej i . Na boku leży taki punkt , że proste i są równoległe. Oblicz
R29AHg8vgE3o51
Rysunek trójkąta A B C służący pomocniczo do rozwiązania zadania.
Długość odcinka wynosi
czyli
Oznaczmy przez punkt wspólny prostej i boku . Trójkąty i są podobne na mocy cechy podobieństwa trójkątów (ponieważ proste i są równoległe, więc kąty odpowiadające są sobie równe). Otrzymujemy proporcję , czyli . Oznaczmy długość odcinka przez . Mamy wtedy oraz. Punkt jest środkiem odcinka . Stąd
Trójkąt jest podobny do trójkąta (na mocy cechy podobieństwa trójkątów). Mamy więc , czyli . Otrzymujemy
skąd
Szukany stosunek wynosi . Ostatecznie .
A
Ćwiczenie 30
W rombie kąt przy wierzchołku jest ostry. Na boku leży taki punkt , że proste i są prostopadłe. Przekątna przecina odcinek w punkcie , przy czym i . Oblicz pole tego rombu.
R1EfTHCvpDtgs1
Rysunek rombu A B C D opisanego w zadaniu.
Odcinek jest wysokością rombu. Trójkąty i są podobne na mocy cechy podobieństwa trójkątów (odpowiednie kąty w obu trójkątach są równe jako wierzchołkowe albo naprzemianległe). Otrzymujemy proporcję , czyli . Oznaczmy
Czworokąt jest rombem, stąd wszystkie jego boki mają tę samą długość, zatem . Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta otrzymujemy
Ponieważ , to
Stąd
Otrzymujemy pole
B
Ćwiczenie 31
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości , i . Punkt leży na przeciwprostokątnej i . Na przyprostokątnej leży taki punkt , że proste i są prostopadłe. Na przyprostokątnej leży taki punkt , że proste i są prostopadłe. Oblicz pole czworokąta .
RYsz2bHQpq98n1
Rysunek trójkąta prostokątnego A B C opisanego w zadaniu.
I sposób
Pole trójkąta jest równe
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta mamy
Długość odcinka jest równa
Trójkąty i są podobne na mocy cechy podobieństwa trójkątów. Skala tego podobieństwa jest równa
Stosunek pól tych trójkątów jest równy kwadratowi skali podobieństwa . Otrzymujemy
Trójkąty i są podobne na mocy cechy podobieństwa trójkątów i skala tego podobieństwa jest równa
Wtedy stosunek pól tych trójkątów jest równy , skąd . Pole prostokąta wynosi
czyli
II sposób
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta mamy
Długość odcinka jest równa
Trójkąty i są podobne na mocy cechy podobieństwa trójkątów. Otrzymujemy więc , skąd
Trójkąty i są podobne na mocy cechy podobieństwa trójkątów. Otrzymujemy więc , skąd
Szukane pole jest więc równe
B
Ćwiczenie 32
W równoległoboku dane są długości boków i . Punkt leży na boku i . Punkt leży na boku i . Proste i przecinają przekątną w punktach odpowiednio i . Wykaż, że .
R1A86ajMRTLQz1
Rysunek równoległoboku A B C D opisanego w zadaniu.
Długości odcinków i są odpowiednio równe i . Trójkąty i są podobne na mocy cechy podobieństwa trójkątów (równe kąty są zaznaczone kolorami na rysunku).
Rbe9C3zogR80m1
Rysunek równoległoboku A B C D - pomocniczy do rozwiązania zadania. W równoległoboku zaznaczono punkt K, tak że powstały trójkąty prostokątne A E K i C D K o równych kątach. Odcinek DC =12, odcinek AE =8.
Mamy więc proporcję , czyli . Stąd . Wiemy, że Zatem . Trójkąty i są podobne na mocy cechy podobieństwa trójkątów (równe kąty są zaznaczone kolorami na rysunku).
R1NJcN93Rf7Nm1
Rysunek równoległoboku A B C D - pomocniczy do rozwiązania zadania. W równoległoboku zaznaczono punkt L, tak że powstały trójkąty prostokątne A D L i C L F o równych kątach. Odcinek AD =16, odcinek CF =4.
Mamy więc , czyli . Stąd . Wiemy, że Zatem
Otrzymujemy więc
Stąd
B
Ćwiczenie 33
W trójkącie kąt przy wierzchołku ma miarę większą od kąta przy wierzchołku . Punkt jest środkiem boku . Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta, poprowadzona z wierzchołka , przecina bok w punkcie , przy czym . Symetralna boku przecina bok w punkcie i przedłużenie boku w punkcie . Oblicz.
Rt7Y8dgvm7fpW1
Rysunek trójkąta A B C opisanego w zadaniu. Odcinek AD =5x, odcinek DK =3x i odcinek KB =8x.
Oznaczmy długość odcinka przez , a długość odcinka przez . Punkt dzieli odcinek na połowy. Stąd oraz .
Trójkąt jest podobny do trójkąta na mocy cechy podobieństwa trójkątów. Stąd , czyli. Otrzymaliśmy więc
stąd
Szukany stosunek jest równy .
Trójkąt jest podobny do trójkąta na mocy cechy podobieństwa trójkątów. Stąd , czyli . Otrzymaliśmy więc
stąd
Szukany stosunek jest równy .
Z podobieństwa trójkątów i mamy .
Stąd
Z podobieństwa trójkątów i mamy
Stąd
Otrzymujemy . Zatem
skąd
Szukany stosunek jest równy .
B
Ćwiczenie 34
W trapezie równoramiennym podstawy mają długości , . Przekątne i przecinają się w punkcie . Prosta równoległa do podstawy i przechodząca przez punkt przecina ramiona i w punktach odpowiednio i . Oblicz długość odcinka .
8
Rx1oQeCdwrhTZ1
Rysunek równoległoboku A B C D opisanego w zadaniu.
Trójkąty i są podobne na mocy cechy podobieństwa trójkątów (kąty o równej mierze są zaznaczone na rysunku kolorami).
RNFz50MM9WQWe1
Rysunek równoległoboku A B C D - pomocniczy do rozwiązania zadania. W równoległoboku zaznaczono kąty parami równe D A B i A D C, D C B i C B A oraz C S D i A S B.
Mamy proporcję, czyli , skąd . Oznaczmy długość boku przez . Mamy wtedy oraz . Trapez jest równoramienny, więc trójkąty i też są równoramienne, zatem
oraz
Trójkąty i są podobne na mocy cechy podobieństwa trójkątów.
RKoaPuLoEfjhV1
Rysunek równoległoboku A B C D - pomocniczy do rozwiązania zadania. Na boku BD zaznaczono punkt K, tak że odcinek SK jest równoległy do obu podstaw trapezu.
Mamy więc , czyli . Stąd . Analogicznie trójkąty i są podobne na mocy cechy podobieństwa trójkątów.
RXOr87kdH823J1
Rysunek równoległoboku A B C D - pomocniczy do rozwiązania zadania. Na boku CA zaznaczono punkt L, tak że odcinek SL jest równoległy do obu podstaw trapezu.
Mamy więc , czyli . Stąd . Otrzymujemy
B
Ćwiczenie 35
W trójkącie dane są długości boków , i . Na bokach , i wybrano odpowiednio takie punkty , i , że czworokąt jest rombem. Oblicz długość boku tego rombu oraz długości odcinków i .
, i
Oznaczmy długość boku rombu przez . Mamy wówczas , .
RMi1WTLCpuPSS1
Rysunek trójkąta A B C opisanego w zadaniu.
Trójkąty i są podobne na mocy cechy podobieństwa trójkątów. Stąd otrzymujemy , czyli . Zatem
Zatem
Trójkąty i są podobne na mocy cechy podobieństwa trójkątów. Stąd otrzymujemy , czyli . Stąd oraz
B
Ćwiczenie 36
Na bokach , i trójkąta leżą odpowiednio takie punkty , i , że prosta jest równoległa do boku i prosta jest równoległa do boku . Pole trójkąta jest równe , a pole trójkąta jest równe . Oblicz pole trójkąta .
RvGlTPFybOoU71
Rysunek trójkąta A B C opisanego w zadaniu. Odpowiednie kąty w trójkątach A D F i B D E mają takie same miary.
Trójkąty i są podobne na mocy cechy podobieństwa trójkątów oraz trójkąty i są podobne na mocy cechy podobieństwa trójkątów. Stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi podobieństwa, więc oraz . Ponieważ , to oraz . Zatem |AB| oraz . Ponieważ , to otrzymujemy równanie