Pierwsza cecha przystawania trójkątów

Przykład 1

Wiemy już, że jeśli dwie figury są przystające, to można je tak przekształcić (wykorzystując np. symetrię), aby pokryły się.

Z warunku przystawania odcinków (dwa odcinki są przystające, gdy mają równe długości) wynika, że trójkąty przystające muszą mieć odpowiednie boki równe. Z warunku przystawania kątów wynika, że trójkąty przystające muszą mieć odpowiednie kąty równe.
Chcąc sprawdzić, czy trójkąty są przystające, nie musimy porównywać ich wszystkich boków i wszystkich kątów. Możemy skorzystać z własności przystawania, zwanych cechami przystawania trójkątów.

I

cecha przystawania trójkątów bok – bok – bok (bbb)

Twierdzenie:

I

cecha przystawania trójkątów bok – bok – bok (bbb)

Jeżeli dwa trójkąty mają odpowiadające sobie boki równe, to te trójkąty są przystające.

Rh59rNAjrG2AE1

Rysunek trójkątów przystających A B C oraz D E F z zaznaczonymi różnymi kolorami odpowiadającymi sobie bokami a, b, c.

Jeżeli $AB = DE, AC = DF, CB = FE,$ to trójkąt $ABC$ jest przystający do trójkąta $DEF$ .
Zapisujemy symbolicznie

∆ ABC \equiv ∆ DEF

Przykład 2

Skonstruujemy trójkąt $A’B’C’$ przystający do trójkąta $ABC$ , korzystając z $I$ cechy przystawania trójkątów.
Rysujemy trójkąt $ABC$ , a następnie kolejno konstruujemy odpowiednie boki trójkąta $A’B’C’$ .

Przykład 3

RapleWMrcxC641

Rysunek kwadratu A B C D, którego przekątne przecinają się w punkcie E. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątne dzielą kwadrat $ABCD$ na $4$ trójkąty. Trójkąty te mają odpowiednie boki równe, zatem na podstawie I cechy przystawania trójkątów stwierdzamy, że trójkąty $ABE, BCE, CDE, DAE$ są przystające.
Podobnie można uzasadnić, że trójkąty otrzymane w wyniku podzielenia sześciokąta foremnego przekątnymi – są przystające, tak jak na rysunku.

R1bFcla0ccwYV1

Rysunek sześciokąta foremnego podzielonego przekątnymi na sześć przystających trójkątów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

Narysuj dwa przystające trójkąty, korzystając z pierwszej cechy przystawania trójkątów.

iVDE27AxgL_d5e182

Druga cecha przystawania trójkątów

Trójkąt $A'B'C'$ przystający do danego trójkąta $ABC$ można skonstruować również innym sposobem.

Konstruujemy najpierw kąt przystający do jednego z kątów trójkąta, np. kąta $CAB .$ Na ramionach otrzymanego kąta odkładamy odcinki $A’C’$ i $B’C’$ , równe odpowiednio odcinkom $AC$ i $BC .$
Łącząc punkty $A’$ i $B’$ ,otrzymujemy odcinek $A'B'$ . Można wykazać, że $A^{'} B^{'} = AB .$ Trójkąty $ABC$ i $A’B’C’$ mają zatem odpowiednie boki równe. Na podstawie I cechy przystawania trójkątów stwierdzamy, że trójkąty $ABC$ i $A’B’C’$ są przystające.

Z przeprowadzonego eksperymentu wynika kolejna cecha przystawania trójkątów.

II

cecha przystawania trójkątów bok - kąt - bok (bkb)

Twierdzenie:

II

cecha przystawania trójkątów bok - kąt - bok (bkb)

Jeżeli dwa boki i kąt zawarty pomiędzy nimi w jednym trójkącie, są równe dwóm bokom i kątowi zawartemu między nimi w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

R1DNusYOOPlhg1

Rysunek trójkątów przystających A B C oraz D E F z zaznaczonymi różnymi kolorami odpowiadającymi sobie bokami a, b i kątem między nimi.

Jeżeli $AB = DE, AC = DF, ∡ BAC = ∡ EDF$ to trójkąt $ABC$ jest przystający do trójkąta $DEF .$

Przykład 4

W trapezie równoramiennym $ABCD$ wysokości poprowadzone z wierzchołka $D$ oraz z wierzchołka $C$ odcięły dwa trójkąty, tak jak na rysunku. Wykażemy, że trójkąty te są przystające.

R1MmMsykUM0Lz1

Rysunek trapezu równoramiennego A B C D o wysokości długości 5 cm. Wysokości opuszczone z wierzchołków D i C na podstawę AB podzieliły ją na trzy odcinki: AE =2 cm, EF i FB. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skorzystamy z $II$ cechy przystawania trójkątów. Odczytujemy, że

|AE| = |FB| = 2 cm

|ED| = |CF| = 5 cm

bo $CF$ i $ED$ są wysokościami trapezu. Ponadto

|∢ AED| = |∢ BFC| = 90 °

Zatem w trójkątach $AED$ i $BFC$ dwa boki i kąt między nimi są odpowiednio równe. Na podstawie $II$ cechy przystawania trójkątów stwierdzamy, że trójkąty te są przystające.

iVDE27AxgL_d5e268

Trzecia cecha przystawania trójkątów

RcANAo6L0ZSkr1

Przykład 5

Utwórzmy trójkąt $A’B’C’$ przystający do trójkąta $ABC$ .

Sformułujmy teraz trzecią cechę przystawania trójkątów.

III

cecha przystawania trójkątów kąt - bok - kąt (kbk)

Twierdzenie:

III

cecha przystawania trójkątów kąt - bok - kąt (kbk)

Jeżeli bok i dwa przyległe do niego kąty w jednym trójkącie są odpowiednio równe bokowi i dwóm przyległym do niego kątom drugiego trójkąta, to trójkąty te są przystające.

R2eaIS7Kc87VQ1

Rysunek trójkątów przystających A B C oraz D E F z zaznaczonymi różnymi kolorami odpowiadającymi sobie kątami i bokiem między nimi.

Jeżeli $AB = DE, ∡ BAC = ∡ EDF$ i $∡ ABC = ∡ DEF$ , to trójkąt $ABC$ jest przystający do trójkąta $DEF$ .

Przykład 6

Punkt $E$ jest środkiem odcinka $AB$ . Proste $DA$ i $BC$ są równoległe. Wykażemy, że trójkąty $ADE$ i $BCE$ są przystające.

Rq1SD89Yd0yGa1

Rysunek odcinków AB i CD przecinających się w punkcie E, który dzieli odcinki na połowy. Przez punkty A, D oraz B, C poprowadzone dwie proste równoległe. Odpowiednie odcinki tworzą dwa trójkąty prostokątne A D E oraz C B E. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że

| AE | = | EB |

gdyż punkt $E$ jest środkiem odcinka $AB$ .
$|∢ AED| = |∢ BEC|$ - jako kąty wierzchołkowe
$|∢ DAE| = |∢ CBE|$ - jako kąty naprzemianległe przy prostych równoległych

R15wXOAcgOtXD1

Wynika z tego, że bok $AE$ i dwa leżące przy nim kąty w trójkącie $ADE$ są równe bokowi $EB$ i odpowiednim kątom w trójkącie $CBE$ . Na podstawie $III$ cechy przystawania trójkątów stwierdzamy, że trójkąty $ADE$ i $CBE$ są przystające, co należało wykazać.

Z przystawania trójkątów wynikają cechy przystawania trójkątów prostokątnych.

Ważne!

Dwa trójkąty prostokątne są przystające, jeśli mają odpowiednio równe

przyprostokątne
jedną z przyprostokątnych i przeciwprostokątną
przyprostokątną i kąt leżący naprzeciw tej przyprostokątnej
przeciwprostokątną i jeden z kątów ostrych

iVDE27AxgL_d5e390

Zastosowania cech przystawania trójkątów

Wiemy już, że każdy wielokąt wypukły można podzielić na trójkąty o wspólnym wierzchołku, który jest zarazem wierzchołkiem wielokąta. Jeśli dwa wielokąty podzielimy w ten sposób na tę samą liczbę przystających trójkątów, to na podstawie I cechy przystawania trójkątów stwierdzamy, że wielokąty te mają boki i kąty odpowiednio równe. Są więc przystające.

Już wiesz

Dwa wielokąty są przystające, gdy odpowiadające sobie boki tych wielokątów są równe oraz odpowiadające sobie kąty są równe.

R1KdgnlOt7pjS1

Rysunek dwóch przystających pięciokątów foremnych. Zaznaczone odpowiadające sobie równe boki i odpowiadające sobie równe kąty. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Nie zawsze równość boków i równość kątów jest niezbędna do stwierdzenia przystawania wielokątów.

Przykład 7

Dla przykładu rozważmy dwa kwadraty.

R7jzNeoDgKd2d1

Rysunek dwóch kwadratów A B C D (poprowadzona przekątna BD) i E F G H (poprowadzona przekątna FH). — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątna $DB$ dzieli kwadrat $ABCD$ na dwa przystające trójkąty prostokątne równoramienne $ABD$ i $BCD$ .
Podobnie przekątna $HF$ dzieli kwadrat $EFGH$ na dwa przystające trójkąty prostokątne równoramienne $EFH i FGH$ . Jeśli więc przystające są trójkąty $ABD$ i $EFH$ lub $ABD$ i $FGH$ , to i kwadraty są przystające. Do przystawania trójkątów prostokątnych równoramiennych wystarcza równość ich przeciwprostokątnych. Zatem kwadraty $ABCD$ i $EFGH$ są przystające, gdy mają boki równe lub gdy mają równe przekątne.

Przystawanie kwadratów

Twierdzenie: Przystawanie kwadratów

Dwa kwadraty są przystające, jeżeli ich boki są równe lub równe są ich przekątne.

Rl8C00jzWnvdd1

Rysunek dwóch przystających kwadratów o bokach długości a oraz przekątnej d. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 8

Kwadraty, które nie są przystające.

RhViOg2UVIzfA1

Rysunek dwóch kwadratów o bokach różnej długości, które nie są przystające. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 9

Równość miar kątów i przekątnych nie wystarcza do stwierdzenia przystawania dwóch prostokątów.

RC4xJ2y9TgQEY1

Rysunek dwóch prostokątów mających wspólną przekątną. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1ehKTmLDsOja1

Rysunek dwóch prostokątów z poprowadzonymi przekątnymi. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Poprowadźmy w każdym z dwóch prostokątów przekątną. Przekątna ta dzieli każdy prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne. Aby prostokąty te były przystające, wystarczy, by wszystkie otrzymane tak trójkąty były przystające.
Możemy zatem na podstawie cech przystawania trójkątów określić warunki, jakie muszą spełniać dwa prostokąty, aby były przystające.

Dwa prostokąty są przystające, gdy

boki jednego prostokąta są równe bokom drugiego prostokąta
przekątna i jeden z boków jednego prostokąta są równe przekątnej i jednemu z boków drugiego prostokąta
przekątna i kąty przez nią utworzone z bokami w jednym prostokącie są odpowiednio równe przekątnej i kątom przez nią utworzonym z bokami w drugim prostokącie

Przykład 10

W rombie przekątne przecinają się pod kątem prostym. Punkt przecięcia dzieli każdą z nich na połowę.
Do przystawania dwóch rombów wystarczy zatem stwierdzenie równości ich przekątnych ( $II$ cecha przystawania trójkątów).

Zapamiętaj!

Dwa romby są przystające, gdy mają równe przekątne.

R1eLoAxK3jKZ01

Rysunek dwóch przystających rombów o bokach jednakowej długości i poprowadzonych przekątnych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iVDE27AxgL_d5e521

Ćwiczenie 2

Wskaż pary trójkątów przystających.

R1Hjb4EvFNJVE1

"Rysunek sześciu trójkątów o bokach długości: trójkąt A - 6 cm, 5 cm, 4 cm — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$A$ i $E$
$B$ i $C$
$D$ i $F$

Ćwiczenie 3

Dwa boki trójkąta $ABC$ mają długości $8 cm$ i $13 cm$ . Dwa boki trójkąta $DEF$ mają długości $8 cm$ i $5 cm$ .
Uzasadnij, że trójkąty te nie są przystające.

Suma długości dwóch podanych boków trójkąta $DEF$ jest równa długości jednego z boków trójkąta $ABC$ $-$ nie jest spełniony warunek budowy trójkąta.

Ćwiczenie 4

Czy trójkąty na rysunku mogą być przystające? Jeśli tak – jaki warunek musi być jeszcze spełniony?

RQzoEGeoVmi4S1

Rysunek sześciu trójkątów. Dwa trójkąty ostrokątne – jeden o kątach 40 stopni, 80 stopni oraz drugi o kątach 80 stopni i 60 stopni. Dwa trójkąty rozwartokątne – jeden o kątach 10 stopni i 130 stopni oraz drugi o kątach 130 stopni i 30 stopni. Dwa trójkąty prostokątne – jeden o kątach 2x i x oraz drugi o kącie 50 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Rabatkę kwiatową w kształcie kwadratu o boku długości $2 m$ podzielono przekątnymi na $4$ części. Na każdej z części posadzono inny rodzaj kwiatów. Oblicz pole powierzchni, jaką zajmuje każdy rodzaj kwiatów.

$1 m^{2}$

Ćwiczenie 6

Wysokość podzieliła trójkąt równoboczny na dwa trójkąty. Wykaż, że trójkąty są przystające. Podaj miary kątów każdego z tych trójkątów.

$60 °, 30 °, 90 °$

Ćwiczenie 7

Punkt $S$ jest środkiem okręgu. Uzasadnij, że trójkąty $ABC$ i $ACE$ są przystające.

RXwrxmdad82mr1

Rysunek okręgu o środku w punkcie S i średnicy AC. Na średnicy zbudowane dwa trójkąty prostokątne A C E oraz A B C. Dłuższe przyprostokątne obu trójkątów mają długość 8 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trójkąty wpisane w okrąg i oparte na średnicy są prostokątne. Przystawanie trójkątów $ACE$ oraz $ABC$ wynika z cech przystawania trójkątów prostokątnych.

Ćwiczenie 8

Trójkąty $ABC$ i $DEF$ są przystające. Zapisz, które boki i które kąty są równe.

R1cjWEmiESzk11

Rysunek trójkątów A B C oraz D E F. W trójkącie A B C kąt B A C ma miarę 34 stopnie. W trójkącie D E F kąt E D F ma miarę 23 stopnie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$|AC| = |DF|$ , $|AB| = |EF|$ , $|BC| = |DE|$
$|∡BAC| = |∡EFD| = 34 °$
$|∡ACB| = |∡EDF| = 23 °$
$|∡ABC| = |∡DEF| = 123 °$

RFP2E69KKyjxL

Ćwiczenie 9

iVDE27AxgL_d5e741

Ćwiczenie 10

Trójkąt $ABC$ taki, że $|AB| = |BC|$ podzielono wysokością poprowadzoną z wierzchołka $B$ na dwa trójkąty przystające. Podaj miary kątów każdego z tak otrzymanych trójkątów.

RMj1MVOamuwDx1

Rysunek trzech trójkątów A B C. Pierwszy trójkąt prostokątny równoramienny. Drugi trójkąt równoramienny o kącie między ramionami równym 50 stopni. Trzeci trójkąt rozwartokątny równoramienny o kącie przy podstawie równym 30 stopni. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$45 °, 45 °, 90 °$
$65 °, 25 °, 90 °$
$30 °, 60 °, 90 °$

RJjU5GsWq8d4n

Ćwiczenie 11

Ćwiczenie 12

W równoległoboku $ABCD$ poprowadzono przekątne, które przecinają się w punkcie $E$ . Uzasadnij, że przystające są trójkąty

$AEB$ i $DEC$
$AED$ i $CEB$

Ćwiczenie 13

Narysuj dowolny odcinek $a$ i kąt ostry $α$ .
Skonstruuj trójkąt

w którym dwa boki są równe $a$ , natomiast kąt między nimi jest równy $α$
prostokątny, w którym jeden z kątów ma miarę $α$ , natomiast przyprostokątna leżąca przy tym kącie jest równa $a$
w którym jeden z kątów jest równy $α$ , drugi $\frac{1}{2} α$ , natomiast bok leżący między nimi jest równy $a$

Ćwiczenie 14

Narysuj dwa dowolne odcinki $a$ i $b$ oraz kąt $α$ . Skonstruuj

trójkąt o bokach $a, b$ i kącie między nimi $α$
równoległobok o bokach $a, b$ i kącie między nimi $α$
trapez prostokątny, w którym dwa boki są równe $a, b$ i kąt między nimi jest równy $α$

Ćwiczenie 15

Wykaż, że pole trapezu $ABCD$ jest równe polu trójkąta $ADF$ .

RDsElssqsYfaE1

Rysunek trapezu równoramiennego A B C D. Punkt F leży na przedłużeniu prostej AB za punktem B. Punkt E dzieli ramię CB trapezu na dwie połowy długości 2 cm. Wierzchołki trapezu A i D oraz punkt F tworzą trójkąt A D F. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

Uzasadnij, że pole równoległoboku $ABCD$ jest czterokrotnie większe od pola trójkąta $AOB$ .

R1JZylCaBO0b31

Rysunek równoległoboku A B C D, którego przekątne przecinają się w punkcie O. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wykaż, że trójkąty $AOB$ oraz $DOC$ to para trójkątów przystających. Podobnie trójkąty $AOD$ oraz $BOC$ to para trójkątów przystających.

RXTUYeXmeKzwb

Ćwiczenie 17

Jeśli przekątna jednego kwadratu jest równa przekątnej drugiego kwadratu, to kwadraty te są przystające.
Każde dwa trójkąty równoboczne są przystające.
Pola trójkątów przystających są równe.
Przekątne dzielą równoległobok na cztery trójkąty przystające.

iVDE27AxgL_d5e999

Ćwiczenie 18

Wykaż, że trapez $ABCD$ jest równoramienny.

RZ4QgvtLytRyQ1

Rysunek trapezu A B C D, którego wysokość ma długość 5 cm. Poprowadzone z wierzchołków górnej podstawy wysokości podzieliły dolną podstawę na trzy odcinki. Pierwszy odcinek AE =2 cm, drugi odcinek EF i trzeci odcinek FB =2cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wskazówka
Uzasadnij najpierw, że trójkąty $AED$ i $BCF$ są przystające.

Ćwiczenie 19

Wykaż, że jeśli dwa trójkąty równoboczne mają równe wysokości, to są przystające.

Ćwiczenie 20

Sprawdź, czy jeśli w równoległoboku dwie wysokości są równe to jest on rombem.

Ćwiczenie 21

Podaj cechę przystawania trójkątów równobocznych.

Ćwiczenie 22

Sformułuj warunek, jaki muszą spełniać dwa równoległoboki, aby były przystające.

Ćwiczenie 23

W jakim przypadku trapezy przedstawione na rysunku będą przystające?

RuaaJq9hKAyCi1

Rysunek trapezu A B C D z poprowadzoną przekątną BD oraz trapezu A prim B prim C prim D prim z poprowadzoną przekątną B prim D prim. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1ZaIVyRDca7Z

Ćwiczenie 24

Dwa prostokąty są przystające, gdy ich przekątne są równe.
Dwa kwadraty są przystające, gdy ich obwody są równe.
Dwa romby są przystające, gdy mają równe boki tej samej długości.
Jeśli boki jednego równoległoboku są równe bokom drugiego równoległoboku, to równoległoboki te są przystające.

Przystawanie figur

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

Cechy przystawania trójkątów

Pierwsza cecha przystawania trójkątów

Druga cecha przystawania trójkątów

Trzecia cecha przystawania trójkątów

Zastosowania cech przystawania trójkątów