ihruGwJPwE_d5e82

Figury przystające

R17Gm1zvSmVm61

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Rysunek przedstawia cztery figury.
Porównaj kształty i wielkości tych figur. Co zauważyłeś?

R1YpVDS4sYq2Z1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DAi8xWtqo

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Figurę czerwoną i figurę niebieską można nałożyć na figurę czarną tak, aby figury te pokrywały się.
Takie figury nazywamy przystającymi.

Figury przystające

Definicja: Figury przystające

Figury, które mają ten sam kształt i tę samą wielkość nazywamy przystającymi.

Przykład 2

Przykład figur przystających
RpeExGmau5etH1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obraz figury w symetrii środkowej i w symetrii osiowej

Własność: Obraz figury w symetrii środkowej i w symetrii osiowej

Obrazem figury w symetrii środkowej jest figura do niej przystająca.
Obrazem figury w symetrii osiowej jest figura do niej przystająca.

RvoTmgWqDoi5Y1

ihruGwJPwE_d5e227

Przykłady figur przystających

Ćwiczenie 1

Zastanówmy się, jakie długości muszą mieć promienie dwóch kół, aby te koła były przystające.

RNakPzXqlvzKt1

Rysunek dwóch kół o różnych promieniach. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Dwa koła są przystające, jeśli mają równe promienie.
Dwa okręgi są przystające, jeśli mają równe promienie.

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawione są odcinki przystające. Zbadaj ich długości. Wyciągnij wniosek i sformułuj warunek, jaki muszą spełniać dwa odcinki, aby były przystające.

R1412trmYIBqY1

Rysunek sześciu odcinków przystających. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Dwa odcinki są przystające, wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe długości.

Ćwiczenie 3

Wskaż odcinki przystające.

RC32waX9ti9o91

Rysunek odcinków AB, CD, EF, GH, IJ. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

R1QJ9QSUjOa0p1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ihruGwJPwE_d5e348

Kąty przystające

Własność: Kąty przystające

Dwa kąty o równych miarach są przystające.

Ćwiczenie 5

Wskaż pary kątów przystających.

R8DxP2IEA5uZm1

Rysunek trzech par kątów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$3$ i $4$ , $1$ i $5$ oraz $6$ i $2$

Ćwiczenie 6

Rysunki przedstawiają pary wielokątów przystających. Porównaj miary kątów i długości boków wielokątów każdej pary. Co zauważasz?

R10ocAkgOYlQq1

Rysunek trzech par wielokątów przystających. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wielokąty przystające

Definicja: Wielokąty przystające

Wielokąty przystające mają odpowiadające sobie boki równej długości oraz równe miary odpowiadających sobie kątów.

RMK02WDH9retN1

Rysunek dwóch przystających pięciokątów o bokach a, b, c, d, e i kątach alfa, beta, gamma, delta, epsilon. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Wielokąty na rysunku mają równe, odpowiadające sobie kąty. Zbadaj, czy są przystające.

R1S1v7LjIFyQu1

Rysunek czterech wielokątów. Dwa kwadraty o boku długości a i kątach alfa. Dwa pięciokąty o bokach długości b. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

RP4BIvFaMptv91

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Wielokąty są przystające tylko wtedy, kiedy kolejne kąty jednego wielokąta są równe kolejnym kątom drugiego, a boki położone między takimi samymi kątami w jednym i drugim wielokącie są równe.

Przykład 3

Prostokąty $ABCD$ i $DEFG$ są przystające. Obwód prostokąta $ABCD$ jest równy $26 cm$ . Różnica długości i szerokości prostokąta $DEFG$ jest równa $3 cm$ . Ile wynosi pole prostokąta $ABCD$ ?

R1BMi8qWz5al51

Rysunek prostokątów A B C D oraz D E F G. Prostokąt D E F G ma boki długości x, x +3. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obwody prostokątów przystających są równe, zatem obwód prostokąta $DEFG$ jest równy $26 cm$ .
Oznaczmy, $x$ – szerokość prostokąt $DEFG$ a (w $cm$ )
$x + 3$ –długość prostokąta $DEFG$ (w $cm$ )
Zapisujemy i rozwiązujemy równanie, które pozwoli na obliczenie szerokości prostokąta $DEFG$ .

2 (x + x + 3) = 26 / : 2

x + x + 3 = 13

2 x + 3 = 13

2 x = 13 - 3

2 x = 10 : 2

x = 5 (cm)

Obliczamy długość prostokąta $DEFG$ : $x + 3 = 5 + 3 = 8$ , $x + 3 = 8$ .
Pole prostokąta $DEFG$ wynosi

5 \cdot 8 = 40 ({cm}^{2})

Pola prostokątów przystających są równe. Pole prostokąta $ABCD$ jest więc równe $40 c m^{2}$ .

Ciekawostka

Z figur przystających często tworzone są wzory na tapetach, posadzkach czy tkaninach.

RsWtzygM2gwjD1

Rysunek tapety, posadzki i tkaniny. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ihruGwJPwE_d5e538

Ćwiczenie 9

Narysuj dwa przystające

prostokąty
romby
równoległoboki

Ćwiczenie 10

Sformułuj warunek przystawania

prostokątów
kwadratów
kół

Ćwiczenie 11

Wskaż pary figur przystających.

R12s2LjMf9XkV1

Rysunek trzech par pięciokątów foremnych. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$1$ i $6$ , $2$ i $4$ , $3$ i $5$ .

Ćwiczenie 12

Zaproponuj sposób podziału kąta na $2$ kąty przystające.

classicmobile

Ćwiczenie 13

Pole prostokąta $MNRS$ jest równe $12$ , a jeden z boków ma długość $3$ . Obwód prostokąta przystającego do prostokąta $MNRS$ ma długość

Rv3aPn8pdcOPZ

$4$
$14$
$24$
$12$

static

Ćwiczenie 13

Pole prostokąta $MNRS$ jest równe $12$ , a jeden z boków ma długość $3$ . Obwód prostokąta przystającego do prostokąta $MNRS$ ma długość

RSLbGC4ZAng9w

$4$
$14$
$24$
$12$

classicmobile

Ćwiczenie 14

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RRcgZtRHaqSDa

Każde dwa prostokąty są przystające.
Każde dwa romby są przystające.
Każde dwa wielokąty, które mają równe kąty są przystające.
Każde dwa kwadraty, które mają równe pola są przystające.

static

classicmobile

Ćwiczenie 15

Najdłuższy bok siedmiokąta ma długość $17 dm$ . Najdłuższy bok siedmiokąta przystającego ma długości

R188fnf0bFcwN

$1,7 cm$
$170 cm$
$170 mm$
$17 m$

static

Ćwiczenie 15

Najdłuższy bok siedmiokąta ma długość $17 dm$ . Najdłuższy bok siedmiokąta przystającego ma długości

RgvMaigWIP53k

$1,7 cm$
$170 cm$
$170 mm$
$17 m$

classicmobile

Ćwiczenie 16

Rozstrzygnij, czy kwadraty $A$ i $B$ są przystające.

R15wvgTeUjvPh

Pole kwadratu $A$ jest równe $9$ , a obwód kwadratu $B$ jest równy $12$ .
Przekątna kwadratu $A$ jest równa $6$ , a pole kwadratu $B$ jest równe $36$ .

static

Ćwiczenie 16

Rozstrzygnij, czy kwadraty $A$ i $B$ są przystające.

RCVQc50Q8zA1b

Pole kwadratu $A$ jest równe $9$ , a obwód kwadratu $B$ jest równy $12$ .
Przekątna kwadratu $A$ jest równa $6$ , a pole kwadratu $B$ jest równe $36$ .

Ćwiczenie 17

Michał i Adam wycinali z papieru ozdoby choinkowe w kształcie deltoidów o równych polach. Czy figury te muszą być przystające?

Ćwiczenie 18

Ala chce zrobić na drutach szalik długości $1,5 m$ i szerokości $0,5 m$ . Szalik ma być kompozycją jednakowych kwadratów o boku $0,25 m$ . Oblicz, z ilu kwadratów będzie składał się szalik.

z $12$ kwadratów

Ćwiczenie 19

Równoległoboki $A$ i $B$ są przystające. Jeden z kątów równoległoboku $A$ ma miarę $42 °$ . Znajdź miary kątów równoległoboku $B$ .

$42 °, 42 °, 138 °, 138 °$

Ćwiczenie 20

Narysuj dowolny czworokąt. Skonstruuj odcinek równy sumie przekątnych tego czworokąta.

Ćwiczenie 21

Narysuj dwa dowolne kąty $α$ i $β$ . Skonstruuj kąt

przystający do kąta $α$
$α + β$
$2 β$

Ćwiczenie 22

Narysuj dowolny sześciokąt. Skonstruuj kąt przystający do największego kąta narysowanego sześciokąta.

Ćwiczenie 23

W trapezie prostokątnym $MIRA$ jeden z kątów ma miarę $30 ° .$ Wysokość trapezu jest równa $8 dm$ .
Podaj długości ramion trapezu przystającego do trapezu $MIRA$ .

$8 d m, 16 d m$

Ćwiczenie 24

Romby $R$ i $Z$ są przystające. W rombie $R$ krótsza przekątna tworzy z bokiem kąt $40 ° .$ Oblicz miarę kąta jaki tworzy krótsza przekątna rombu $Z$ z bokiem.

$40 °$

Ćwiczenie 25

Przekątna kwadratu, którego wszystkie wierzchołki leżą na okręgu $M$ , ma długość $6 cm$ .
Okrąg $T$ jest przystający do okręgu $M$ . Jaką długość ma jego promień?

$3 cm$

Ćwiczenie 26

Czworokąty na rysunku są przystające. Oblicz miary ich kątów.

R1K0HD5Ulq5Ec1

Rysunek dwóch czworokątów przystających. W pierwszym czworokącie kąt wewnętrzny ma miarę 110 stopni. Kąt o mierze 80 stopni to kąt zewnętrzny do drugiego kąta wewnętrznego, leżącego przy tym samym boku, co kąt 110 stopni. W drugim czworokącie zaznaczony kąt o mierze 50 stopni jest wierzchołkowy do jednego z kątów wewnętrznych tego czworokąta. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$100 °, 110 °, 50 °, 100 °$

Ćwiczenie 27

Trapezy równoramienne $A$ i $B$ są przystające. Oblicz obwód trapezu $A$ .

R8P4jzR3RB5CS1

Rysunek dwóch przystających trapezów równoramiennych. W trapezie A podstawa dolna ma długość 4 a ramię długość 6. W trapezie B wysokość poprowadzona do dłuższej podstawy wyznaczyła trójkąt prostokątny. Krótsza przyprostokątna w tym trójkącie ma długość 3. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$26$

Ćwiczenie 28

Prostokąty $K$ i $L$ są przystające. W prostokącie $K$ przekątne przecinają się pod kątem $70 ° .$ Jaki kąt tworzy przekątna z dłuższym bokiem w prostokącie $L$ ?

$35 °$

Ćwiczenie 29

Narysuj trzy nieprzystające prostokąty, które mają jednakowe obwody.

Takimi prostokątami są na przykład prostokąty o bokach długości: $7$ i $3$ , $8$ i $2$ , $4$ i $6$ .

Ćwiczenie 30

Ile różnych prostokątów można utworzyć z $12$ przystających kwadratów? Który z tych prostokątów będzie miał najmniejszy obwód?

Jeśli przyjąć, że długość boku kwadratu jest równa $1$ , to prostokąty, które można utworzyć mają wymiary: $4 x 3, 6 x 2, 1 x 12$ . Ich obwody są odpowiednio równe: $14, 16, 12$ .
Najmniejszy obwód ma prostokąt o wymiarach $1 x 12$ .

Informacje do zadań $32, 33, 34$
Taras w domu pana Bronka ma kształt taki, jak na rysunku. Przyjmijmy, że długość kratki jest równa $0,5 m$ .

RTDY18sz8oPk01

Rysunek sześciokąta podzielonego ma małe kwadraty. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 31

Oblicz pole powierzchni tarasu.

$P = 2 ∙ 4 + \frac{10 + 5}{2} ∙ 4,5 = 42,875 (m^{2})$

Ćwiczenie 32

Pan Bronek chce wyłożyć taras kwadratowymi płytkami terakoty o długości krawędzi równej $45 cm .$ Płytki pakowane są w paczkach po $6$ sztuk. Ile paczek terakoty musi kupić? Rozważ różne możliwości

$36$ paczek

Ćwiczenie 33

Pan Bronek chce kupić na wyłożenie tarasu płytki terakoty w takim kształcie, aby po docięciu ich pozostało jak najmniej odpadów. Chciałby też, aby płytki miały jak największą powierzchnię. Zaproponuj, w jakim kształcie i o jakich wymiarach mogłyby być te płytki.

Wielokąty i ich własności

Cechy przystawania trójkątów

Przystawanie figur

Figury przystające

Przykłady figur przystających