Ciąg arytmetyczny i geometryczny - zadania

Skorzystaj z faktu, że dowolny wyraz ciągu arytmetycznego jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich. Na tej podstawie oblicz $x$.

Z własności ciągu arytmetycznego $\left(x,9,x+4\right)$ otrzymamy $9=\frac{2x+4}{2}$, czyli $x=7$.
Zatem ciąg geometryczny ma postać $\left(8,12,y-7\right)$. Iloraz w tym ciągu jest równy $q=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$. Ponieważ iloraz jest stały w całym ciągu, to otrzymamy równanie $\frac{3}{2}=\frac{y-7}{12}$. Z tego wynika, że $y=25$.

1. Najkrótszy bok trójkąta oznaczmy $a$, $\left(a>0\right)$. Pozostałe oznaczymy, wykorzystując własności ciągu arytmetycznego.

   RrkAmEKfrDkMT1

   Rysunek trójkąta prostokątnego, którego jedna z przyprostokątnych jest równa a, druga a + 5, oraz przeciwprostokątna jest równa a + 10

   

   Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy $a^2+{\left(a+5\right)}^2={\left(a+10\right)}^2$. Po uporządkowaniu otrzymamy równanie kwadratowe $a^2-10a-75=0$, które ma dwa rozwiązania $a=-5$ lub $a=15$. Rozwiązanie ujemne odrzucamy, ponieważ nie spełnia założenia $\left(a>0\right)$. Zatem boki trójkąta mają długości: $a=15$, $a+5=20$, $a+10=25$.
   Pole trójkąta prostokątnego wynosi

   $$P=\frac{1}{2}·15·20=150$$.

2. Najkrótszy bok trójkąta oznaczmy $a$, $\left(a>0\right)$. Pozostałe boki oznaczymy, wykorzystując własności ciągu arytmetycznego.

   R1RyFsBHpJR0J1

   Rysunek trójkąta prostokątnego, którego jedna z przyprostokątnych jest równa a, druga a + r, oraz przeciwprostokątna jest równa a + 2 r

   

   Obwód trójkąta jest równy $48 \mathrm{cm}$, czyli $a+a+r+a+2r=48$. Po uporządkowaniu otrzymamy $a+r=16$. Pole trójkąta jest równe $96 {\mathrm{cm}}^2$, czyli $\frac{1}{2}a\left(a+r\right)=96$. Po uporządkowaniu $a\left(a+r\right)=192$. Z wcześniejszych obliczeń wynika, że $a+r=16$, zatem po podstawieniu otrzymamy $16a=192$, czyli $a=12$.
   Z tego wynika, że kolejne boki trójkąta są równe $a=12$ i $a+r=16$, czyli $r=4$. Przeciwprostokątna jest równa $a+2r=20$.

Oznaczmy pierwszy wyraz ciągu długości boków trójkątów przez $a_1$ oraz różnicę ciągu przez $r$. Wtedy boki kolejnych trójkątów tworzą ciąg

$\left(a_1,a_1+r,a_1+2r,a_1+3r,\dots \right)$.

Ciąg obwodów trójkątów równobocznych ma postać $\left(3a_1,3a_2,3a_3,\dots ,3a_n,\dots \right)$.

Wybierzmy dowolny wyraz ciągu $3a_n$ oraz wyraz po nim następujący $3a_{n+1}$. Zauważmy, że różnica pomiędzy tymi wyrazami jest równa

${3a}_{n+1}-{3a}_n=3\left(a_{n+1}-a_n\right)=3r$,

czyli jest liczbą stałą. Oznacza to, że ciąg obwodów jest arytmetyczny i jego różnica jest równa $3r$.

Ciąg pól trójkątów równobocznych ma postać $\left(\frac{{a_1}^2\sqrt{3}}{4},\frac{{\left(a_1+r\right)}^2\sqrt{3}}{4},\frac{{\left(a_1+2r\right)}^2\sqrt{3}}{4},\dots \right)$.

Przypuśćmy, że jest to ciąg arytmetyczny. Wtedy dla trzech pierwszych wyrazów zachodzi twierdzenie o zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu, czyli

stąd $2r^2=4r^2$, co jest spełnione tylko dla $r=0$, a to jest sprzeczne z założeniem. Zatem ciąg pól kolejnych trójkątów równobocznych nie jest arytmetyczny.

Z własności ciągu arytmetycznego wynika, że $2x=\frac{3+y-3}{2}$, czyli $x=\frac{1}{4}y$.

Ciąg geometryczny ma postać $\left(64,y,\frac{1}{4}y\right)$. Z własności ciągu geometrycznego wynika, że $y^2=64·\frac{1}{4}y$.

Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie kwadratowe $y^2-16y=0$, którego rozwiązaniem jest $y=0$ lub $y=16$. Rozwiązanie $y=0$ odrzucamy, ponieważ ciąg $(64,0,0)$ nie jest malejący. Zatem pozostaje $y=16$. Z tego wynika, że $x=\frac{1}{4}y=4$.

1. Liczby dwucyfrowe podzielne przez $3$ tworzą ciąg arytmetyczny, w którym $r=3$. Pierwszą z liczb dwucyfrowych tego ciągu jest $a_1=12$, a ostatnią $a_n=99$. Obliczymy liczbę wyrazów w tym ciągu:
   $99=12+\left(n-1\right)·3$, czyli $n=30$. Obliczamy sumę $S_{30}=\frac{12+99}{2}·30=1665$.

2. Parzyste liczby dwucyfrowe tworzą ciąg arytmetyczny, w którym $a_1=10$ i $r=2$. Ostatni wyraz tego ciągu $a_n=98$. Obliczymy liczbę wyrazów tego ciągu: $98=10+2\left(n-1\right)$, stąd otrzymujemy $n=45$. Obliczamy sumę $S_{45}=\frac{10+98}{2}·45=2430$.

3. Liczby dwucyfrowe podzielne przez $8$ tworzą ciąg arytmetyczny, w którym $a_1=16$ i $r=8$. Ostatni wyraz tego ciągu $a_n=96$. Obliczymy liczbę wyrazów tego ciągu: $96=16+8\left(n-1\right)$, skąd otrzymujemy $n=11$. Obliczamy sumę $S_{11}=\frac{16+96}{2}·11=616$.

4. Liczby te tworzą ciąg arytmetyczny, w którym $a_1=12$ i $r=5$. Ostatni wyraz tego ciągu $a_n=97$. Liczba wyrazów tego ciągu $97=12+5\left(n-1\right)$, stąd otrzymujemy $n=18$. Obliczamy sumę $S_{18}=\frac{12+97}{2}·18=981$.

Wykorzystaj odpowiednią własność ciągu geometrycznego.

Skoro liczby $\left(x,a,y\right)$ tworzą ciąg geometryczny, więc $a^2=xy$. Zatem pola obu figur są równe.

Zapisz każdą z krawędzi w postaci wyrazu ciągu geometrycznego o wyrazie początkowym $a_1$ i ilorazie $q$. Wykorzystaj ten zapis oraz informacje zawarte w poleceniu, aby obliczyć długości wszystkich krawędzi.

Jeżeli długości krawędzi tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $q$, to są one równe: $a_1$, $a_{1}q$, $a_1{q}^2$, gdzie $a_1>0$ oraz $q>0$. Objętość tego prostopadłościanu jest równa $64=a_1·a_{1}q·a_1{q}^2={\left(a_{1}q\right)}^3$, stąd $a_{1}q=4$. Mamy więc $a_1=\frac{4}{q}$.

Suma długości krawędzi jest równa $12=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2=\frac{4}{q}+4+4q$.

Otrzymujemy równanie kwadratowe $q^2-2q+1=0$, które ma jedno rozwiązanie $q=1$, czyli $a_1=\frac{4}{q}=4$. Wszystkie krawędzie są więc równej długości $4$.

1. Zwróć uwagę na to, że liczba kwadratów usuwanych w kolejnych krokach tworzy ciąg geometryczny.

2. Zauważ, że liczba usuniętych kwadratów po $n$ krokach jest sumą $n$ pierwszych wyrazów pewnego ciągu geometrycznego.

1. Zauważmy, że liczba kwadratów, które usuwamy w kolejnych krokach, tworzy ciąg geometryczny. Za pierwszym razem usuwamy jeden kwadrat, czyli $a_1=1$, a następnie w każdym kroku usuwamy $8$ razy więcej mniejszych kwadratów, bo wokół większego kwadratu mamy $8$ mniejszych kwadratów. Zatem $q=8$. Po $4$ kroku mamy więc $S_4=a_1·\frac{1-q^4}{1-q}=1·\frac{1-8^4}{1-8}=585$ kwadratów.

2. Liczba usuniętych kwadratów po $n$ krokach jest sumą $n$ pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego o $a_1=1$ oraz $q=8$, czyli $S_n=a_1·\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{1-8^n}{1-8}=\frac{8^n-1}{7}$.

Zacznij od zapisania długości boków tego trójkąta w postaci wyrazów ciągu arytmetycznego o wyrazie początkowym $a$ i różnicy $r$. Wykorzystaj własności ciągu arytmetycznego oraz twierdzenie Pitagorasa.

Oznaczmy długości przyprostokątnych i przeciwprostokątnej trójkąta $ABC$ literami, odpowiednio $a$, $b$ i $c$. Są to liczby dodatnie i największą z nich jest $c$. Możemy przyjąć, że $a\le b$. Wtedy ciąg arytmetyczny $\left(a,b,c\right)$ jest rosnący.
Niech $r$ oznacza różnicę tego ciągu. Zatem $b=a+r$ oraz $c=a+2r$.

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy $a^2+{\left(a+r\right)}^2={\left(a+2r\right)}^2$, stąd po przekształceniu mamy kolejno

Potraktujmy to równanie jak równanie kwadratowe z niewiadomą $a$. Wtedy wyróżnik tego równania jest równy $\Delta ={\left(-2r\right)}^2-4·1·\left(-3r^2\right)=16r^2>0$, więc równanie ma dwa rozwiązania $a=\frac{2r-4r}{2}=-r$ lub $a=\frac{2r+4r}{2}=3r$.

Pierwsze z rozwiązań nie spełnia warunków zadania, gdyż $a>0$, zaś $-r<0$.

Zatem $a=3r$.

Pole trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu długości przyprostokątnych, czyli $24=\frac{1}{2}a\left(a+r\right)$. Stąd i z otrzymanej wcześniej równości $a=3r$ mamy

Stąd $r=2$, gdyż $r>0$. Zatem $a=3r=3·2=6$, $b=a+r=6+2=8$ oraz $c=b+r=8+2=10$. Obwód trójkąta $ABC$ jest zatem równy $a+b+c=6+8+10=24$.