iTDlAqaSFo_d5e82

Ciąg geometryczny

Przykład 1

Spotykamy się czasem ze stwierdzeniem, że zeszyt, w którym piszemy, ma format $A 4$ albo $A 5$ . Co to oznacza? Międzynarodowa norma definiuje $3$ serie formatów $A, B$ i $C$ , przy czym formaty $C$ związane są z określeniami formatów kopert.
Format $A 0$ odpowiada prostokątowi o powierzchni $1 m^{2}$ , przy czym jego wymiary są tak dobrane, żeby stosunek dłuższego boku do krótszego był równy $\sqrt{2}$ . Mamy więc wymiary arkusza formatu $A 0$ : $1188 mm$ i $\frac{1188}{\sqrt{2}} mm$ . Format $A 1$ jest połową formatu $A 0$ , czyli krótszy bok arkusza formatu $A 0$ to dłuższy bok arkusza formatu $A 1$ i stosunek dłuższego boku do krótszego jest równy $\sqrt{2}$ . Zatem kartka formatu $A 1$ ma wymiary: $\frac{1188}{\sqrt{2}} mm$ i $\frac{1188}{{(\sqrt{2})}^{2}} mm$ .
Otrzymujemy ciąg liczb, z których każda następna, oprócz pierwszej, jest $\sqrt{2}$ razy mniejsza od poprzedniej, czyli $(1188, \frac{1188}{\sqrt{2}}, \frac{1188}{{(\sqrt{2})}^{2}}, \frac{1188}{{(\sqrt{2})}^{3}}, \frac{1188}{{(\sqrt{2})}^{4}}, . . .) .$ Jakie wymiary będzie miał arkusz formatu $A 5$ ?
Wymiary arkusza formatu $A 5$ będą szóstą i siódmą liczbą w tym ciągu. Obliczamy

a_{6} = \frac{a_{5}}{\sqrt{2}} = \frac{1188}{{(\sqrt{2})}^{5}} = \frac{297}{\sqrt{2}}

oraz

a_{7} = \frac{a_{6}}{\sqrt{2}} = \frac{1188}{{(\sqrt{2})}^{6}} = \frac{1188}{8} = 148,5

Zatem kartka formatu $A 5$ ma wymiary $\frac{297}{\sqrt{2}} mm$ i $\frac{1188}{{(\sqrt{2})}^{6}} = 148,5 mm$ .
W praktyce wymiary arkuszy są zaokrąglane do pełnych milimetrów. Otrzymujemy w ten sposób ciąg $(1188, 840, 594, 420, 297, . . .)$ .

R1X99ycp0j95f1

Rysunek prostokąta o bokach 841 mm i 1189 mm, który jest przykładem formatu A0 papieru. Prostokąt podzielono na prostokąty będące znormalizowanymi formatami papieru A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8 opisanymi powyżej. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oba przykłady opisują ciągi, w których każdy kolejny wyraz jest iloczynem wyrazu poprzedniego przez pewną ustaloną liczbę. Takie ciągi nazywamy ciągami geometrycznymi.

Ciąg geometryczny

Definicja: Ciąg geometryczny

Ciąg $(a_{n})$ nazywamy ciągiem geometrycznym, jeżeli ma przynajmniej $3$ wyrazy, jego pierwszy wyraz jest różny od $0$ , a każdy następny wyraz jest iloczynem poprzedniego wyrazu i pewnej ustalonej liczby. Liczbę tę nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego i oznaczamy przez $q$ .

Jeśli ciąg jest skończony i ma $k \geq 3$ wyrazów, to $a_{1} \neq 0$ i $a_{n + 1} = a_{n} ∙ q$ dla dowolnej liczby całkowitej $1 \leq n \leq k - 1$ . Jeśli natomiast ciąg jest nieskończony, to $a_{1} \neq 0$ i $a_{n + 1} = a_{n} ∙ q$ dla dowolnej liczby całkowitej $n \geq 1$ .
Z definicji wynika, że
jeśli $q \neq 0$ , to, wobec warunku $a_{1} \neq 0$ , wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego $(a_{n})$ sa różne od zera
jeśli $q = 0$ , to wyrazy ciągu $a_{2}, a_{3}, a_{4}, \dots$ sa równe $0$ , czyli jest to ciąg postaci $a_{1}, 0,0, 0, \dots$
Ciąg geometryczny w pewnym sensie jest podobny do ciągu arytmetycznego. W ciągu arytmetycznym kolejny wyraz jest sumą poprzedniego wyrazu i pewnej ustalonej liczby. W ciągu geometrycznym kolejny wyraz jest iloczynem poprzedniego wyrazu oraz pewnej ustalonej liczby. Dlatego techniki, którymi będziemy się posługiwać w rozwiązywaniu zadań dotyczących ciągów geometrycznych i ciągów arytmetycznych, będą podobne, lecz wykonywane obliczenia będą inne.
Żeby sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny, postępujemy podobnie jak w przypadku ciągu arytmetycznego. Tam badaliśmy, czy różnica pomiędzy kolejnymi wyrazami jest stała. W przypadku ciągu geometrycznego, którego iloraz jest różny od zera, wystarczy zbadać, czy iloraz $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ jest stały dla każdej liczby całkowitej $n \geq 1$ .
Dowolne trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, w którym $a_{1} \neq 0$ i $a_{n} \neq 0$ , spełniają równość $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{a_{n}}{a_{n - 1}}$ , którą możemy zapisać w postaci

{a_{n}}^{2} = a_{n + 1} ∙ a_{n - 1}

Dowolne trzy kolejne, różne od $0$ wyrazy ciągu geometrycznego spełniają równość

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{a_{n}}{a_{n - 1}},

którą możemy zapisać w postaci ${a_{n}}^{2} = a_{n + 1} ∙ a_{n - 1}$

RNEhIY81K53AP1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DCzQVB399

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Własność ciągu geometrycznego

Własność: Własność ciągu geometrycznego

Ciąg $(a_{n})$ o wyrazach różnych od $0$ jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby całkowitej $n > 1 (1 < n < k,$ ciąg $(a_{n})$ jest $k -$ wyrazowy $)$ prawdziwa jest równość

{a_{n}}^{2} = a_{n + 1} ∙ a_{n - 1}

Jeżeli wyrazy ciągu $(a_{n})$ są liczbami dodatnimi, to równość ${a_{n}}^{2} = a_{n + 1} ∙ a_{n - 1}$ możemy zapisać w postaci $a_{n} = \sqrt{a_{n + 1} ∙ a_{n - 1}}$ .
Oznacza to, że wyraz $a_{n}$ jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich.

Zauważmy, że jeżeli w ciągu $(a_{n})$ jest $a_{1} \neq 0$ oraz istnieją wyrazy równe $0$ i wyrazy różne od $0$ , to z definicji wynika, że nie jest to ciąg geometryczny, mimo że może spełniać warunek ${a_{n}}^{2} = a_{n + 1} ∙ a_{n - 1}$
Na przykład ciąg $(2, 0, 0, 3)$ spełnia warunki ${a_{2}}^{2} = a_{1} ∙ a_{3}$ oraz ${a_{3}}^{2} = a_{2} ∙ a_{4}$ , lecz nie jest to ciąg geometryczny.

Przykład 2

Sprawdź, czy ciąg $(\sqrt{2} - 1, 1, \sqrt{2} + 1)$ jest ciągiem geometrycznym.
Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu są różne od zera, więc możemy skorzystać z twierdzenia o własności ciągu geometrycznego. Wystarczy więc sprawdzić, czy ${a_{2}}^{2} = a_{1} ∙ a_{3}$ .
Iloczyn

a_{1} ∙ a_{3} = (\sqrt{2} - 1) ∙ (\sqrt{2} + 1) = 2 - 1 = 1 = 1^{2} = {a_{2}}^{2},

więc wnioskujemy, że ten ciąg jest geometryczny.

Przykład 3

W ciągu geometrycznym kolejne wyrazy mają postać

a_{1}

a_{2} = a_{1} q

a_{3} = {a_{2} q = (a_{1} q) ∙ q = a}_{1} q^{2}

a_{4} = a_{3} q = (a_{1} q^{2}) ∙ q = a_{1} q^{3}

i tak dalej.
Zauważmy, że każdy kolejny wyraz ciągu jest iloczynem wyrazu pierwszego oraz pewnej liczby czynników $q$ . Czynników $q$ jest o $1$ mniej, niż wynosi numer wyrazu, który chcemy obliczyć, a więc wyraz $a_{n}$ jest iloczynem wyrazu $a_{1}$ oraz $n - 1$ czynników $q^{}$ . Zatem $n$ -ty wyraz ciągu jest równy $a_{n} = a_{1} q^{n - 1}$ .

Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Jeżeli $a_{1}$ jest pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego $(a_{n})$ i $q$ jest ilorazem tego ciągu, to dla dowolnej liczby całkowitej $n > 1$ mamy $a_{n} = a_{1} q^{n - 1}$ .

R1SAUaxChG9Gt1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DCzQVB399

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

iTDlAqaSFo_d5e294

Przykład 4

Oblicz ósmy wyraz ciągu geometrycznego, w którym $a_{1} = 81$ oraz $q = - \frac{1}{3}$ .
Zastosujemy podany wcześniej wzór na $n$ -ty wyraz ciągu geometrycznego. Ósmy wyraz ciągu jest więc równy

a_{8} = a_{1} q^{7} = 81 ∙ {(- \frac{1}{3})}^{7} = - 3^{4} ∙ 3^{- 7} = - 3^{- 3} = - \frac{1}{27}

Przykład 5

Którym wyrazem ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = 3$ oraz $q = 5$ , jest liczba $1875$ ?
Ze wzoru na $n$ -ty wyraz ciągu geometrycznego mamy $3 ∙ 5^{n - 1} = 1875 .$ Stąd otrzymujemy $5^{n - 1} = 625 = 5^{4}$ . Zatem $n - 1 = 4$ , czyli $n = 5$ . Liczba $1875$ jest więc piątym wyrazem ciągu $(a_{n})$ .

Przykład 6

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego $(a_{n})$ jest równy $a_{1} = 1$ , a trzeci wyraz tego ciągu jest o $2$ większy od drugiego wyrazu tego ciągu. Oblicz iloraz $q$ tego ciągu.
Drugi i trzeci wyraz ciągu są równe ${a_{2} = a}_{1} q$ , ${a_{3} = a}_{1} q^{2}$ . Ponieważ $a_{1} = 1$ , to $a_{2} = 1 ∙ q = q$ oraz $a_{3} = 1 ∙ q^{2} = q^{2}$ . Wyrazy te różnią się o $2$ , czyli $a_{3} - a_{2} = 2$ , więc $q^{2} - q = 2$ . Otrzymaliśmy równanie kwadratowe z niewiadomą $q$ . Ma ono dwa rozwiązania $q_{1} = - 1$ oraz $q_{2} = 2 .$ Są więc dwa takie ciągi geometryczne o ilorazach $q_{1} = - 1$ oraz $q_{2} = 2$ .

Przykład 7

Pomiędzy liczby $\frac{64}{3}$ oraz $9$ wstaw takie dwie liczby, żeby otrzymać czterowyrazowy ciąg geometryczny.
Liczba $9$ jest czwartym, a liczba $\frac{64}{3}$ pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego. Stąd $9 = \frac{64}{3} q^{3}$ , gdzie $q$ oznacza iloraz tego ciągu. Zatem $q = \frac{3}{4}$ . Drugi wyraz tego ciągu jest więc równy $x = \frac{64}{3} ∙ q = \frac{64}{3} ∙ \frac{3}{4} = 16$ , a trzeci $y = x ∙ q = 16 ∙ \frac{3}{4} = 12 .$

Przykład 8

Oblicz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{6} + a_{5} = 540$ oraz $a_{6} - a_{4} = 1296$ .
Korzystając ze wzoru na $n$ -ty wyraz ciągu geometrycznego, kolejne wyrazy ciągu geometrycznego zapisujemy $a_{3} = a_{1} q^{2}$ , $a_{4} = a_{1} q^{3}$ , $a_{5} = a_{1} q^{4}$ , $a_{6} = a_{1} q^{5}$ . Równania dane w zadaniu zapisujemy więc w postaci układu równań

\{\begin{matrix} a_{1} q^{5} + a_{1} q^{4} = 1944 \\ a_{1} q^{5} - a_{1} q^{3} = 1296 \end{matrix}

\{\begin{matrix} a_{1} q^{4} (q + 1) = 1944 \\ a_{1} q^{3} (q^{2} - 1) = 1296 \end{matrix}

\{\begin{matrix} a_{1} q^{4} (q + 1) = 1944 \\ a_{1} q^{3} (q - 1) (q + 1) = 1296 \end{matrix}

Z pierwszego równania wynika, że $a_{1} \neq 0$ , $q \neq 0$ oraz $q + 1 \neq 0$ . Gdyby tak nie było, równanie byłoby sprzeczne, gdyż po lewej stronie mielibyśmy $0$ , a po prawej $1944$ . Dzielimy więc stronami drugie równanie przez pierwsze. Wtedy otrzymujemy

\frac{a_{1} q^{3} (q - 1) (q + 1)}{a_{1} q^{4} (q + 1)} = \frac{1296}{1944}

czyli

\frac{q - 1}{q} = \frac{2}{3}

Stąd $3 q - 3 = 2 q .$ Zatem $q = 3$ . Z równania $a_{1} q^{4} (q + 1) = 1944$ i $q = 3$ , otrzymujemy

a_{1} = \frac{1944}{q^{4} (q + 1)} = \frac{1944}{3^{4} (3 + 1)} = 6

Ciąg geometryczny może być malejący, rosnący, stały, niemalejący, nierosnący albo w ogóle może nie być monotoniczny. Zależy to od wartości ilorazu oraz znaku pierwszego wyrazu. Na przykład ciąg geometryczny, w którym $a_{1} = 4$ oraz $q = 2$ , a więc ciąg $(4, 8, 16, 32, 64, \dots)$ jest rosnący, gdyż każdy kolejny wyraz ciągu jest dwa razy większy od poprzedniego i pierwszy wyraz jest dodatni.
Korzystając z poniższego apletu, zbadaj monotoniczność kilku ciągów geometrycznych.

Rro2pxTrhv1JY1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DCzQVB399

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

iTDlAqaSFo_d5e390

Ćwiczenie 1

R1FRnNiM0lHH91

Przeciągnij pasujące elementy z dolnej sekcji do górnej.

ciąg arytmetyczny
ciąg geometryczny

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

RgkxJqDbtVfC21

Połącz w pary wzór ogólny ciągu geometrycznego z odpowiednimi wartościami $a_{1}$ i $q$ .

$a_{n} =$ $16 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$
$a_{n} =$ $16 \cdot {(\frac{1}{4})}^{n}$
$a_{n} =$ $16 \cdot {(\frac{1}{8})}^{n}$
$a_{n} =$ $- 16 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}$
$a_{n} =$ $- 16 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n}$
$a_{n} =$ $\frac{1}{16} \cdot 8^{n}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Sprawdź, czy podany ciąg jest geometryczny. Jeżeli jest, to znajdź jego iloraz.

$a_{n} = {(0,3)}^{n}$
$b_{n} = \frac{2^{n}}{7}$
$c_{n} = 3^{n + 4}$

Tak. Dla dowolnej liczby dodatniej całkowitej $n$ mamy $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{{(0,3)}^{n + 1}}{{(0,3)}^{n}} = 0,3$ . Ponieważ iloraz dowolnych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest stały i równy $0,3$ , więc jest to ciąg geometryczny o ilorazie $0,3$ .
Tak. Dla dowolnej liczby dodatniej całkowitej $n$ mamy $\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{\frac{2^{n + 1}}{7}}{\frac{2^{n}}{7}} = 2$ . Ponieważ iloraz dowolnych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest stały i równy $2$ , więc jest to ciąg geometryczny o ilorazie $2$ .
Tak. Dla dowolnej liczby dodatniej całkowitej $n$ mamy $\frac{c_{n + 1}}{c_{n}} = \frac{3^{n + 5}}{3^{n + 4}} = 3$ . Ponieważ iloraz dowolnych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest stały i równy $3$ , więc jest to ciąg geometryczny o ilorazie $3$ .

Ćwiczenie 4

R88sakJu1JiwP1

Połącz w pary ciąg geometryczny z odpowiadającym mu ilorazem.

2
$\frac{1}{2}$
-2
$- \frac{1}{2}$
3
-3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym

$a_{1} = 10$ oraz $a_{6} = \frac{5}{16}$
$a_{3} = \frac{1}{2}$ oraz $a_{6} = \frac{125}{2}$

$a_{n} = 10 ∙ {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$
$a_{n} = \frac{1}{50} ∙ 5^{n - 1}$

Ze wzoru na szósty wyraz ciągu geometrycznego $a_{6} = a_{1} ∙ q^{5}$ , czyli $\frac{5}{16} = 10 q^{5}$ , stąd $q^{5} = \frac{1}{32}$ , czyli $q = \frac{1}{2}$ . Wzór na $n -$ ty wyraz tego ciągu ma postać $a_{n} = 10 ∙ {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ .
Zauważmy, że $a_{6} = a_{3} ∙ q^{3}$ , więc $\frac{125}{2} = \frac{1}{2} q^{3}$ , stąd $q^{3} = 125$ . Zatem $q = 5$ . Ze wzoru na trzeci wyraz ciągu otrzymujemy $a_{3} = a_{1} q^{2}$ , czyli $\frac{1}{2} = a_{1} ∙ 5^{2}$ . Stąd $a_{1} = \frac{1}{50}$ . Wzór ogólny ciągu ma zatem postać $a_{n} = \frac{1}{50} ∙ 5^{n - 1}$ .

Ćwiczenie 6

Ustaw wyrazy w odpowiedniej kolejności, tak żeby utworzyły ciąg geometryczny, którego iloraz jest mniejszy od $1$ .

$\frac{125}{4}, \frac{25}{2}, 5, 2, \frac{4}{5}, \frac{8}{25}, \frac{16}{125}$
$128 \sqrt{3}, \frac{32}{3}, \frac{8}{\sqrt{3}}, 2, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{8}$

classicmobile

Ćwiczenie 7

Dane są dwa wyrazy ciągu geometrycznego $a_{6} = 20$ , $a_{8} = 80$ . Wtedy

R821Rni4w25Fr

$a_{7} = 50$
$a_{4} = 5$
$q = 2$ lub $q = - 2$

$a_{7} = 50$
Nie. Z warunku, jaki spełniają kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, mamy $a_{7}^{2} = a_{6} ∙ a_{8} = 20 ∙ 80 = 1600$ , czyli $a_{7} = 40$ lub $a_{7} = - 40$ .
$a_{4} = 5$
Tak. Ze wzoru na $n -$ ty wyraz ciągu geometrycznego mamy $a_{4} = a_{1} q^{3}$ , $a_{6} = a_{1} q^{5}$ , $a_{8} = a_{1} q^{7}$ . Zatem $a_{4} ∙ a_{8} = a_{1} q^{3} ∙ a_{1} q^{7} = a_{1}^{2} q^{10} = {(a_{1} q^{5})}^{2} = a_{6}^{2}$ , czyli ciąg $(a_{4}, a_{6}, a_{8})$ jest geometryczny. Stąd $20^{2} = a_{4} ∙ 80$ , czyli $a_{4} = \frac{400}{80} = 5$ .
$q = 2$ lub $q = - 2$
Tak. Zauważmy, że $a_{8} = a_{6} q^{2}$ , czyli $q^{2} = \frac{a_{8}}{a_{6}} = \frac{80}{20} = 4$ , czyli $q = 2$ lub $q = - 2$ . Ze wzoru na szósty wyraz ciągu, mamy $a_{6} = a_{1} q^{5}$ , czyli $a_{1} = \frac{a_{6}}{q^{5}}$ . Zatem $a_{1} = \frac{20}{2^{5}} = \frac{20}{32} = \frac{5}{8}$ lub $a_{1} = \frac{20}{{(- 2)}^{5}} = \frac{20}{- 32} = - \frac{5}{8}$ .

Ćwiczenie 8

Liczby $x - 1, 2 x + 2, 6 x + 6$ są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego. Wyznacz te liczby.

$(4, 12, 36)$

Liczby $x - 1, 2 x + 2, 6 x + 6$ są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, więc prawdziwa jest równość ${(2 x + 2)}^{2} = (x - 1) (6 x + 6)$ , czyli $4 x^{2} + 8 x + 4 = 6 x^{2} - 6 x + 6 x - 6$ . Otrzymaliśmy równanie kwadratowe $- x^{2} + 4 x + 5 = 0$ , które ma dwa rozwiązania $x_{1} = 5$ oraz $x_{2} = - 1$ . To oznacza, że mamy dwa ciągi $(4, 12, 36)$ oraz $(- 2, 0, 0)$ . Rosnący jest tylko ciąg pierwszy.

iTDlAqaSFo_d5e586

Ćwiczenie 9

Suma trzech wyrazów tworzących ciąg geometryczny jest równa $- 7$ , a ich iloczyn jest równy $27$ . Oblicz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.

$q = - 3$ oraz $a_{1} = 1$ lub $q = - \frac{1}{3}$ oraz $a_{1} = - 9$

Kolejne wyrazy ciągu geometrycznego dane są wzorami $a_{1}, a_{1} q, a_{1} q^{2}$ oraz $q \neq 0$ . Iloczyn tych trzech wyrazów jest równy $a_{1} ∙ a_{1} q ∙ a_{1} q^{2} = 27$ , czyli ${(a_{1} q)}^{3} = 27$ . Stąd $a_{1} q = 3$ . Suma wyrazów ciągu jest z kolei równa $a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} = - 7$ , więc $a_{1} + 3 + a_{1} q^{2} = - 7$ , a dalej $a_{1} + a_{1} q^{2} = - 10$ . To możemy zapisać w postaci $a_{1} + a_{1} q ∙ q = - 10$ , czyli $a_{1} + 3 ∙ q = - 10$ . Stąd $a_{1} = - 3 q - 10$ . Podstawiając w równaniu $a_{1} q = 3$ w miejsce $a_{1}$ wyrażenie $- 3 q - 10$ , otrzymujemy równanie kwadratowe z jedną niewiadomą $q$

(- 3 q - 10) q = 3

- 3 q^{2} - 10 q = 3

3 q^{2} + 10 q + 3 = 0

Równanie to ma dwa rozwiązania $q_{1} = - 3$ oraz $q_{2} = - \frac{1}{3}$ . To oznacza, że są dwa ciągi geometryczne spełniające podane w zadaniu warunki. Iloraz jednego z tych ciągów jest równy $q = - 3$ , a pierwszy wyraz jest równy $a_{1} = - 3 ∙ (- 3) - 10 = - 1$ . Iloraz drugiego z ciągów jest równy $q = - \frac{1}{3}$ , a pierwszy wyraz $a_{1} = - 3 ∙ (- \frac{1}{3}) - 10 = - 9$ .

Ćwiczenie 10

Udowodnij, że jeśli $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym, to dla każdej liczby całkowitej $n \geq 1$ prawdziwa jest równość $a_{n} a_{n + 3} = a_{n + 1} a_{n + 2} .$

Ponieważ ciąg $(a_{n})$ jest geometryczny, więc mamy $a_{n + 1} = a_{n} q$ , $a_{n + 2} = a_{n} q^{2}$ , $a_{n + 3} = a_{n} q^{3}$ . Obliczmy iloczyny $a_{n} a_{n + 3} = a_{n} ∙ a_{n} q^{3} = a_{n}^{2} q^{3}$ oraz $a_{n + 1} a_{n + 2} = a_{n} q ∙ a_{n} q^{2} = a_{n}^{2} q^{3}$ . Mamy więc $a_{n} a_{n + 3} = a_{n + 1} a_{n + 2},$ co było do udowodnienia.

classicmobile

Ćwiczenie 11

W ciągu geometrycznym pierwszy wyraz jest równy $3$ , a iloraz $\frac{1}{3}$ . Dwudziesty wyraz tego ciągu można zapisać wzorem

RrS7nZSqRbcqr

$a_{20} = 3 ∙ {(\frac{1}{3})}^{20}$
$a_{20} = 3 ∙ {(\frac{1}{3})}^{19}$
$a_{20} = \frac{1}{3} ∙ {(3)}^{20}$
$a_{20} = \frac{1}{3} ∙ {(3)}^{19}$

static

Ćwiczenie 11

W ciągu geometrycznym pierwszy wyraz jest równy $3$ , a iloraz $\frac{1}{3}$ . Dwudziesty wyraz tego ciągu można zapisać wzorem

RV58UHwU3FTsi

$a_{20} = 3 ∙ {(\frac{1}{3})}^{20}$
$a_{20} = 3 ∙ {(\frac{1}{3})}^{19}$
$a_{20} = \frac{1}{3} ∙ {(3)}^{20}$
$a_{20} = \frac{1}{3} ∙ {(3)}^{19}$

classicmobile

Ćwiczenie 12

Piąty wyraz rosnącego ciągu geometrycznego jest równy $5 \frac{1}{3}$ , a siódmy $21 \frac{1}{3}$ . Iloraz tego ciągu jest równy

R18CYb1eUlouG

$4$
$- 2$
$2$
$- 4$

static

Ćwiczenie 12

Piąty wyraz rosnącego ciągu geometrycznego jest równy $5 \frac{1}{3}$ , a siódmy $21 \frac{1}{3}$ . Iloraz tego ciągu jest równy

R1UamiCwIKM7B

$4$
$- 2$
$2$
$- 4$

classicmobile

Ćwiczenie 13

Który z ciągów jest geometryczny?

R13RJn8yKcowf

$\frac{3 + \sqrt{3}}{6}, \frac{1 + \sqrt{3}}{6}, \frac{3 + \sqrt{3}}{18}$
$\frac{1 + \sqrt{3}}{6}, \frac{2 + \sqrt{3}}{6}, \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$
$\frac{3 + \sqrt{3}}{3}, \frac{3 + \sqrt{3}}{6}, \frac{3 + \sqrt{3}}{18}$
$\frac{3 + \sqrt{3}}{6}, \frac{1 + \sqrt{3}}{9}, \frac{3 + \sqrt{3}}{18}$

static

Ćwiczenie 13

Który z ciągów jest geometryczny?

RYsBFtDGZWd9M

$\frac{3 + \sqrt{3}}{6}, \frac{1 + \sqrt{3}}{6}, \frac{3 + \sqrt{3}}{18}$
$\frac{1 + \sqrt{3}}{6}, \frac{2 + \sqrt{3}}{6}, \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$
$\frac{3 + \sqrt{3}}{3}, \frac{3 + \sqrt{3}}{6}, \frac{3 + \sqrt{3}}{18}$
$\frac{3 + \sqrt{3}}{6}, \frac{1 + \sqrt{3}}{9}, \frac{3 + \sqrt{3}}{18}$

classicmobile

Ćwiczenie 14

W ciągu geometrycznym mamy $a_{2} = \frac{3}{4}$ oraz $a_{5} = \frac{16}{9}$ . Wtedy

R1Ox0U5zXpEQk

$a_{1} ∙ a_{3} = \frac{4}{3}$
$a_{1} ∙ a_{3} = \frac{9}{16}$
$a_{1} ∙ a_{3} = 1$
$a_{1} ∙ a_{3} = \frac{1}{3}$

static

Ćwiczenie 14

W ciągu geometrycznym mamy $a_{2} = \frac{3}{4}$ oraz $a_{5} = \frac{16}{9}$ . Wtedy

R1ES6aa0YICbl

$a_{1} ∙ a_{3} = \frac{4}{3}$
$a_{1} ∙ a_{3} = \frac{9}{16}$
$a_{1} ∙ a_{3} = 1$
$a_{1} ∙ a_{3} = \frac{1}{3}$

Ćwiczenie 15

W ciągu geometrycznym dane są $a_{1} = 3$ oraz $a_{4} = 192$ . Oblicz iloraz tego ciągu.

$4$

Korzystając ze wzoru na czwarty wyraz ciągu geometrycznego, mamy $a_{4} = a_{1} ∙ q^{3}$ , czyli $192 = 3 q^{3}$ , i dalej $q^{3} = 64$ . Stąd wynika, że $q = 4$ .

Ćwiczenie 16

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_{n})$ , w którym $a_{3} = 1$ oraz $a_{4} = \frac{3}{4}$ . Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu.

$\frac{16}{9}$

Znając dwa kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, obliczamy iloraz tego ciągu $q = \frac{a_{4}}{a_{3}} = \frac{\frac{3}{4}}{1} = \frac{3}{4}$ . Korzystając ze wzoru na $n -$ ty wyraz ciągu geometrycznego, otrzymujemy $a_{3} = a_{1} q^{2}$ , czyli $1 = a_{1} {(\frac{3}{4})}^{2} = a_{1} \frac{9}{16}$ . Stąd $a_{1} = \frac{16}{9}$ .

Ćwiczenie 17

W ciągu geometrycznym $(a_{n})$ dane są wyrazy $a_{4} = \frac{45}{16}$ oraz $a_{6} = \frac{405}{4}$ . Wyznacz wzór ogólny tego ciągu.

$a_{n} = \frac{5 ∙ 6^{n - 1}}{384}$ lub $a_{n} = - \frac{5 ∙ {(- 6)}^{n - 1}}{384}$

Zauważmy, że

q^{2} = \frac{a_{6}}{a_{4}} = \frac{\frac{405}{4}}{\frac{45}{16}} = \frac{405}{4} ∙ \frac{16}{45} = 9 ∙ 4 = 36,

stąd $q = 6$ lub $q = - 6$ . Oznacza to, że są dwa ciągi geometryczne o podanych wyrazach. Czwarty wyraz ciągu geometrycznego jest równy $a_{4} = a_{1} q^{3}$ , stąd $a_{1} = \frac{a_{4}}{q^{3}}$ . Gdy $q = 6$ , to $a_{1} = \frac{\frac{45}{16}}{6^{3}} = \frac{5}{384}$ , więc wtedy ciąg $(a_{n})$ ma wzór ogólny postaci $a_{n} = \frac{5 ∙ 6^{n - 1}}{384}$ , a gdy $q = - 6$ , to wówczas

a_{1} = \frac{\frac{45}{16}}{(- {6)}^{3}} = - \frac{5}{384},

a wzór ogólny ma postać $a_{n} = - \frac{5 ∙ {(- 6)}^{n - 1}}{384}$ .

Ćwiczenie 18

Dany jest ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie $a_{1} = - 3$ oraz ilorazie $q = - 2$ . Którym wyrazem tego ciągu jest liczba $96$ ?

Korzystając ze wzoru na $n -$ ty wyraz ciągu geometrycznego, mamy $96 = a_{n} = a_{1} q^{n - 1} = (- 3) {(- 2)}^{n - 1}$ , czyli ${(- 2)}^{n - 1} = - 32$ , stąd $n - 1 = 5$ . Zatem $n = 6$ .

Ćwiczenie 19

Stosunek sumy trzech pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego do sumy wyrazów pierwszego i trzeciego jest równy $\frac{3}{5}$ . Oblicz iloraz tego ciągu.

$- 2$ lub $- \frac{1}{2}$

Ze wzoru na $n$ -ty wyraz ciągu otrzymujemy ${a_{2} = a}_{1} q$ oraz $a_{3} = a_{1} q^{2}$ . Opisany w zadaniu stosunek jest równy $\frac{a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2}}{a_{1} + a_{1} q^{2}} = \frac{3}{5}$ , czyli $\frac{1 + q + q^{2}}{1 + q^{2}} = \frac{3}{5}$ . Stąd, z własności proporcji, otrzymujemy równanie $5 + 5 q + 5 q^{2} = 3 + 3 q^{2}$ . Otrzymane równanie kwadratowe $2 q^{2} + 5 q + 2 = 0$ ma dwa rozwiązania $q = - 2$ oraz $q = - \frac{1}{2}$ .

iTDlAqaSFo_d5e953

Ćwiczenie 20

Jaką liczbę trzeba dodać do każdej z liczb: $- 2, 2, 22$ , żeby otrzymane liczby były kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego?

$3$

Mamy wyznaczyć taką liczbę $x$ , dla której ciąg $(- 2 + x, 2 + x, 22 + x)$ jest geometryczny. Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy równanie ${(2 + x)}^{2} = (x - 2) (22 + x)$ , które jest równoważne równaniu $16 x = 48$ . Stąd $x = 3$ .

Ćwiczenie 21

Ray6qveio0zil1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 22

Wykaż, że jeżeli $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym o wyrazach różnych od zera, to każdy z ciągów $(b_{n})$ i $(c_{n})$ określonych wzorami $b_{n} = \frac{2}{a_{n}}$ oraz $c_{n} = a_{3 n}$ też jest geometryczny.

Ponieważ ciąg $(a_{n})$ jest geometryczny, więc $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = q$ , gdzie $q$ jest ilorazem tego ciągu. Zbadajmy, jak wygląda iloraz kolejnych dowolnych wyrazów ciągu $b_{n}$ i $c_{n}$ .

\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{\frac{2}{a_{n + 1}}}{\frac{2}{a_{n}}} = \frac{2}{a_{n + 1}} ∙ \frac{a_{n}}{2} = \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} = \frac{1}{q},

a więc iloraz jest liczbą stałą, niezależną od $n$ . Zatem ciąg $(b_{n})$ jest geometryczny, a jego iloraz jest równy $\frac{1}{q}$

\frac{c_{n + 1}}{c_{n}} = \frac{a_{3 (n + 1)}}{a_{3 n}} = \frac{a_{3 n + 3}}{a_{3 n}} = \frac{a_{1} q^{3 n + 2}}{a_{1} q^{3 n - 1}} = q^{3},

więc iloraz jest liczbą stałą, niezależną od $n$ . Zatem ciąg $(c_{n})$ jest geometryczny, a jego iloraz jest równy $q^{3}$ .

Ćwiczenie 23

Znajdź $x$ , wiedząc, że

ciąg $(2, x, 98)$ jest geometryczny. Oblicz iloraz tego ciągu.
ciąg $(2 + \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}, x)$ jest geometryczny. Oblicz iloraz tego ciągu.

$x = 14$ i $q = 7$ lub $x = - 14$ i $q = - 7$
$x = 2$ i $q = \sqrt{3} - 1$

Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy warunek $x^{2} = 2 ∙ 98 = 196$ , stąd $x = 14$ lub $x = - 14$ . Oznacza to, że są dwa takie ciągi geometryczne. Gdy $x = 14$ , to wtedy iloraz tego ciągu jest równy $q = \frac{14}{2} = 7$ , a gdy $x = - 14$ , to iloraz ciągu jest równy $q = \frac{- 14}{2} = - 7$ .
sposób $I$
Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy równanie ${(1 + \sqrt{3})}^{2} = (2 + \sqrt{3}) x$ , stąd $x = \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{(2 + \sqrt{3})} = \frac{1 + 2 \sqrt{3} + 3}{2 + \sqrt{3}} = \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}} = 2$ . Wtedy iloraz ciągu jest równy $q = \frac{2}{1 + \sqrt{3}} = \frac{2 (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})} = \frac{2 - 2 \sqrt{3}}{1 - 3} = \sqrt{3} - 1$ .

sposób $II$
Obliczamy iloraz ciągu geometrycznego $q = \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{(1 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = \frac{2 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} - 3}{4 - 3} = \sqrt{3} - 1$ . Trzeci wyraz ciągu jest więc równy $x = a_{2} q = (1 + \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3} + 3 - 1 - \sqrt{3} = 2$ .

Ćwiczenie 24

Pomiędzy liczby $432$ oraz $250$ wstaw takie dwie liczby $a$ i $b$ , żeby ciąg $(432, a, b, 250)$ był geometryczny.

$a = 360$ oraz $b = 300$

Niech $q$ oznacza iloraz danego ciągu. Ponieważ $250$ jest czwartym wyrazem ciągu geometrycznego, więc $250 = a_{1} q^{3} = 432 q^{3}$ , stąd $q^{3} = \frac{250}{432} = \frac{125}{216}$ , czyli $q = \frac{5}{6}$ . Drugi wyraz tego ciągu jest zatem równy $a = a_{1} q = 432 ∙ \frac{5}{6} = 360$ , a trzeci $b = aq = 360 ∙ \frac{5}{6} = 300$ .

Ćwiczenie 25

Ciąg geometryczny składa się z ośmiu wyrazów. Suma pierwszych sześciu wyrazów jest równa $1$ , a suma sześciu ostatnich jest równa $16$ . Oblicz iloraz tego ciągu.

$4$ lub $- 4$

Suma pierwszych sześciu wyrazów jest równa $1$ , czyli $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = 1$ . To równanie możemy zapisać w postaci $a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} + a_{1} q^{3} + a_{1} q^{4} + a_{1} q^{5} = 1$ , czyli

a_{1} (1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4} + q^{5}) = 1 .

Suma sześciu ostatnich wyrazów jest równa $16$ , a więc $a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7} + a_{8} = 16$ . To równanie możemy zapisać, podobnie jak poprzednie, w postaci
$a_{1} q^{2} + a_{1} q^{3} + a_{1} q^{4} + a_{1} q^{5} + a_{1} q^{6} + a_{1} q^{7} = 16,$
czyli

a_{1} q^{2} (1 + q + q^{2} + a_{1}^{3} + q^{4} + q^{5}) = 16

Z pierwszego równania wynika, że $a_{1} \neq 0$ i $1 + q + q^{2} + \dots + q^{5} \neq 0$ , gdyż w przeciwnym razie równanie $a_{1} (1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4} + q^{5}) = 1$ byłoby sprzeczne (lewa jego strona byłaby równa $0$ , a prawa byłaby różna od $0$ ). Możemy więc podzielić przez siebie lewe i prawe strony otrzymanych równań. Stąd otrzymujemy $q^{2} = 16$ , stąd $q = 4$ lub $q = - 4$ .

Ćwiczenie 26

Wyznacz pierwszy wyraz oraz iloraz ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{4} + 17 a_{2} = 1$ oraz $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 1$ .

$q = 2$ i $a_{1} = \frac{1}{42}$ lub $q = - 2$ i $a_{1} = - \frac{1}{42}$

Ze wzoru na $n$ -ty wyraz mamy $a_{1} q^{3} + 17 a_{1} q = 1$ oraz $a_{1} q + a_{1} q^{3} + a_{1} q^{5} = 1$ . Rozwiążmy układ równań

\{\begin{matrix} a_{1} q (q^{2} + 17) = 1 \\ a_{1} q (1 + q^{2} + q^{4}) = 1 \end{matrix}

Z pierwszego równania wynika, że $a_{1} \neq 0, q \neq 0$ oraz $q^{2} + 17 \neq 0$ , gdyż w przeciwnym razie równanie byłoby sprzeczne (lewa jego strona byłaby równa $0$ , a prawa różna od $0$ ). Dzieląc lewą stronę drugiego równania przez lewą stronę pierwszego i prawą drugiego przez prawą pierwszego, otrzymujemy

\frac{1 + q^{2} + q^{4}}{q^{2} + 17} = 1

Stąd

1 + q^{2} + q^{4} = q^{2} + 17

q^{4} = 16

$q = 2$ lub $q = - 2$ .
Gdy $q = 2$ , to $a_{1} ∙ 2 ∙ (4 + 17) = 1$ , a więc $a_{1} = \frac{1}{42}$ . Gdy natomiast $q = - 2$ , to $a_{1} ∙ (- 2) ∙ (4 + 17) = 1$ , czyli $a_{1} = - \frac{1}{42}$ .

Ćwiczenie 27

Wykaż, że suma kwadratów trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, które są liczbami całkowitymi różnymi od zera, jest podzielna przez sumę tych wyrazów.

Niech $(a, b, c)$ będzie ciągiem geometrycznym, w którym wyrazy $a, b$ i $c$ to liczby całkowite różne od zera. Z własności ciągu geometrycznego wynika, że $b^{2} = ac$ . Suma kwadratów tych wyrazów jest więc równa

a^{2} + b^{2} + c^{2} = a^{2} + ac + c^{2} = {(a + c)}^{2} - ac = {(a + c)}^{2} - b^{2} = (a + c + b) (a + c - b)

czyli jest podzielna przez $a + b + c$ , ponieważ $a + c - b$ jest liczbą całkowitą.

Ćwiczenie 28

Wykaż, że liczby $5$ , $6$ i $7$ nie mogą być wyrazami tego samego ciągu geometrycznego.

Przypuśćmy, że liczby $5$ , $6$ i $7$ są pewnymi wyrazami tego samego ciągu geometrycznego o ilorazie $q$ . Możemy przyjąć, że jest to ciąg rosnący. Zatem istnieją takie dodatnie liczby całkowite $n$ , $m$ , że $6 = 5 q^{n}$ , $7 = 5 q^{m}$ oraz $n < m$ . Podnosząc obie strony pierwszej równości do potęgi $m$ oraz obie strony drugiej równości do potęgi $n$ , otrzymujemy $6^{m} = 5^{m} q^{m + n}$ oraz $7^{n} = 5^{n} q^{m + n}$ . Stąd $q^{m + n} = \frac{6^{m}}{5^{m}}$ oraz $q^{m + n} = \frac{7^{n}}{5^{n}}$ . Porównując prawe strony otrzymanych równań, mamy $\frac{6^{m}}{5^{m}} = \frac{7^{n}}{5^{n}}$ , stąd $5^{m - n} = \frac{6^{m}}{7^{n}}$ . Otrzymujemy sprzeczność, ponieważ $5^{m - n}$ jest liczbą całkowitą, a liczba $\frac{6^{m}}{7^{n}}$ nie jest całkowita.

Ciągi – suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Suma wyrazów ciągu geometrycznego

Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny