ia7BnhauDm_d5e82

Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Przykład 1

RN8JQHqOsbePx1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja ilustruje sumę S z indeksem dolnym n początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego a z indeksem dolnym n. Suma S z indeksem dolnym n początkowych n = ułamek w liczniku a z indeksem dolnym jeden plus a z indeksem dolnym n mianownik 2 koniec ułamka razy n.

Przykład 2

Podobną metodę możemy zastosować do zsumowania $n$ początkowych wyrazów dowolnego ciągu arytmetycznego. Oznaczmy symbolem $S_{n}$ sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ , czyli $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ . Zapiszmy zatem sumę $S_{n}$ dwukrotnie: raz składniki zapiszemy od pierwszego do ostatniego, drugi raz odwrotnie, czyli

S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n - 1} + a_{n}

S_{n} = a_{n} + a_{n - 1} + \dots + a_{2} + a_{1}

Każdy wyraz ciągu $(a_{n})$ możemy zapisać w postaci $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ , więc

\begin{matrix} {S_{n} = a}_{1} + (a_{1} + r) + \dots + (a_{1} + (n - 2) r) + (a_{1} + (n - 1) r) \\ S_{n} = (a_{1} + (n - 1) r) + (a_{1} + (n - 2) r) + \dots + (a_{1} + r) + a_{1} \end{matrix}

Zauważ, że w każdej kolumnie otrzymujemy sumę $2 a_{1} + (n - 1) r$ , a to jest suma $a_{1} + a_{n}$ .
Ponieważ kolumn jest $n$ , więc $2 S_{n} = n ∙ (2 a_{1} + (n - 1) r) = n ∙ (a_{1} + a_{n})$ .
W ten sposób udowodniliśmy twierdzenie o sumie wyrazów ciągu arytmetycznego.

O sumie wyrazów ciągu arytmetycznego

Twierdzenie: O sumie wyrazów ciągu arytmetycznego

Suma $S_{n}$ początkowych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ jest równa $S_{n} = \frac{2 a_{1} + (n - 1) r}{2} ∙ n = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} ∙ n$ .

Przykład 3

Oblicz sumę $1 + 2 + 3 + . . . + 100$ .
Sumowane liczby tworzą ciąg arytmetyczny, w którym $a_{1} = 1$ oraz $a_{100} = 100$ . Mamy więc

S_{100} = \frac{1 + 100}{2} ∙ 100 = 5050

Przykład 4

Oblicz sumę stu początkowych liczb naturalnych, które podzielone przez $3$ dają resztę $2$ .
Pierwszą liczbą naturalną, która podzielone przez $3$ daje resztę $2$ jest $2$ , drugą $5$ , trzecią $8$ . Liczby te tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $3$ . Suma początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

S_{100} = \frac{2 a_{1} + 99 r}{2} ∙ 100 = \frac{2 ∙ 2 + 99 ∙ 3}{2} ∙ 100 = 15050 .

Przykład 5

Rozwiąż równanie $3 + 7 + 11 + \dots + (4 n - 1) = 595$ z niewiadomą $n$ .
Liczby, które sumujemy po lewej stronie równania, są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie $a_{1} = 3$ , różnicy $r = 4$ . Suma ta składa się z $n$ wyrazów. Ponieważ $n$ jest liczbą wyrazów, więc jest liczbą całkowitą dodatnią. Ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego mamy

S_{n} = \frac{2 ∙ 3 + (n - 1) 4}{2} ∙ n = 3 n + 2 n (n - 1) = 2 n^{2} + n

Z treści zadania wynika, że

2 n^{2} + n = 595

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe $2 n^{2} + n - 595 = 0$ , które ma dwa rozwiązania $n_{1} = - 17,5$ oraz $n_{2} = 17$ . Tylko druga z liczb jest całkowita dodatnia. Zatem rozwiązaniem równania jest liczba $17$ .

Przykład 6

Liczby $9, 5, 1$ są w podanej kolejności trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ . Oblicz sumę $a_{10} + a_{11} + a_{12} + \dots + a_{30}$ .
Pierwszy wyraz ciągu $(a_{n})$ jest równy $a_{1} = 9$ , a różnica ciągu jest równa $r = a_{2} - a_{1} = 5 - 9 = - 4$ .

sposób $I$

Zauważmy, że

a_{10} + a_{11} + a_{12} + \dots + a_{30} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{9} + a_{10} + a_{11} + a_{12} + \dots + a_{30} - (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{9}) = S_{30} - S_{9}

Ponieważ

S_{30} = \frac{2 a_{1} + 29 r}{2} ∙ 30 = (18 - 116) ∙ 15 = - 1470

oraz

S_{9} = \frac{2 a_{1} + 8 r}{2} ∙ 9 = \frac{18 - 32}{2} ∙ 9 = - 63,

więc

a_{10} + a_{11} + a_{12} + \dots + a_{30} = - 1470 + 63 = - 1407

sposób $II$

Możemy zauważyć, że wyrazy $a_{10}, a_{11}, a_{12}, \dots, a_{30}$ , które mamy zsumować, są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego $(b_{n})$ , który składa się z $21$ wyrazów i w którym

b_{1} = a_{10} = a_{1} + 9 r = - 27

oraz

b_{21} = a_{30} = a_{1} + 29 r = - 107

Suma $21$ początkowych wyrazów tego ciągu jest więc równa

S_{21} = \frac{b_{1} + b_{21}}{2} ∙ 21 = \frac{- 27 - 107}{2} ∙ 21 = - 1407

ia7BnhauDm_d5e268

Ćwiczenie 1

ROaiRUfuhp6Jo1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Suma kolejnych $100$ liczb naturalnych jest równa $7250$ . Jakie to liczby?

$23, 24, . . . 122$

Kolejne liczby naturalne są wyrazami ciągu arytmetycznego, w którym różnica jest równa $1$ . Oznaczmy pierwszą z szukanych liczb, a więc pierwszy wyraz tego ciągu przez $a_{1}$ . Suma $100$ początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

S_{100} = \frac{2 a_{1} + 99 ∙ 1}{2} ∙ 100 = (2 a_{1} + 99) ∙ 50

Z treści zadania wynika, że ta suma jest równa $7250$ . Otrzymujemy zatem równanie

(2 a_{1} + 99) ∙ 50 = 7250

stąd $a_{1} = 23$ . Kolejne wyrazy tego ciągu są równe $a_{2} = 24$ , $a_{3} = 25, \dots, a_{100} = 122$ .

classicmobile

Ćwiczenie 3

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RG2hrDW4pGFJJ

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

Suma $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego o wyrazie ogólnym $a_{n} = 2 n - 7$ jest równa $352$ . Ciąg składa się z $22$ wyrazów.
Suma $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego o wyrazie ogólnym $a_{n} = 2 n - 7$ dla $n \geq 1$ jest równa $352$ . Ciąg składa się z $22$ wyrazów.

Fałsz. $a_{1} = 5 - 3 ∙ 1 = 2$ , $a_{40} = 5 - 3 ∙ 40 = - 115$ . Obliczamy szukaną sumę $S_{40} = \frac{a_{1} + a_{40}}{2} ∙ 40 = (2 - 115) ∙ 20 = - 2260$ .
Prawda. Sprawdzimy, czy suma $22$ początkowych wyrazów ciągu określonego wzorem $a_{n} = 2 n - 7$ jest równa $352$ . Wykorzystując podany wzór, obliczamy $a_{1} = 2 ∙ 1 - 7 = - 5$ , $a_{22} = 2 ∙ 22 - 7 = 37$ . Zatem suma $22$ początkowych wyrazów ciągu jest równa

S_{22} = \frac{a_{1} + a_{22}}{2} ∙ 22 = (a_{1} + a_{22}) ∙ 22 = (- 5 + 37) ∙ 8 = 352

Ćwiczenie 4

Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez $3$ .

$165 150$

Mamy policzyć sumę $102 + 105 + 108 + . . . + 999$ . Jest to suma ciągu arytmetycznego o różnicy $r = 3$ , pierwszym wyrazie $a_{1} = 102$ i ostatnim wyrazie $a_{n} = 999$ . Wyznaczmy liczbę wyrazów ciągu. Ponieważ $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ , więc $999 = 102 + 3 (n - 1)$ , stąd $n = 300$ . Poszukiwana suma jest równa

S_{300} = \frac{a_{1} + a_{300}}{2} ∙ 300 = (102 + 999) ∙ 150 = 165150

Ćwiczenie 5

Długości kolejnych boków pewnego wielokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $5$ . Najdłuższy bok wielokąta ma długość $28$ , a obwód wielokąta jest równy $93$ . Ile boków ma ten wielokąt?

$6$

Niech $n$ oznacza liczbę boków wielokąta, którego boki, od najkrótszego do najdłuższego, mają długości: $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$ . Różnica ciągu $(a_{n})$ jest równa $r = 5$ , ostatni wyraz jest równy $a_{n} = 28$ , natomiast suma wszystkich wyrazów, a więc obwód wielokąta, jest równa $S_{n} = 93$ . Mamy więc układ równań

\{\begin{matrix} a_{1} + (n - 1) ∙ 5 = 28 \\ \frac{2 a_{1} + (n - 1) ∙ 5}{2} ∙ n = 93 \end{matrix}

\{\begin{matrix} a_{1} = 33 - 5 n \\ [2 (33 - 5 n) + 5 n - 5] n = 186 \end{matrix}

\{\begin{matrix} a_{1} = 33 - 5 n \\ - 5 n^{2} + 61 n - 186 = 0 \end{matrix}

Równanie $- 5 n^{2} + 61 n - 186 = 0$ ma dwa rozwiązania $n_{1} = 6,2$ oraz $n_{2} = 6$ . Ponieważ liczba wyrazów ciągu jest liczbą całkowitą dodatnią, więc $n = 6$ .

classicmobile

Ćwiczenie 6

Suma $n$ początkowych wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ jest równa $S_{n} = \frac{3 n^{2} - 13 n}{2}$ dla każdego $n \geq 1$ . Wtedy

RrJdkbUMgP8kZ

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

Różnica tego ciągu jest równa $3$
Piąty wyraz tego ciągu jest równy $5$

Piąty wyraz tego ciągu jest równy $5 .$
Zauważmy, że $a_{5} = S_{5} - S_{4} = \frac{3 ∙ 25 - 13 ∙ 5}{2} - \frac{3 ∙ 16 - 13 ∙ 4}{2} = 5 - (- 2) = 7$
Różnica tego ciągu jest równa $3$ .
Przekształcimy wzór na sumę pierwszych n wyrazów ciągu $S_{n} = \frac{3 n - 13}{2} ∙ n = \frac{3 (n - 1) - 10}{2} ∙ n = \frac{2 ∙ (- 5) + 3 (n - 1)}{2} ∙ n$ , stąd otrzymujemy $a_{1} = - 5$ oraz $r = 3$ .

Ćwiczenie 7

Różnica pewnego ciągu arytmetycznego jest równa $2$ , natomiast sumy $n$ oraz $n + 2$ jego początkowych wyrazów są równe $S_{n} = 176$ oraz $S_{n + 2} = 240$ . Oblicz $n$ .

$8$ lub $22$

Zauważmy, że $S_{n + 2} - S_{n} = a_{n + 1} + a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n + 1} + r = 2 a_{n + 1} + r$
Z danych z zadania mamy

240 - 176 = 2 a_{n + 1} + 2

stąd $a_{n + 1} = 31$ , czyli $a_{1} + nr = 31$ . Stąd $a_{1} = 31 - 2 n$ , gdyż $r = 2$ . Ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymujemy

S_{n} = \frac{{2 a}_{1} + (n - 1) r}{2} ∙ n = \frac{2 (31 - 2 n) + (n - 1) ∙ 2}{2} ∙ n = (30 - n) ∙ n

Ponieważ $S_{n} = 176$ , więc otrzymujemy równanie $(30 - n) ∙ n = 176$ , czyli $n^{2} - 30 n + 176 = 0$ . Równanie to ma dwa rozwiązania $n_{1} = 8$ oraz $n_{2} = 22$ , które są liczbami całkowitymi dodatnimi.

Ćwiczenie 8

R11zT1TW8cNPm1

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

Sumę pewnego ciągu arytmetycznego można zapisać wzorem:

2 n^{2} - 12 n

.

Połącz w pary.

a_{1}

a_{2}

a_{5}

a_{3}

a_{4}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ia7BnhauDm_d5e496

classicmobile

Ćwiczenie 9

W ciągu arytmetycznym $a_{1} = 5$ oraz $a_{30} = 9$ . Wtedy suma $S_{30} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{30}$ jest równa

RA2El9EvOwAlr

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

$270$
$210$
$1890$
$225$

static

Ćwiczenie 9

W ciągu arytmetycznym $a_{1} = 5$ oraz $a_{30} = 9$ . Wtedy suma $S_{30} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{30}$ jest równa

R6qNfOryBKrjw

OBIEKT MULTIMEDIALNY KLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE

Kliknij, aby rozpocząć

Wystąpił błąd

Spróbuj ponownie później

$270$
$210$
$1890$
$225$

Ćwiczenie 10

Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które podzielone przez $5$ dają resztę $2$ .

$981$

Mamy policzyć sumę $12 + 17 + 22 + . . . + 97$ . Zauważmy, że jest to suma wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy $r = 5$ . Zacznijmy od wyznaczenia liczby wyrazów tego ciągu. Ponieważ $a_{n} = 97$ , to ze wzoru na $n$ -ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy $a_{1} + (n - 1) r = 97$ , czyli $12 + (n - 1) ∙ 5 = 97$ . Stąd $5 n = 90$ , czyli $n = 18$ . Suma $18$ początkowych wyrazów tego ciągu jest zatem równa $S_{18} = \frac{12 + 97}{2} ∙ 18 = 981$ .

Ćwiczenie 11

Oblicz sumę wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych.

$494550$

Mamy obliczyć sumę następujących liczb: $100, 101, 102, \dots, 999$ . Jest to suma $900$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie równym $100$ , ostatnim równym $999$ . Zatem $S = \frac{100 + 999}{2} ∙ 900 = 494 550$ .

Ćwiczenie 12

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = 3$ oraz $r = 4$ . Wyznacz największe $n$ , dla którego $S_{n} < 80$ .

$6$

Suma $n$ początkowych wyrazów w danym ciągu arytmetycznym jest równa $S_{n} = \frac{2 a_{1} + (n - 1) r}{2} ∙ n = \frac{2 ∙ 3 + (n - 1) ∙ 4}{2} ∙ n$ . Ponieważ $S_{n} < 80$ , więc otrzymujemy nierówność $\frac{4 n + 2}{2} ∙ n < 80$ , czyli $2 n^{2} + n - 80 < 0$ . Wykresem funkcji kwadratowej $f (x) = 2 x^{2} + x - 80$ jest parabola, której ramiona zwrócone są do góry. Miejscami zerowymi tej funkcji są liczby $x_{1} = \frac{1 - \sqrt{641}}{4} \approx - 6,2$ oraz $x_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{641}}{4} \approx 6,1$ . Zatem liczby całkowite dodatnie $n$ , które spełniają tę nierówność, to: $1, 2, 3, 4, 5, 6$ . Największą liczbą $n$ , dla której $S_{n} < 80$ jest $6$ .

Ćwiczenie 13

W pewnym ciągu arytmetycznym $a_{9} = 11$ oraz $a_{14} = 1$ znajdź sumę początkowych dwudziestu jeden wyrazów tego ciągu.

$147$

Obliczamy wyraz dziewiąty i czternasty ze wzoru na $n$ -ty wyraz ciągu arytmetycznego. Otrzymujemy równania $a_{9} =$ $a_{1} + 8 r = 11$ oraz $a_{14} = a_{1} + 13 r = 1$ . Odejmując stronami od drugiego równania pierwsze, otrzymujemy $5 r = - 10$ , stąd $r = - 2$ . Stąd i z pierwszego równania $a_{1} = 11 - 8 ∙ (- 2) = 27$ .
Szukana suma jest równa

S_{21} = \frac{2 a_{1} + 20 r}{2} ∙ 21 = (27 - 20) ∙ 21 = 147

Ćwiczenie 14

Oblicz sumę piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, którego wzór ogólny jest postaci $a_{n} = \frac{2 n - 1}{5}$ .

$45$

Z podanego wzoru obliczamy wyraz pierwszy i piętnasty $a_{1} = \frac{2 ∙ 1 - 1}{5} = \frac{1}{5}$ , $a_{15} = \frac{2 ∙ 15 - 1}{5} = \frac{29}{5}$ . Szukana suma jest zatem równa $S_{15} = \frac{a_{1} + a_{15}}{2} ∙ 15 = \frac{\frac{1}{5} + \frac{29}{5}}{2} ∙ 15 = 45$ .

Ćwiczenie 15

Suma piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa $S_{15} = 135$ , a różnica tego ciągu jest równa $r = 3$ . Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu od wyrazu szesnastego do wyrazu trzydziestego.

$810$

Zauważmy, że $a_{16} = a_{1} + 15 r$ , $a_{17} = a_{2} + 15 r$ , $a_{18} = a_{3} + 15 r$ , … , $a_{30} = a_{15} + 15 r$ . Zatem

a_{16} + a_{17} + \dots + a_{30} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{15} + 15 ∙ 15 r = S_{15} + 225 ∙ 3 = 135 + 675 = 810

Ćwiczenie 16

Ile liczb trzeba wstawić między liczby $- 13$ oraz $8$ , aby otrzymać ciąg arytmetyczny, którego suma jest równa $- 25$ ?

$8$

Po wstawieniu $n - 2$ liczb otrzymujemy $n -$ wyrazowy ciąg arytmetyczny, w którym $a_{1} = - 13$ , $a_{n} = 8$ oraz $S_{n} = - 25 .$ Ponieważ suma $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem $S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} ∙ n$ , otrzymujemy równanie $\frac{- 13 + 8}{2} ∙ n = - 25$ , stąd $n = 10$ . Należy więc wstawić osiem wyrazów pomiędzy dane liczby.

ia7BnhauDm_d5e717

Ćwiczenie 17

Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego, w którym sumy ośmiu i trzynastu początkowych wyrazów są równe $S_{8} = - 2 \frac{2}{3}$ , $S_{13} = 6 \frac{1}{2}$ .

$a_{1} = - \frac{3}{2}$ , $r = \frac{1}{3}$

Stosując dwukrotnie wzór na sumę ciągu arytmetycznego, otrzymujemy układ równań

\{\begin{matrix} \frac{2 a_{1} + 7 r}{2} ∙ 8 = - \frac{8}{3} \\ \frac{2 a_{1} + 12 r}{2} ∙ 13 = \frac{13}{2} \end{matrix}

\{\begin{matrix} 6 a_{1} + 21 r = - 2 \\ 2 a_{1} + 12 r = 1 \end{matrix}

\{\begin{matrix} 6 a_{1} + 21 r = - 2 \\ - 6 a_{1} - 36 r = - 3 \end{matrix}

Po dodaniu stronami otrzymujemy $- 15 r = - 5$ , czyli $r = \frac{1}{3}$ . Stąd mamy $2 a_{1} = 1 - 4 = - 3$ , więc $a_{1} = - \frac{3}{2}$ .

Ćwiczenie 18

Rozwiąż równanie $4^{2} ∙ 4^{4} ∙ 4^{6} ∙ \dots ∙ 4^{2 n} = {0,25}^{- 30}$

$5$

Korzystając z własności iloczynu potęg o tej samej podstawie, zapisujemy lewą stronę rozważanego równania w postaci $4^{2 + 4 + 6 + \dots + 2 n}$ . Zauważmy, że $2 + 4 + 6 + \dots + 2 n$ jest sumą $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Zatem

2 + 4 + 6 + \dots + 2 n = \frac{2 + 2 n}{2} ∙ n = (n + 1) n

Prawa strona równania jest równa ${0,25}^{- 30} = {(\frac{1}{4})}^{- 30} = 4^{30}$ . Otrzymaliśmy więc $4^{(n + 1) n} = 4^{30}$ . Równanie jest równoważne równaniu $(n + 1) n = 30$ , czyli $n^{2} + n - 30 = 0$ . Równanie to ma dwa rozwiązania $n_{1} = - 6$ oraz $n_{2} = 5$ . Ponieważ liczba wyrazów ciągu jest dodatnią liczbą całkowitą, więc rozwiązaniem równania jest $n = 5$ .

Ćwiczenie 19

Wykaż, że $n + 2 n + 3 n + \dots + n^{2} = \frac{n^{2} (n + 1)}{2}$ .

Zauważmy, że suma po lewej stronie równania jest sumą kolejnych n wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym $a_{1} = n$ oraz $a_{n} = n^{2}$ . Zatem suma

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} ∙ n = \frac{n + n^{2}}{2} ∙ n = \frac{n^{2} + n^{3}}{2} = \frac{n^{2} (n + 1)}{2}

Ćwiczenie 20

Wyznacz sumę dwudziestu pięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ , wiedząc, że $a_{8} + a_{10} + a_{16} + a_{18} = 20$ .

$125$

Zauważmy, że trzynasty wyraz ciągu jest środkowym wyrazem sumy $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{25}$ . Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy

2 a_{13} = {a_{13 - 12} + a_{13 + 12} = a}_{1} + a_{25}

2 a_{13} = {a_{13 - 5} + a_{13 + 5} = a}_{8} + a_{18}

2 a_{13} = {a_{13 - 3} + a_{13 + 3} = a}_{10} + a_{16}

Stąd $a_{1} + a_{25} = a_{8} + a_{18} = a_{10} + a_{16}$ . Zatem $20 = (a_{8} + a_{18}) + (a_{10} + a_{16}) = 2 (a_{1} + a_{25})$ , stąd

a_{1} + a_{25} = 10

Szukana suma jest więc równa $S_{25} = \frac{a_{1} + a_{25}}{2} ∙ 25 = 5 ∙ 25 = 125$ .

Ćwiczenie 21

Wiedząc, że siódmy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy $0$ , oblicz sumę trzynastu pierwszych wyrazów tego ciągu.

$0$

Skorzystamy z własności ciągu arytmetycznego $a_{n} = \frac{a_{n + k} + a_{n - k}}{2}$ dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $k < n$ . Zatem $a_{7} = \frac{a_{1} + a_{13}}{2}$ . Ponieważ siódmy wyraz jest równy zero, więc $a_{1} + a_{13} = 0$ .
Suma trzynastu pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem $S_{13} = \frac{a_{1} + a_{13}}{2} ∙ 13 = \frac{0}{2} ∙ 13 = 0$ .

Ćwiczenie 22

Wykaż, że $100^{2} - 99^{2} + 98^{2} - 97^{2} + 96^{2} - 95^{2} + \dots + 4^{2} - 3^{2} + 2^{2} - 1^{2} = 5050$ .

Korzystając pięćdziesiąt razy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, możemy lewą stronę równości zapisać w postaci

100^{2} - 99^{2} + 98^{2} - 97^{2} + 96^{2} - 95^{2} + \dots + 4^{2} - 3^{2} + 2^{2} - 1^{2} =

(100 - 99) (100 + 99) + (98 - 97) (98 + 97) + (96 - 95) (96 + 95) + \dots + (4 - 3) (4 + 3) + (2 - 1) (2 + 1) =

1 ∙ 199 + 1 ∙ 195 + 1 ∙ 191 + \dots + 1 ∙ 7 + 1 ∙ 3 =

199 + 195 + 191 + \dots + 7 + 3 .

W ten sposób otrzymaliśmy sumę pięćdziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy $r = - 4$ . Zatem suma ta jest równa

S_{50} = \frac{a_{1} + a_{50}}{2} ∙ 50 = (199 + 3) ∙ 25 = 5050

Ciągi – własności ciągów arytmetycznych

Ciąg geometryczny

Ciągi – suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Suma wyrazów ciągu arytmetycznego