ikHgzbVvV3_d5e82

Własności ciągu arytmetycznego

Przykład 1

Rozważmy dowolny ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ określony dla $n > 1$ i dowolnie wybrany jego wyraz $a_{n}$ .
Poszukamy zależności pomiędzy wyrazem $a_{n}$ ciągu oraz wyrazami z nim sąsiadującymi, czyli wyrazem o numerze o jeden mniejszym $a_{n - 1}$ oraz wyrazem o numerze o jeden większym $a_{n + 1}$ . Zauważmy, że są to trzy kolejne wyrazy ciągu. Różnica pomiędzy kolejnymi dwoma wyrazami jest stała.
Mamy więc

a_{n} - a_{n - 1} = a_{n + 1} - a_{n}

stąd

a_{n} = \frac{a_{n + 1} + a_{n - 1}}{2}

Własności wyrazów ciągu arytmetycznego

Własność: Własności wyrazów ciągu arytmetycznego

Ciąg $(a_{n})$ jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny wyraz tego ciągu (poza pierwszym i ostatnim, jeśli ciąg jest skończony) jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich
$a_{n} = \frac{a_{n + 1} + a_{n - 1}}{2}$ dla $n > 1$
Niekiedy łatwiej korzystać z tej równości zapisanej w postaci

2 a_{n} = a_{n + 1} + a_{n - 1}

Przykład 2

Liczby $x - 2$ , $3$ , $x + 6$ są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz czwarty wyraz tego ciągu.
Korzystając z własności ciągu arytmetycznego, mamy $3 = \frac{x - 2 + x + 6}{2}$ , stąd $6 = 2 x + 4$ , czyli $x = 1$ . Zatem trzy pierwsze wyrazy tego ciągu to $- 1, 3, 7$ . Różnica ciągu jest równa $7 - 3 = 4$ . Czwarty wyraz ciągu jest zatem równy $a_{4} = 11$ .

RTdVlc6ZT7b5d1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 3

Sprawdź, czy ciąg $(\frac{1}{\sqrt{2} - 1}, \sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2} + 1})$ jest arytmetyczny.
Ponieważ $\frac{\frac{1}{\sqrt{2} - 1} + \frac{1}{\sqrt{2} + 1}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} + \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1}}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ , więc ten ciąg jest arytmetyczny.

Przykład 4

Wyznacz kilka początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ , wiedząc, że jego początkowe wyrazy spełniają warunki $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 12$ oraz $a_{1} ∙ a_{2} ∙ a_{3} = 28$ .
Ponieważ ${2 a}_{2} = a_{1} + a_{3}$ , to pierwsze równanie możemy zapisać w postaci ${3 a}_{2} = 12$ , stąd $a_{2} = 4$ . Ponieważ $a_{1} = a_{2} - r = 4 - r$ oraz $a_{3} = a_{2} + r = 4 + r,$ równanie $a_{1} ∙ a_{2} ∙ a_{3} = 28$ zapisujemy w postaci

4 (4 - r) (4 + r) = 28

$16 - r^{2} = 7$ , stąd $r = 3$ lub $r = - 3$ . Otrzymaliśmy więc dwa ciągi arytmetyczne postaci $(1, 4, 7, 10, \dots)$ oraz $(7, 4, 1, - 2, . . .)$ .

Rh45vNnFCWYhU1

Zauważmy, że twierdzenie możemy uogólnić. Wybierzmy dowolny wyraz $a_{n}$ , który nie jest pierwszym ani ostatnim wyrazem ciągu, a następnie całkowitą dodatnią liczbę $k < n$ . Mamy wówczas

a_{n} = a_{1} + (n - 1) r

a_{n + k} = a_{1} + (n + k - 1) r

a_{n - k} = a_{1} + (n - k - 1) r

Wtedy

\frac{a_{n + k} + a_{n - k}}{2} = \frac{a_{1} + (n + k - 1) r + a_{1} + (n - k - 1) r}{2} = \frac{2 a_{1} + 2 (n - 1) r}{2} = a_{1} + (n - 1) r = a_{n}

Możemy zatem sformułować twierdzenie.

Uogólnienie własności wyrazów ciągu arytmetycznego

Własność: Uogólnienie własności wyrazów ciągu arytmetycznego

Dla dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego $n > 1$ oraz dowolnej dodatniej liczby całkowitej $k < n$ mamy

a_{n} = \frac{a_{n - k} + a_{n + k}}{2}

Zauważmy, że wyrazy $a_{n - k}, a_{n}, a_{n + k}$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy $kr$ . Zatem twierdzenie to wynika także z twierdzenia o zależności pomiędzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

R1e4JOSxrhDwD1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D11SU2yUM

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Przykład 5

W pewnym ciągu arytmetycznym wyraz piąty jest równy $23$ , a wyraz piętnasty $37$ . Oblicz wyraz dziesiąty.

a_{10} = \frac{a_{5} + a_{15}}{2} = \frac{23 + 37}{2} = 30

ikHgzbVvV3_d5e226

Ćwiczenie 1

Jaką liczbę należy wpisać pomiędzy liczby $7$ i $20$ , żeby otrzymać trzywyrazowy ciąg arytmetyczny?

$13,5$
$a_{2} = \frac{7 + 20}{2} = 13,5$

Ćwiczenie 2

Liczby $a, b, 22$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym $a + b = 26$ . Oblicz $a$ i $b$ .

$a = 10$ , $b = 16$

Ponieważ ciąg jest arytmetyczny, to $b = \frac{a + 22}{2}$ . Otrzymujemy więc układ równań

\{\begin{matrix} a + b = 26 \\ - a + 2 b = 22 \end{matrix}

Stąd $3 b = 48$ , stąd $b = 16$ oraz $a = 26 - 16 = 10$ .

Ćwiczenie 3

R1Wn2KWI7VMOp1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Liczby $5 x - 3, x^{2} + 3 x, 3 x^{2} - 3$ są w podanej kolejności trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę tego ciągu.

$6$ lub $11$

Z twierdzenia o zależności pomiędzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego mamy

x^{2} + 3 x = \frac{5 x - 3 + 3 x^{2} - 3}{2}

2 x^{2} + 6 x - 5 x - 3 x^{2} + 6 = 0

- x^{2} + x + 6 = 0

Równanie to ma dwa rozwiązania $x_{1} = 3$ , $x_{2} = - 2$ , czyli trzy pierwsze wyrazy ciągu są równe $12, 18, 24$ lub $- 13, - 2, 9$ . Różnica pierwszego z tych ciągów jest równa $6$ , a drugiego $11$ .

Ćwiczenie 5

Dla pewnych liczb $x$ i $y$ wartości wyrażeń $x + 4 y, 3 x + 2 y, x + 2 y + 2, 3 x + y - 3$ są czterema początkowymi, kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ . Wyznacz liczby $x$ i $y$ , a następnie piąty wyraz tego ciągu.

$x = 3$ , $y = 5$ , $a_{5} = 7$

Ponieważ $x + 4 y, 3 x + 2 y, x + 2 y + 2$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to mamy zależność

2 (3 x + 2 y) = x + 4 y + x + 2 y + 2,

która po przekształceniu ma postać $2 x - y = 1$ .
Ponieważ

3 x + 2 y, x + 2 y + 2, 3 x + y - 3

są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to mamy zależność

2 (x + 2 y + 2) = 3 x + 2 y + 3 x + y - 3,

która po przekształceniu ma postać $- 4 x + y = - 7$ . Otrzymaliśmy więc układ równań:

\{\begin{matrix} 2 x - y = 1 \\ - 4 x + y = - 7 \end{matrix}

skąd po dodaniu równań stronami mamy $- 2 x = - 6$ , czyli $x = 3$ i $y = 5$ .
Cztery pierwsze wyrazy rozważanego ciągu arytmetycznego są równe $23, 19, 15, 11$ , a więc różnica tego ciągu jest równa $r = - 4$ , natomiast piąty wyraz to $7$ .

Ćwiczenie 6

Nieskończony ciąg liczbowy $(a_{n})$ określony jest wzorem $a_{n} = 3 - \frac{2}{n}$ . Wyznacz taką liczbę $x$ , dla której ciąg $(a_{3}, a_{9}, x)$ jest arytmetyczny.

$3 \frac{2}{9}$

Mamy $a_{3} = 2 \frac{1}{3}$ , $a_{9} = 2 \frac{7}{9}$ . Ponieważ ciąg $(a_{3}, a_{9}, x)$ jest arytmetyczny, $a_{9} = \frac{a_{3} + x}{2}$ , czyli $2 ∙ 2 \frac{7}{9} = 2 \frac{1}{3} + x$ . Ostatecznie $x = 3 \frac{2}{9}$ .

Ćwiczenie 7

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $m$ ciąg $(\frac{m + 4}{6}, \frac{m + 2}{4}, \frac{m + 1}{3})$ jest arytmetyczny.

Ciąg ten będzie arytmetyczny, jeżeli $\frac{m + 2}{4} = \frac{\frac{m + 4}{6} + \frac{m + 1}{3}}{2}$ , czyli $\frac{m + 2}{2} = \frac{m + 4}{6} + \frac{m + 1}{3}$ , więc $3 m + 6 = m + 4 + 2 m + 2$ , co jest równoważne równaniu tożsamościowemu $0 = 0$ . Zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej $m$ ciąg jest arytmetyczny.

Ćwiczenie 8

Liczby $5, a, 25$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Zatem $a$ jest równe

RifkoD8EhiYKx

$10$
$15$
$20$
$30$

ikHgzbVvV3_d5e435

Ćwiczenie 9

Jaką liczbę należy wstawić pomiędzy liczby $\sqrt{3} + 2$ oraz $3 \sqrt{3} - 4$ , żeby wraz z nimi utworzyła trzywyrazowy ciąg arytmetyczny?

$2 \sqrt{3} - 1$

$a_{2} = \frac{\sqrt{3} + 2 + 3 \sqrt{3} - 4}{2} = \frac{4 \sqrt{3} - 2}{2} = 2 \sqrt{3} - 1$

Ćwiczenie 10

Wyznacz liczbę $x$ , dla której liczby $x + 7, 2 x + 9, 3 x + 11$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.

$x \in R$

sposób $I$

Ciąg $(x + 7, 2 x + 9, 3 x + 11)$ jest arytmetyczny dla każdej liczby $x$ , która spełnia równanie $2 x + 9 = \frac{x + 7 + 3 x + 11}{2}$ , a więc gdy $4 x + 18 = 4 x + 18$ . To równanie jest tożsamościowe, więc spełnia je każda liczba rzeczywista $x$ . Oznacza to, że dla każdej liczby $x$ liczby $x + 7, 2 x + 9, 3 x + 11$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

sposób $II$

Zauważmy, że $(2 x + 9) - (x + 7) = x + 2$ oraz ( $3 x + 11) - (2 x + 9) = x + 2$ , co oznacza, że dla każdej wartości $x$ podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $x + 2 .$

Ćwiczenie 11

Liczby $6 x^{2} + 8, {2 x}^{2} + 5 x - 3, 7 - 7 x$ są w podanej kolejności trzema pierwszymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz $x$ .

$1,5$ lub $7$

Z twierdzenia o zależności pomiędzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego mamy

{2 x}^{2} + 5 x - 3 = \frac{6 x^{2} + 8 + 7 - 7 x}{2}

4 x^{2} + 10 x - 6 = 6 x^{2} - 7 x + 15

stąd otrzymujemy równanie kwadratowe $2 x^{2} - 17 x + 21 = 0$ mające dwa rozwiązania $x_{1} = 1,5$ oraz $x_{2} = 7$ .

Ćwiczenie 12

Ciąg $(\frac{1}{x + 1}, \frac{2 x + 1}{3 x}, \frac{x + 2}{x + 1})$ jest arytmetyczny dla pewnej liczby $x \in R </mo>\{- 1,0\}$ . Wyznacz tę liczbę.

$2$ lub $1$

Ciąg $(\frac{1}{x + 1}, \frac{2 x + 1}{3 x}, \frac{x + 2}{x + 1})$ jest arytmetyczny, więc między jego wyrazami zachodzi zależność

2 ∙ \frac{2 x + 1}{3 x} = \frac{1}{x + 1} + \frac{x + 2}{x + 1}

Stąd otrzymujemy
$\frac{4 x + 2}{3 x} = \frac{x + 3}{x + 1}$ . Z własności proporcji możemy to równanie zapisać w postaci

(4 x + 2) (x + 1) = 3 x (x + 3),

stąd

4 x^{2} + 4 x + 2 x + 2 = 3 x^{2} + 9 x,

więc $x^{2} - 3 x + 2 = 0 .$ Jest to równanie kwadratowe, które ma dwa rozwiązania $x_{1} = 2$ oraz $x_{2} = 1$ .

Ćwiczenie 13

Ciąg $(x + 3 y - 4, - x + y + 1, x + y, 3 x + 2 y, \dots)$ jest arytmetyczny. Wyznacz $x$ i $y$ oraz oblicz dwudziesty wyraz tego ciągu.

$x = 2$ , $y = - 1$ , $a_{20} = 52$

Ponieważ $x + 3 y - 4, - x + y + 1, x + y$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, więc mamy

2 (- x + y + 1) = x + 3 y - 4 + x + y,

co po przekształceniu daje równanie $2 x + y = 3$ .
Ponieważ $- x + y + 1, x + y, 3 x + 2 y$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, mamy

2 (x + y) = - x + y + 1 + 3 x + 2 y,

co po przekształceniu daje równanie $y = - 1$ .
Z pierwszego otrzymanego równania mamy zatem $x = 2$ .
Pierwsze wyrazy rozważanego ciągu arytmetycznego są więc równe $- 5, - 2, 1, 4$ , stąd różnica ciągu jest równa $r = 3$ . Dwudziesty wyraz wyliczamy za pomocą wzoru

a_{20} = a_{1} + 19 r = - 5 + 19 ∙ 3 = 52 .

Ćwiczenie 14

Znajdź wszystkie liczby dwucyfrowe $x$ , dla których liczba $x$ , podwojona cyfra jej jedności i podwojona cyfra jej dziesiątek są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

$14$ lub $28$

Oznaczmy cyfrę jedności szukanej liczby przez $a$ oraz cyfrę dziesiątek przez $b$ . Ponieważ $a$ i $b$ są cyframi oraz $x$ jest liczbą dwucyfrową, więc $a \in \{0,1, \dots, 9\}$ , $b \in \{1,2, \dots, 9\}$ . Mamy wtedy, że $x = 10 b + a$ . Szukany ciąg ma zatem postać $(10 b + a, 2 a, 2 b)$ . Z twierdzenia o trzech kolejnych wyrazach ciągu arytmetycznego otrzymujemy równanie $4 a = 10 b + a + 2 b$ , stąd $a = 4 b$ . Wypisane wyżej warunki dla liczb $a$ i $b$ spełniają tylko dwie pary rozwiązań tego równania $\{\begin{matrix} a = 4 \\ b = 1 \end{matrix}$ oraz $\{\begin{matrix} a = 8 \\ b = 2 \end{matrix}$ . Oznacza to, że istnieją dwie liczby o danej własności $14$ oraz $28 .$

Ćwiczenie 15

Wiedząc, że w pewnym ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ mamy $a_{4} = 1$ oraz $a_{9} = 17$ , wyznacz czternasty wyraz tego ciągu.

$33$

sposób I

Zauważmy, że $a_{9} = \frac{a_{9 - 5} + a_{9 + 5}}{2} = \frac{a_{4} + a_{14}}{2}$ , stąd $a_{14} = 2 a_{9} - a_{4} = 2 ∙ 17 - 1 = 33$ .

sposób $II$

Ponieważ $a_{9} - a_{4} = 5 r$ , mamy $r = \frac{16}{5}$ . Ze wzoru na czwarty wyraz ciągu $a_{4} = a_{1} + 3 r$ , czyli $1 = a_{1} + 3 ∙ \frac{16}{5}$ . Stąd $a_{1} = - \frac{43}{5}$ . Zatem $a_{14} = a_{1} + 13 r = - \frac{43}{5} + 13 ∙ \frac{16}{5} = \frac{165}{5} = 33$ .

Ćwiczenie 16

W pewnym ciągu arytmetycznym $a_{1} = 4$ oraz $a_{5} = 17$ . Znajdź $a_{2} + a_{3} + a_{4}$ .

$31,5$

sposób I

Z własności ciągu arytmetycznego $2 a_{3} = a_{2} + a_{4}$ , stąd mamy $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 3 a_{3}$ . Ponieważ $a_{3} = \frac{a_{3 - 2} + a_{3 + 2}}{2} = \frac{a_{1} + a_{5}}{2} = \frac{4 + 17}{2} = \frac{21}{2} = 10,5$ . Ostatecznie mamy więc $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 3 ∙ \frac{21}{2} = \frac{63}{2} = 31,5$ .

sposób $II$

Ze wzoru na piąty wyraz ciągu arytmetycznego mamy

a_{5} = a_{1} + 4 r = 4 + 4 r,

stąd $4 + 4 r = 17$ , czyli $r = \frac{13}{4}$ . Suma
$a_{2} + a_{3} + a_{4} = a_{1} + r + a_{1} + 2 r + a_{1} + 3 r = 3 a_{1} + 6 r = 3 ∙ 4 + 6 ∙ \frac{13}{4} = 31,5$ .

Ćwiczenie 17

Niech $a$ , $b$ , $c$ będą dowolnymi dodatnimi liczbami, takimi że ciąg $(a^{2}, b^{2}, c^{2})$ jest arytmetyczny. Udowodnij, że ciąg liczb $(\frac{1}{b + c}, \frac{1}{c + a}, \frac{1}{a + b})$ też jest arytmetyczny.

Pokażemy, że $\frac{2}{c + a} = \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + b}$ .
Prawa strona jest równa

P = \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + b} = \frac{2 b + a + c}{(b + c) (a + b)} = \frac{(2 b + a + c) (c + a)}{(b + c) (a + b) (c + a)} = \frac{(2 b + a + c) (c + a)}{(b + c) (a + b) (c + a)} = \frac{a^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 bc + 2 ac}{(b + c) (a + b) (c + a)}

Lewa strona jest równa

L = \frac{2}{c + a} = \frac{2 (b + c) (a + b)}{(b + c) (a + b) (c + a)} = \frac{2 b^{2} + 2 ab + 2 bc + 2 ac}{(b + c) (a + b) (c + a)}

Z założenia, że ciąg $(a^{2}, b^{2}, c^{2})$ jest arytmetyczny, wiemy, że $2 b^{2} = a^{2} + c^{2}$ , co kończy dowód.

Ciąg arytmetyczny

Ciągi – suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Ciągi – własności ciągów arytmetycznych

Własności ciągu arytmetycznego