ikHgzbVvV3_d5e82

Własności ciągu arytmetycznego

Przykład 1

Rozważmy dowolny ciąg arytmetyczny an określony dla n>1 i dowolnie wybrany jego wyraz an.
Poszukamy zależności pomiędzy wyrazem an ciągu oraz wyrazami z nim sąsiadującymi, czyli wyrazem o numerze o jeden mniejszym an-1 oraz wyrazem o numerze o jeden większym an+1. Zauważmy, że są to trzy kolejne wyrazy ciągu. Różnica pomiędzy kolejnymi dwoma wyrazami jest stała.
Mamy więc

an-an-1=an+1 -an

stąd

an=an+1+an-12
Własności wyrazów ciągu arytmetycznego
Własność: Własności wyrazów ciągu arytmetycznego

Ciąg an jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny wyraz tego ciągu (poza pierwszym i ostatnim, jeśli ciąg jest skończony) jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich
an=an+1+an-12 dla n>1
Niekiedy łatwiej korzystać z tej równości zapisanej w postaci

2an=an+1+an-1
Przykład 2

Liczby x-2, 3, x+6 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz czwarty wyraz tego ciągu.
Korzystając z własności ciągu arytmetycznego, mamy 3=x-2+x+62, stąd 6=2x+4, czyli x=1. Zatem trzy pierwsze wyrazy tego ciągu to -1, 3, 7. Różnica ciągu jest równa 7-3=4. Czwarty wyraz ciągu jest zatem równy a4=11.

RTdVlc6ZT7b5d1
E-podręczniki z matematyki
Przykład 3

Sprawdź, czy ciąg (12-1, 2,12+1) jest arytmetyczny.
Ponieważ 12-1+12+12=2+12-1+2-12-12=222=2, więc ten ciąg jest arytmetyczny.

Przykład 4

Wyznacz kilka początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego an, wiedząc, że jego początkowe wyrazy spełniają warunki a1+a2+a3=12 oraz a1a2a3=28.
Ponieważ 2a2=a1+a3, to pierwsze równanie możemy zapisać w postaci 3a2=12, stąd a2=4. Ponieważ a1=a2-r=4-r oraz a3=a2+r=4+r, równanie a1a2a3=28 zapisujemy w postaci

44-r4+r=28

16-r2=7, stąd r=3 lub r=-3. Otrzymaliśmy więc dwa ciągi arytmetyczne postaci (1, 4, 7, 10,) oraz (7, 4, 1, -2,...).

Rh45vNnFCWYhU1
E-podręczniki z matematyki

Zauważmy, że twierdzenie możemy uogólnić. Wybierzmy dowolny wyraz an, który nie jest pierwszym ani ostatnim wyrazem ciągu, a następnie całkowitą dodatnią liczbę k<n. Mamy wówczas

an=a1+n-1r
an+k=a1+n+k-1r
an-k=a1+n-k-1r

Wtedy

an+k+an-k2=a1+n+k-1r+a1+n-k-1r2=2a1+2n-1r2=a1+n-1r=an

Możemy zatem sformułować twierdzenie.

Uogólnienie własności wyrazów ciągu arytmetycznego
Własność: Uogólnienie własności wyrazów ciągu arytmetycznego

Dla dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego n>1 oraz dowolnej dodatniej liczby całkowitej k<n mamy

an=an-k+an+k2

Zauważmy, że wyrazy an-k, an,an+k są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy kr. Zatem twierdzenie to wynika także z twierdzenia o zależności pomiędzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

R1e4JOSxrhDwD1
Animacja prezentuje dwa punkty ciągu arytmetycznego o współrzędnych (1, 7) i (5, -1), które są pierwszym i piątym wyrazem ciągu. W kolejnych krokach należy: znaleźć średnią arytmetyczną danych wyrazów ciągu i zaznaczyć na wykresie trzeci wyraz ciągu, znaleźć średnią arytmetyczną pierwszego i trzeciego wyrazu ciągu i zaznaczyć na wykresie drugi wyraz ciągu, znaleźć średnią arytmetyczną trzeciego i piątego wyrazu ciągu i zaznaczyć na wykresie czwarty wyraz ciągu. Zauważamy, że punkty tworzą ciąg o wzorze ogólnym (a z indeksem dolnym n) =9 -2n.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 5

W pewnym ciągu arytmetycznym wyraz piąty jest równy 23, a wyraz piętnasty 37. Oblicz wyraz dziesiąty.

a10=a5+a152=23+372=30
ikHgzbVvV3_d5e226
A
Ćwiczenie 1

Jaką liczbę należy wpisać pomiędzy liczby 720, żeby otrzymać trzywyrazowy ciąg arytmetyczny?

A
Ćwiczenie 2

Liczby a,b,22 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym a+b=26. Oblicz ab.

A
Ćwiczenie 3
R1Wn2KWI7VMOp1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 4

Liczby 5x-3,x2+3x,3x2-3 są w podanej kolejności trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę tego ciągu.

A
Ćwiczenie 5

Dla pewnych liczb xy wartości wyrażeń x+4y, 3x+2y, x+2y+2, 3x+y-3 są czterema początkowymi, kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego (an). Wyznacz liczby xy, a następnie piąty wyraz tego ciągu.

A
Ćwiczenie 6

Nieskończony ciąg liczbowy an określony jest wzorem an=3-2n. Wyznacz taką liczbę x, dla której ciąg a3, a9, x jest arytmetyczny.

A
Ćwiczenie 7

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej m ciąg m+46,m+24,m+13 jest arytmetyczny.

A
Ćwiczenie 8

Liczby 5, a, 25 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Zatem a jest równe

RifkoD8EhiYKx
ikHgzbVvV3_d5e435
A
Ćwiczenie 9

Jaką liczbę należy wstawić pomiędzy liczby 3+2 oraz 33-4, żeby wraz z nimi utworzyła trzywyrazowy ciąg arytmetyczny?

A
Ćwiczenie 10

Wyznacz liczbę x, dla której liczby x+7,2x+9,3x+11 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.

A
Ćwiczenie 11

Liczby 6x2+8, 2x2+5x-3, 7-7x są w podanej kolejności trzema pierwszymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz x.

A
Ćwiczenie 12

Ciąg 1x+1,2x+13x,x+2x+1 jest arytmetyczny dla pewnej liczby xR</mo> -1,0. Wyznacz tę liczbę.

A
Ćwiczenie 13

Ciąg (x+3y-4, -x+y+1, x+y, 3x+2y, ) jest arytmetyczny. Wyznacz xy oraz oblicz dwudziesty wyraz tego ciągu.

A
Ćwiczenie 14

Znajdź wszystkie liczby dwucyfrowe x, dla których liczba x, podwojona cyfra jej jedności i podwojona cyfra jej dziesiątek są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

A
Ćwiczenie 15

Wiedząc, że w pewnym ciągu arytmetycznym (an) mamy a4=1 oraz a9=17, wyznacz czternasty wyraz tego ciągu.

A
Ćwiczenie 16

W pewnym ciągu arytmetycznym a1=4 oraz a5=17. Znajdź a2+a3+a4.

B
Ćwiczenie 17

Niech a, b, c będą dowolnymi dodatnimi liczbami, takimi że ciąg a2, b2, c2 jest arytmetyczny. Udowodnij, że ciąg liczb 1b+c, 1c+a, 1a+b też jest arytmetyczny.