Suma wyrazów ciągu geometrycznego

ilt8Dxv1rf_d5e87

Twierdzenie o sumie n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Twierdzenie: Twierdzenie o sumie n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Jeżeli $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q$ , to suma $S_{n}$ jego $n$ początkowych wyrazów jest równa
$S_{n} = a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$ dla $q \neq 1$ albo $S_{n} = n a_{1}$ dla $q = 1$ .

R1CZAVcA3WEe91

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = \frac{1}{2}$ oraz $q = 2$ .
Iloraz ciągu geometrycznego $(a_{n})$ jest różny od $1$ , więc suma $S_{10}$ jego dziesięciu początkowych wyrazów jest równa

S_{10} = a_{1} \frac{1 - q^{10}}{1 - q} = \frac{1}{2} ∙ \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = \frac{1}{2} ∙ \frac{1 - 2^{10}}{- 1} = \frac{1}{2} ∙ (2^{10} - 1) = \frac{1024 - 1}{2} = \frac{1023}{2} = 511 \frac{1}{2}

Przykład 2

Oblicz sumę wyrazów od ósmego do dwunastego ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = 3$ oraz $q = - 2$ .
Suma, którą należy obliczyć, to $a_{8} + a_{9} + \dots + a_{12}$ . Zrobimy to dwoma sposobami.

sposób $I$

Zauważmy, że wystarczy obliczyć sumy $S_{12}$ oraz $S_{7}$ , odpowiednio dwunastu i siedmiu początkowych wyrazów tego ciągu, a następnie od pierwszej z obliczonych sum odjąć drugą.

S_{12} = a_{1} \frac{1 - q^{12}}{1 - q} = 3 ∙ \frac{1 - {(- 2)}^{12}}{1 - (- 2)} = 3 ∙ \frac{1 - 2^{12}}{3} = 1 - 2^{12} = 1 - 4096 = - 4095

S_{7} = a_{1} \frac{1 - q^{7}}{1 - q} = 3 ∙ \frac{1 - {(- 2)}^{7}}{1 - (- 2)} = 3 ∙ \frac{1 + 2^{7}}{3} = 1 + 2^{7} = 1 + 128 = 129

Zatem

a_{8} + a_{9} + \dots + a_{12} = S_{12} - S_{7} = - 4095 - 129 = - 4224

sposób $II$

Zauważmy, że ciąg, którego kolejnymi wyrazami są $a_{8}, a_{9}, \dots, a_{12}$ , to pięciowyrazowy ciąg geometryczny, którego pierwszym wyrazem jest ósmy wyraz ciągu $(a_{n})$ , i którego iloraz jest taki sam, jak iloraz ciągu $(a_{n})$ czyli $q = - 2 .$ Zatem

a_{8} + a_{9} + \dots + a_{12} = a_{8} ∙ \frac{1 - q^{5}}{1 - q} = a_{1} q^{7} ∙ \frac{1 - q^{5}}{1 - q} = 3 ∙ {(- 2)}^{7} ∙ \frac{1 — {(- 2)}^{5}}{1 - (- 2)} = - 3 ∙ 128 ∙ \frac{1 + 2^{5}}{3} = - 128 ∙ 33 = - 4224

Przykład 3

Dany jest ciąg geometryczny $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = 27$ oraz $a_{4} = 1$ . Ile początkowych wyrazów tego ciągu trzeba dodać, żeby otrzymać $40 \frac{1}{3}$ ?
Na początek obliczmy iloraz tego ciągu. Ponieważ $a_{4} = a_{1} q^{3}$ , więc $q^{3} = \frac{a_{4}}{a_{1}} = \frac{1}{27}$ . Stąd $q = \frac{1}{3}$ . Pozostaje obliczyć $n$ , dla którego $S_{n} = 40 \frac{1}{3}$ . Ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego otrzymujemy

27 ∙ \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{n}}{1 - \frac{1}{3}} = 40 \frac{1}{3}

Równanie to przekształcamy równoważnie

27 ∙ \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{n}}{\frac{2}{3}} = \frac{121}{3}

{1 - (\frac{1}{3})}^{n} = \frac{121}{3 ∙ 27} ∙ \frac{2}{3}

{(\frac{1}{3})}^{n} = 1 - \frac{242}{243}

{(\frac{1}{3})}^{n} = \frac{1}{243}

{(\frac{1}{3})}^{n} = {(\frac{1}{3})}^{5}

Stąd $n = 5$ . Zatem należy dodać pięć początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ .

Przykład 4

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest określona wzorem $S_{n} = 3^{n + 1} - 3$ dla każdej liczby całkowitej $n \geq 1$ .

Oblicz czwarty wyraz ciągu $(a_{n})$ .
Udowodnij, że ciąg $(a_{n})$ jest geometryczny oraz oblicz iloraz tego ciągu.

Rozwiązanie

Zauważmy, że czwarty wyraz ciągu jest równy $S_{4} - S_{3}$ , czyli
$a_{4} = (3^{5} - 3) - (3^{4} - 3) = 3^{5} - 3^{4} = 3^{4} (3 - 1) = 81 ∙ 2 = 162$
Wyznaczmy wzór na n‑ty wyraz ciągu $(a_{n}) .$ Postępujemy podobnie jak w punkcie a). Dla każdej liczby całkowitej $n > 1$ otrzymujemy

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = (3^{n + 1} - 3) - (3^{n} - 3) = 3^{n + 1} - 3^{n} = 3^{n} (3 - 1) = 2 ∙ 3^{n} = 6 ∙ 3^{n - 1}

To oznacza, że $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym, w którym pierwszy wyraz jest równy $a_{1} = 6$ a iloraz $q = 3$ .

Przykład 5

Stosunek sumy ośmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego do sumy jego czterech początkowych wyrazów jest równy $82$ . Oblicz iloraz tego ciągu.
Trzeba zauważyć najpierw, że $q \neq 0$ . Gdyby $q = 0$ to $S_{8} = 8 a_{1}, S_{4} = 4 a_{1}$ , więc $\frac{S_{8}}{S_{4}} = \frac{8 a_{1}}{4 a_{1}} = 2 \neq 82$ . Wobec tego ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyznaczamy sumę ośmiu i sumę czterech jego początkowych wyrazów

S_{8} = a_{1} \frac{1 - q^{8}}{1 - q}, S_{4} = a_{1} \frac{1 - q^{4}}{1 - q}

Ich stosunek jest równy $82$ , zatem

82 = \frac{a_{1} \frac{1 - q^{8}}{1 - q}}{a_{1} \frac{1 - q^{4}}{1 - q}} = \frac{1 - q^{8}}{1 - q^{4}} = \frac{(1 - q^{4}) (1 + q^{4})}{1 - q^{4}} = 1 + q^{4}

Stąd $q^{4} = 81$ , czyli $q = 3$ lub $q = - 3$ .

ilt8Dxv1rf_d5e266

Ćwiczenie 1

Oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ określonego wzorem $a_{n} = 512 ∙ {(\frac{3}{2})}^{n}$ .

$37830$

Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy $a_{1} = 512 ∙ {(\frac{3}{2})}^{1} = 768$ , a iloraz jest równy $q = \frac{3}{2}$ . Możemy teraz obliczyć sumę ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu

S_{8} = a_{1} \frac{1 - q^{8}}{1 - q} = 768 ∙ \frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{8}}{1 - \frac{3}{2}} = 768 ∙ 2 ∙ ({(\frac{3}{2})}^{8} - 1) = 1536 ∙ (\frac{6561}{256} - 1) = 1536 ∙ \frac{6305}{256} = 37830 .

Ćwiczenie 2

Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{3} = - 4$ oraz $a_{6} = 32$ .

$341$

Ponieważ $a_{6} = a_{3} q^{3}$ , więc $32 = - 4 q^{3}$ , stąd $q^{3} = - 8$ , czyli $q = - 2$ . Trzeci wyraz tego ciągu jest równy $- 4$ , więc $a_{3} = a_{1} q^{2}$ , stąd $- 4 = a_{1} {(- 2)}^{2}$ . Zatem $a_{1} = - 1$ . Możemy teraz obliczyć sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu

S_{10} = a_{1} \frac{1 - q^{10}}{1 - q} = - 1 ∙ \frac{1 - {(- 2)}^{10}}{1 + 2} 341

Ćwiczenie 3

Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów o numerach parzystych ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = 3$ oraz $q = \frac{1}{2}$ .

$\frac{4095}{2048}$

Zauważmy najpierw, że jeżeli $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q$ , to wyrazy tego ciągu o numerach parzystych także tworzą ciąg geometryczny, którego pierwszym wyrazem jest $a_{2}$ oraz którego iloraz jest równy $q^{2}$ , gdyż $a_{2 n} = a_{1} q^{2 n - 1} = a_{1} q ∙ q^{2 n - 2} = a_{2} {(q^{2})}^{n - 1}$ . Zatem mamy obliczyć sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(b_{n})$ , w którym $b_{1} = a_{2} = 3 ∙ \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ oraz iloraz $q_{b} = q^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4}$ . Suma ta jest więc równa

S_{6} = b_{1} \frac{1 - q_{b}^{6}}{1 - q_{b}} = \frac{3}{2} ∙ \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{3}{2} ∙ \frac{4}{3} ∙ (1 - \frac{1}{4096}) = \frac{4095}{2048}

Ćwiczenie 4

Łamana o długości $1270 mm$ składa się z odcinków, z których pierwszy odcinek ma długość $640 mm$ , a każdy następny jest dwa razy krótszy od poprzedniego. Oblicz, z ilu odcinków składa się ta łamana.

Długości odcinków łamanej są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, w którym $a_{1} = 640$ oraz $q = \frac{1}{2}$ . Długość łamanej jest więc sumą $n$ początkowych wyrazów tego ciągu. Ponieważ $S_{n} = a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$ , więc otrzymujemy równanie $1270 = 640 ∙ \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{n}}{1 - \frac{1}{2}}$ , stąd $\frac{1270}{640} ∙ \frac{1}{2} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{n}$ , czyli $\frac{127}{128} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{n}$ . Stąd ${(\frac{1}{2})}^{n} = \frac{1}{128} = {(\frac{1}{2})}^{7}$ . Zatem $n = 7$ , czyli łamana składa się z siedmiu odcinków.

Ćwiczenie 5

Oblicz sumę $7$ wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = \frac{81}{8}$ oraz $q = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2059}{72}$

Suma $7$ pierwszych wyrazów ciągu jest równa $S_{7} = a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q} = \frac{81}{8} ∙ \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{7}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{81}{8} ∙ \frac{1 - \frac{128}{2187}}{\frac{1}{3}} = \frac{243}{8} ∙ \frac{2059}{2187} = \frac{2059}{72}$ .

Ćwiczenie 6

Oblicz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego $(a_{n})$ o ilorazie $q = \sqrt{2}$ , jeżeli suma $S_{8} = 30 + 30 \sqrt{2} .$

$2$

Przekształcając wzór na sumę pierwszych ośmiu wyrazów ciągu $S_{8} = a_{1} \frac{1 - q^{8}}{1 - q}$ , otrzymujemy $30 + 30 \sqrt{2} = a_{1} \frac{1 - {(\sqrt{2})}^{8}}{1 - \sqrt{2}}$ , stąd $a_{1} = \frac{30 (1 + \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})}{1 - 2^{4}} = \frac{30 (1 - 2)}{1 - 16} = \frac{30}{15} = 2$ .

Ćwiczenie 7

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego ${(a}_{n})$ jest równy $- 8$ , iloraz tego ciągu jest równy $\frac{1}{2}$ oraz suma pierwszych $n$ wyrazów jest równa $- 15 \frac{3}{4}$ .Wyznacz $n$ -ty wyraz tego ciągu geometrycznego.

$a_{6} = - \frac{1}{4}$

Przekształcając wzór na sumę pierwszych $n$ wyrazów $S_{n} = a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$ , otrzymujemy $- 15 \frac{3}{4} = - 8 ∙ \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{n}}{1 - \frac{1}{2}}$ , skąd kolejno

\frac{63}{4} = 16 ∙ (1 - {(\frac{1}{2})}^{n})

\frac{63}{64} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{n}

{(\frac{1}{2})}^{n} = \frac{1}{64} = {(\frac{1}{2})}^{6}

i ostatecznie $n = 6$ .
Szósty wyraz rozważanego ciągu obliczamy ze wzoru

a_{6} = a_{1} q^{5} = - 8 {∙ (\frac{1}{2})}^{5} = - \frac{1}{4}

Ćwiczenie 8

Ile wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , który jest dany wzorem ogólnym $a_{n} = {(- 2)}^{n + 1},$ trzeba zsumować, żeby otrzymać $- 340$ ?

$8$

Przekształcając wzór ogólny ciągu, otrzymujemy $a_{n} = {(- 2)}^{n + 1} = {(- 2)}^{2} ∙ {(- 2)}^{n - 1} = 4 ∙ {(- 2)}^{n - 1}$ , stąd możemy odczytać pierwszy wyraz tego ciągu $a_{1} = 4$ oraz iloraz $q = - 2$ .
Sumę $n$ pierwszych wyrazów ciągu obliczamy ze wzoru $S_{n} = a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$ , czyli $- 340 = 4 ∙ \frac{1 - {(- 2)}^{n}}{1 - (- 2)}$ , stąd kolejno

- 340 = \frac{4}{3} (1 - {(- 2)}^{n})

- 255 = 1 - {(- 2)}^{n}

{(- 2)}^{n} = 256 = {(- 2)}^{8}

Ostatecznie $n = 8$ . Po zsumowaniu pierwszych ośmiu wyrazów tego ciągu otrzymamy $- 340$ .

Ćwiczenie 9

W pewnym sześciowyrazowym ciągu geometrycznym suma wyrazów stojących na pozycjach nieparzystych jest równa $63,$ a suma wyrazów stojąca na pozycjach parzystych jest równa $126$ . Wyznacz szósty wyraz tego ciągu.

$a_{6} = 96$

Ponieważ ciąg jest geometryczny, więc ma postać

(a_{1}, a_{1} q, a_{1} q^{2}, a_{1} q^{3}, a_{1} q^{4}, a_{1} q^{5}) .

Wiemy, że suma wyrazów stojących na pozycjach nieparzystych wynosi

a_{1} + a_{1} q^{2} + a_{1} q^{4} = 63

oraz suma wyrazów stojących na pozycjach parzystych wynosi

a_{1} q + a_{1} q^{3} + a_{1} q^{5} = 126

Drugie równanie przekształcamy do postaci $q (a_{1} + a_{1} q^{2} + a_{1} q^{4}) = 126$ i wstawiając do niego wartość z pierwszego równania, otrzymujemy $q ∙ 63 = 126$ , stąd $q = 2$ .
Wstawiając wyliczony iloraz do równania $a_{1} + a_{1} q^{2} + a_{1} q^{4} = 63,$ mamy

a_{1} + {4 a}_{1} + {16 a}_{1} = 63,

czyli $21 a_{1} = 63$ i ostatecznie $a_{1} = 3$ .
Obliczamy szósty wyraz tego ciągu $a_{6} = a_{1} q^{5} = 3 ∙ 2^{5} = 96$ .

Ćwiczenie 10

Oblicz sumę wyrazów od szóstego do dziesiątego ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = 5$ oraz $q = 2$ .

$4960$

Suma, którą należy obliczyć, to $a_{6} + a_{7} + a_{8} + a_{9} + a_{10}$ . Obliczymy ją dwoma sposobami.

sposób $I$

Zauważmy, że wystarczy obliczyć sumy $S_{10}$ oraz $S_{5}$ odpowiednio dziesięciu i pięciu początkowych wyrazów tego ciągu, a następnie od pierwszej z obliczonych sum odjąć drugą.
$S_{10} = a_{1} \frac{1 - q^{10}}{1 - q} = 5 ∙ \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 5 ∙ \frac{2^{10} - 1}{1} = 5 (1024 - 1) = 5115$ $S_{5} = a_{1} \frac{1 - q^{5}}{1 - q} = 5 ∙ \frac{1 - 2^{5}}{1 - 2} = 5 ∙ \frac{2^{5} - 1}{1} = 5 (32 - 1) = 155$ .
Zatem

a_{6} + a_{7} + a_{8} + a_{9} + a_{10} = S_{10} - S_{5} = 5115 - 155 = 4960

sposób $II$

Zauważmy, że ciąg, którego kolejnymi wyrazami są $a_{6}, a_{7}, a_{8}, a_{9}, a_{10}$ , to pięciowyrazowy ciąg geometryczny, którego pierwszym wyrazem jest szósty wyraz ciągu $(a_{n})$ oraz którego iloraz jest taki sam, jak iloraz ciągu $(a_{n})$ , czyli $q = 2 .$ Zatem

a_{6} + a_{7} + a_{8} + a_{9} + a_{10} . = a_{6} ∙ \frac{1 - q^{5}}{1 - q} = a_{1} q^{5} ∙ \frac{1 - q^{5}}{1 - q} = 5 ∙ 2^{5} ∙ \frac{1 — 2^{5}}{1 - 2} = 5 ∙ 32 ∙ 31 = 4960

ilt8Dxv1rf_d5e575

Ćwiczenie 11

Wyznacz piąty wyraz ciągu geometrycznego, w którym $S_{2} = 21$ oraz $S_{3} = 129$ .

$a_{5} = 3888$ lub $a_{5} = \frac{3888}{49}$

Zauważmy, że sumę trzech pierwszych wyrazów możemy obliczyć jako sumę sumy dwóch pierwszych wyrazów i wyrazu trzeciego

S_{3} = S_{2} + a_{3} = S_{2} + a_{1} q^{2} = 21 + a_{1} q^{2},

stąd $129 = 21 + a_{1} q^{2}$ , czyli $a_{1} q^{2} = 108$ .
Sumę dwóch pierwszych wyrazów obliczamy jako

S_{2} = a_{1} + a_{1} q = a_{1} (1 + q),

czyli $a_{1} (1 + q) = 21$ . Zauważmy, że $a_{1} \neq 0$ oraz $1 + q \neq 0$ . Gdyby tak nie było, to ostatnie równanie byłoby sprzeczne (po lewej stronie byłoby $0$ , a po prawej stronie $21$ ). Dzieląc równanie $a_{1} q^{2} = 108$ stronami przez równanie $a_{1} (1 + q) = 21$ , otrzymujemy $\frac{a_{1} q^{2}}{a_{1} (1 + q)} = \frac{108}{21}$ , czyli $\frac{q^{2}}{1 + q} = \frac{36}{7}$ . Korzystając z własności proporcji, otrzymujemy równanie kwadratowe $7 q^{2} = 36 + 36 q$ , które przekształcamy do postaci $7 q^{2} - 36 q - 36 = 0$ . Równanie to ma dwa rozwiązania $q = - \frac{6}{7}$ lub $q = 6$ . Otrzymujemy więc dwa ciągi, pierwszy o ilorazie $q = - \frac{6}{7}$ i pierwszym wyrazie $a_{1} = \frac{108}{q^{2}} = \frac{108}{{(\frac{6}{7})}^{2}} = \frac{108 ∙ 49}{36} = 147$ oraz drugi o ilorazie $q = 6$ i pierwszym wyrazie $a_{1} = \frac{108}{q^{2}} = \frac{108}{36} = 3$ . Piąty wyraz jest równy w pierwszym ciągu

a_{5} = a_{1} q^{4} = 147 ∙ {(- \frac{6}{7})}^{4} = \frac{3 ∙ 1296}{49} = \frac{3888}{49}

w drugim ciągu

a_{5} = a_{1} q^{4} = 3 ∙ 6^{4} = 3888

Ćwiczenie 12

Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ o numerach nieparzystych, w którym $a_{1} = 7$ oraz $q = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{9555}{1024}$

Sześć pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego tworzy następujący ciąg

(a_{1}, a_{3}, a_{5}, a_{7}, a_{9}, a_{11}) = (a_{1}, a_{1} q^{2}, a_{1} q^{4}, a_{1} q^{6}, a_{1} q^{8}, a_{1} q^{10})

Zauważmy, że jest to też ciąg geometryczny $(b_{n})$ , o pierwszym wyrazie $b_{1} = a_{1} = 7$ oraz ilorazie równym

{Q = q}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4}

Obliczmy sumę tego ciągu

S_{6} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{6} = b_{1} \frac{1 - Q^{6}}{1 - Q} = 7 ∙ \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}} = 7 ∙ \frac{1 - \frac{1}{4096}}{\frac{3}{4}} = 7 ∙ \frac{4095}{4096} ∙ \frac{4}{3} = \frac{7 ∙ 1365}{1024} = \frac{9555}{1024}

Ćwiczenie 13

W pewnym ciągu suma $n$ początkowych wyrazów wyraża się wzorem $S_{n} = 4^{n + 1} - 4$ . Wykaż, że jest to ciąg geometryczny.

Wyznaczmy wzór na $n$ -ty wyraz ciągu $(a_{n}) .$ Zauważmy, że $n$ -ty wyraz ciągu, dla każdej liczby całkowitej $n > 1,$ jest równy

{a_{n} = S}_{n} - S_{n - 1} = (4^{n + 1} - 4) - (4^{n} - 4) = 4^{n + 1} - 4^{n} = 4^{n} (4 - 1) = 3 ∙ 4^{n} = 12 ∙ 4^{n - 1} .

To oznacza, że $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym, w którym pierwszy wyraz $a_{1} = 12$ i ilorazie $q = 4$ .

Ćwiczenie 14

Stosunek sumy dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego do sumy pierwszych pięciu wyrazów ciągu geometrycznego jest równy $33$ . Oblicz iloraz tego ciągu.

Ze wzoru na sumę pierwszych $n$ wyrazów ciągu geometrycznego liczymy opisane sumy

S_{10} = a_{1} \frac{1 - q^{10}}{1 - q}, S_{5} = a_{1} \frac{1 - q^{5}}{1 - q}

Ich stosunek jest równy

33 = \frac{a_{1} \frac{1 - q^{10}}{1 - q}}{a_{1} \frac{1 - q^{5}}{1 - q}} = \frac{1 - q^{10}}{1 - q^{5}} = \frac{(1 - q^{5}) (1 + q^{5})}{1 - q^{5}} = 1 + q^{5},

stąd $q^{5} = 32$ , czyli $q = 2$ .

Ćwiczenie 15

Wykaż, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ zachodzi równość
$(5 - 3) + (5^{2} - 3^{2}) + (5^{3} - 3^{3}) + \dots + (5^{n} - 3^{n}) = \frac{5^{n + 1} - 2 ∙ 3^{n + 1} + 1}{4}$ .

Zapisując podaną sumę w następujący sposób

(5 - 3) + (5^{2} - 3^{2}) + (5^{3} - 3^{3}) + \dots + (5^{n} - 3^{n}) = (5 + 5^{2} + 5^{3} + \dots + 5^{n}) - (3 + 3^{2} + 3^{3} + \dots + 3^{n}),

otrzymujemy różnicę sum pierwszych $n$ wyrazów dwóch ciągów geometrycznych.
W pierwszym ciągu $a_{1} = 5$ oraz $q = 5$ , czyli suma $n$ wyrazów tego ciągu wynosi $5 + 5^{2} + 5^{3} + \dots + 5^{n} = 5 ∙ \frac{1 - 5^{n}}{1 - 5}$ .
W drugim ciągu $a_{1} = 3$ oraz $q = 3$ , czyli suma $n$ wyrazów tego ciągu wynosi $3 + 3^{2} + 3^{3} + \dots + 3^{n} = 3 ∙ \frac{1 - 3^{n}}{1 - 3}$ .
Szukana różnica jest więc równa

5 ∙ \frac{1 - 5^{n}}{1 - 5} - 3 ∙ \frac{1 - 3^{n}}{1 - 3} = \frac{5 - 5^{n + 1}}{- 4} - \frac{3 - 3^{n + 1}}{- 2} = \frac{5^{n + 1} - 5}{4} + \frac{6 - 2 ∙ 3^{n + 1}}{4} = \frac{5^{n + 1} - 2 ∙ 3^{n + 1} + 1}{4}

Ćwiczenie 16

Uzasadnij, że suma wszystkich potęg liczby $3$ o wykładnikach naturalnych mniejszych od $10$ jest równa $\frac{3^{10} - 1}{2}$ .

Chcemy obliczyć sumę $3^{0} + 3^{1} + 3^{2} + \dots + 3^{9}$ . Zauważmy, że jest to suma dziesięciowyrazowego ciągu geometrycznego, w którym pierwszy wyraz jest równy $a_{1} = 1$ oraz $q = 3$ . Sumę tego ciągu obliczamy ze wzoru

S_{10} = a_{1} \frac{1 - q^{10}}{1 - q} = 1 ∙ \frac{1 - 3^{10}}{1 - 3} = \frac{3^{10} - 1}{2}

Ćwiczenie 17

Wiedząc, że w pewnym ciągu geometrycznym pierwszy wyraz jest równy $a_{1},$ ostatni wyraz jest równy $a_{n}$ oraz suma wszystkich $n$ wyrazów jest równa $S_{n}$ , wyznacz sumę odwrotności wyrazów tego ciągu.

$\frac{S_{n}}{a_{1} ∙ a_{n}}$

$S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} + \dots + a_{1} q^{n - 1}$ . Suma odwrotności wyrazów tego ciągu jest równa

\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{1} q} + \frac{1}{a_{1} q^{2}} + \dots + \frac{1}{a_{1} q^{n - 1}}

Wspólnym mianownikiem wszystkich ułamków jest $a_{1} q^{n - 1}$ i suma ma postać

\frac{q^{n - 1} + q^{n - 2} + \dots + q + 1}{a_{1} q^{n - 1}} = \frac{q^{n - 1} + q^{n - 2} + \dots + q + 1}{a_{n}}

Mnożąc licznik i mianownik przez $a_{1}$ , otrzymujemy $\frac{S_{n}}{a_{1} ∙ a_{n}}$ .

Ćwiczenie 18

Wykaż, że różnica liczb $\underset{2 n}{\underset{⏟}{11 . . . 1}} - \underset{n}{\underset{⏟}{22 . . . 2}}$ , gdzie w zapisie odjemnej występuje $2 n$ jedynek, a w zapisie odjemnika $n$ dwójek, jest kwadratem liczby naturalnej.

Liczbę, w zapisie której występuje $2 n$ jedynek, możemy zapisać jako sumę $10^{2 n - 1} + 10^{2 n - 2} + \dots + 10^{2} + 10 + 1$ . Jest to suma ciągu geometrycznego składającego się z $2 n$ wyrazów, w którym pierwszy wyraz $a_{1} = 1$ oraz iloraz $q = 10$ . Zapisując sumę takiego ciągu, otrzymujemy

\frac{1 - q^{2 n}}{1 - q} = \frac{1 - 10^{2 n}}{1 - 10} = \frac{1}{9} (10^{2 n} - 1)

Drugą z liczb, w zapisie której występuje n dwójek, możemy zapisać jako sumę $2 ∙ 10^{n} + 2 ∙ 10^{n - 1} + \dots + 2 ∙ 10 + 2$ . Jest to suma ciągu geometrycznego składającego się z $n$ wyrazów, w którym pierwszy wyraz o $a_{1} = 2$ oraz iloraz $q = 10$ . Zapisując sumę takiego ciągu, otrzymujemy

a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q} = 2 ∙ \frac{1 - 10^{n}}{1 - 10} = \frac{2}{9} (10^{n} - 1)

\underset{2 n}{\underset{⏟}{11 . . . 1}} - \underset{n}{\underset{⏟}{22 . . . 2}} = \frac{1}{9} (10^{2 n} - 1) - \frac{2}{9} (10^{n} - 1) = \frac{1}{9} (10^{2 n} - 2 ∙ 10^{n} + 1) = \frac{{(10^{n} - 1)}^{2}}{3^{2}} = {(\frac{10^{n} - 1}{3})}^{2} .

Liczba $\frac{10^{n} - 1}{3}$ jest naturalna, ponieważ $10^{n} - 1 = \underset{n - 1}{\underset{⏟}{99 \dots 9}}$ , czyli dzieli się przez $3$ .

Ćwiczenie 19

Oblicz sumę $2 + 22 + 222 + \dots + \underset{n}{\underset{⏟}{2 \dots 22}}$ , gdzie w zapisie ostatniego składnika występuje $n$ dwójek.

$\frac{2}{9} (\frac{10^{n + 1} - 10}{9} - n)$

Zauważmy, że kolejne składniki występujące w sumie możemy zapisać następująco

22 = 2 ∙ 10 + 2

222 = 2 ∙ 10^{2} + 2 ∙ 10 + 2

2222 = 2 ∙ 10^{3} + 2 ∙ 10^{2} + 2 ∙ 10 + 2

i tak dalej aż do ostatniego wyrazu

\underset{n}{\underset{⏟}{22 \dots 2}} = 2 ∙ 10^{n - 1} + 2 ∙ 10^{n - 2} + \dots + 2 ∙ 10 + 2 .

Zauważmy, że każda z powyższych liczb jest sumą innej liczby wyrazów (kolejno $2, 3, 4, . . . n$ ) ciągu geometrycznego, w którym pierwszy wyraz jest równy $2$ i iloraz jest równy $q = 10$ . Sumę takiego ciągu obliczamy ze wzoru

S_{n} = a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q} = 2 ∙ \frac{1 - 10^{n}}{1 - 10} = \frac{2}{9} (10^{n} - 1),

czyli rozważane liczby są równe kolejno

22 = \frac{2}{9} (10^{2} - 1)

222 = \frac{2}{9} (10^{3} - 1)

2222 = \frac{2}{9} (10^{4} - 1)

i tak dalej aż do ostatniego wyrazu

\underset{n}{\underset{⏟}{22 \dots 2}} = \frac{2}{9} (10^{n} - 1)

Zauważmy jeszcze, że

2 = \frac{2}{9} (10 - 1)

Obliczmy teraz szukaną sumę
$2 + 22 + 222 + \dots + \underset{n}{\underset{⏟}{2 \dots 22}} = \frac{2}{9} (10 - 1) + \frac{2}{9} (10^{2} - 1) + \frac{2}{9} (10^{3} - 1)$ + $\frac{2}{9} (10^{4} - 1) + \dots + \frac{2}{9} (10^{n} - 1) = \frac{2}{9} (10 + 10^{2} + 10^{3} + 10^{4} + \dots + 10^{n}) - \frac{2}{9} n$
Zapisana w nawiasie suma kolejnych potęg liczby $10$ jest ciągiem geometrycznym składającym się z $n$ wyrazów, w którym pierwszy wyraz jest równy $10$ i iloraz jest równy $10$ . Korzystając ze wzoru na sumę takiego ciągu, otrzymujemy

S_{n} = a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q} = 10 ∙ \frac{1 - 10^{n}}{1 - 10} = \frac{10}{9} (10^{n} - 1)

Stąd

2 + 22 + 222 + \dots + \underset{n}{\underset{⏟}{2 \dots 22}} = \frac{2}{9} ∙ \frac{10}{9} (10^{n} - 1) - \frac{2}{9} n = \frac{2}{9} (\frac{10^{n + 1} - 10}{9} - n)

Ciąg geometryczny

Procent składany