ihw165xY1e_d5e93

Procent składany

Lokatę bankową możemy traktować jako umowę zawartą między klientem a bankiem, na mocy której klient powierza bankowi określoną kwotę na ustalony termin. W zamian za to, po upływie tego terminu, bank wypłaca klientowi wpłaconą kwotę powiększoną o odsetki, które zostały naliczone zgodnie z warunkami zapisanymi w umowie. Istotny wpływ na wysokość ostatecznie wypłaconej kwoty ma, oczywiście, oprocentowanie lokaty, ale ważne jest również to, co dzieje się z naliczonymi po kapitalizacji odsetkami:

mogą one zostać przelane na inny rachunek tego samego klienta – wtedy kwota lokaty się nie zmienia i odsetki naliczone przy kolejnej kapitalizacji będą takie same - taki sposób obliczania odsetek nazywa się procentem prostym;
mogą zostać dopisane do lokaty – wtedy kwota lokaty zwiększa się o odsetki, które biorą udział w wypracowaniu zysku w kolejnym okresie – ten sposób nazywamy procentem składanym.

W zadaniach w tym rozdziale, mówiąc o lokacie bankowej, przyjmiemy, że każdorazowo po kapitalizacji odsetki dopisywane są do lokaty i lokata nie została zerwana przed upływem ustalonego terminu.

R1PHHsdQIDgZb1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja przedstawia dwóch chłopców, z których każdy wpłacił 4000 zł do banku na roczną lokatę. Jeden wpłacił do banku, gdzie lokata ma oprocentowanie 4% a drugi wybrał bank, gdzie oprocentowanie miesięczne jest 4%. Po roku pierwszy chłopiec otrzymuje 4160 zł a drugi 4163 złotych. Jak to się stało? Bank pierwszy - kapitalizuje odsetki na koniec lokaty, czyli mamy 4000 razy 1,04 =4160 zł. Bank drugi - kapitalizuje odsetki co miesiąc, czyli mamy: cztery dwunaste % , czyli co miesiąc 4000 x 1,00333333, potem 4013,33 x 1,0033333 itd. Zmiany będą jeszcze większe, gdy czas lokaty będzie dłuższy oraz kwota większa. Zatem wartość zarobionych pieniędzy zależy nie tylko od wysokości oprocentowania ale też od częstości kapitalizacji odsetek.

Przykład 1

Pani Joanna wpłaciła $1000 zł$ do banku na pięcioletnią lokatę „Premium”. Warunki lokaty zakładają roczne oprocentowanie w wysokości $5 %$ i roczną kapitalizację odsetek. Jaki kapitał zostanie zgromadzony na lokacie po $5$ latach od jej założenia?
Prześledzimy krok po kroku zmiany tej lokaty.
Kapitał początkowy $K_{p}$ jest równy $K_{p} = 1000 zł$ .
Lokata będzie utrzymywana przez $5$ lat i kapitalizacja będzie następowała co rok. Mamy zatem $5$ okresów kapitalizacji ( $n = 5$ ) .
Oprocentowanie w okresie kapitalizacji jest równe $5 %$ .
Obliczmy kapitał zgromadzony po kolejnych latach

po pierwszym roku

K_{1} = 1000 zł + 5 % ∙ 1000 zł = 1000 zł ∙ (1 + \frac{5}{100}) = 1000 zł ∙ 1,05 = 1050 zł .

Kwota lokaty zwiększyła się o $5 %$ z $1000 zł$ , czyli o $50 zł$ .

po drugim roku

Podstawę do naliczenia odsetek stanowi teraz kwota $1050 zł$ , czyli otrzymamy

K_{2} = 1050 zł + 5 % ∙ 1050 zł = 1050 zł ∙ (1 + \frac{5}{100}) = 1050 zł ∙ 1,05 = 1000 zł ∙ 1,05 ∙ 1,05 =

= 1000 zł ∙ {(1,05)}^{2} = 1102,50 zł .

Kwota lokaty zwiększyła się o $5 %$ z $1050 zł$ , czyli o $52,50 zł$ .

po trzecim roku

Podstawę do naliczenia odsetek stanowi teraz kwota powiększona o kolejne odsetki, czyli $1102,50 zł .$ Po następnej kapitalizacji otrzymamy

K_{3} = 1102,50 zł + 5 % ∙ 1102,50 zł = 1102,50 zł ∙ (1 + \frac{5}{100}) = 1102,50 zł ∙ 1,05 = = 1000 zł ∙ {(1.05)}^{2} ∙ 1,05 = 1000 zł ∙ {(1.05)}^{3} = 1157,625 zł \approx 1157,63 zł

Kwota lokaty zwiększyła się o 5% z $1102,50 zł$ , czyli o $55,13 zł$ .
Zauważmy, że w każdym roku doliczamy inną kwotę odsetek. Wynika to z tego, że za każdym razem inna jest podstawa ich naliczania.
Kwoty lokaty po kolejnych latach są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie $q = 1,05$ i wyrazach:

a_{1} = K_{p} = 1000 zł

a_{2} = K_{1} = 1000 zł ∙ 1,05

a_{3} = K_{2} = 1000 zł ∙ {(1,05)}^{2}

a_{4} = K_{3} = 1000 zł ∙ {(1,05)}^{3}

Wykorzystując wzór na $n - ty$ wyraz ciągu geometrycznego, otrzymujemy:

po czwartym roku

{a_{5} = K}_{4} = 1000 zł ∙ {(1,05)}^{4} = 1215,50625 zł \approx 1215,51 zł .

po piątym roku

{a_{6} = K}_{5} = 1000 zł ∙ {(1,05)}^{5} \approx 1276,28 zł

Z tego wynika, że po $5$ latach pani Joanna powinna otrzymać $1276,28 zł .$

R1Nf0ULxIZxhh1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

E-podręczniki z matematyki

Ważne!

W polskim systemie monetarnym najmniejszą jednostką jest $1 gr$ , dlatego wszystkie kwoty zaokrąglamy z dokładnością do $1 gr$ .
Od $2002$ roku w Polsce obowiązuje podatek od dochodów kapitałowych. Oznacza to, że przy każdej kapitalizacji dopisywane odsetki zostaną pomniejszone o $19 %$ ich wartości.

W zadaniach w tym rozdziale kwotę podatku od dochodów kapitałowych będziemy pomijać.
Kwotę lokaty po $n$ okresach kapitalizacji można obliczyć, korzystając ze wzoru:

K_{n} = K_{p} {(1 + \frac{p}{100})}^{n}

gdzie:

$K_{p}$ $-$ oznacza kapitał początkowy,
$K_{n}$ $-$ oznacza kapitał zgromadzony na lokacie po $n$ okresach kapitalizacji,
$n$ $-$ oznacza liczbę kapitalizacji,
$p %$ $-$ oznacza oprocentowanie lokaty w okresie, po którym następuje kapitalizacja.

Przykład 2

Pan Jerzy wpłacił $10 000 zł$ na lokatę z rocznym oprocentowaniem w wysokości $6 %$ oraz z miesięczną kapitalizacją odsetek. Jaką kwotę zgromadzi on na tej lokacie po roku od jej założenia?
W tym przykładzie mamy

K_{p} = 10 000 zł

Lokata będzie utrzymywana przez $1$ rok, natomiast odsetki będą dopisywane co miesiąc. Mamy zatem $12$ okresów kapitalizacji ( $n = 12$ ).
Oprocentowanie roczne jest równe $6 %$ , zatem w pojedynczym okresie kapitalizacji wyniesie

p% = \frac{6 %}{12} = 0,5 %

Obliczmy kapitał zgromadzony po $12$ miesiącach

K_{12} = K_{p} {(1 + \frac{p}{100})}^{12} = 10 000 {(1 + \frac{0,5}{100})}^{12} = 10 000 {(1,005)}^{12} \approx 10 616,78 zł

Przedstawiony powyżej sposób obliczania kapitału końcowego zakłada, że obliczamy od razu wartość końcową po $n$ okresach kapitalizacji. Pomijamy tym samym wszystkie kwoty pośrednie – po pierwszym, drugim i kolejnych kapitalizacjach.
W rzeczywistości jest inaczej – każdorazowo kwota po dopisaniu odsetek jest zaokrąglana do $1 gr$ i otrzymane przybliżenie jest podstawą do obliczenia odsetek w następnym okresie. Przy wielokrotnej kapitalizacji ostateczne kwoty kapitału końcowego mogą się nieznacznie różnić.
Musimy zatem pamiętać, że wzór na procent składany jest tylko matematycznym przybliżeniem rzeczywistości bankowej.

ihw165xY1e_d5e295

Ćwiczenie 1

Pan Marek zdeponował w banku kwotę $2500 zł$ na lokacie dwuletniej, oprocentowanej w wysokości $3 %$ rocznie z kapitalizacją kwartalną. Jaki kapitał zgromadzi pan Marek po $2$ latach oszczędzania?

$2654 zł$

K_{p} = 2500 z ł

$n = 2 ∙ 4$ kwartały $= 8$ kwartałów

p % = \frac{3 %}{4} = 0,75 %

K_{8} = 2500 z ł ∙ {(1 + \frac{0,75}{100})}^{8} = 2500 z ł ∙ {(1,0075)}^{8} = 2500 z ł ∙ 1,0615988 \dots . \approx 2654 z ł .

Zauważmy, że na końcowy wynik ma wpływ to, z jaką dokładnością zaokrąglony zostanie wynik potęgowania liczby $1,0075$ . Końcowa kwota może się różnić nawet o kilka złotych np.:

K_{8} = 2500 z ł ∙ {(1,0075)}^{8} = 2500 z ł ∙ 1,0616 = 2654 z ł

K_{8} = 2500 z ł ∙ {(1,0075)}^{8} = 2500 z ł ∙ 1,062 = 2655 z ł

K_{8} = 2500 z ł ∙ {(1,0075)}^{8} = 2500 z ł ∙ 1,06 = 2650 z ł

Warto pamiętać, że banki w obliczeniach stosują dokładne wyniki potęgowania, natomiast zaokrąglane są ostateczne kwoty lokaty.

Ćwiczenie 2

Uzupełnij tabelę, obliczając potrzebne wartości.

Tabela. Dane
liczba lat	liczba okresów kapitalizacji	sposób kapitalizacji lokaty	oprocentowanie w skali roku	oprocentowanie w okresie kapitalizacji
	$4$	rocznie	$8 %$
$3$		kwartalnie		$3 %$
			$6 %$	$0,5 %$
	$10$	półrocznie	$3 %$
$6$
$2$	$12$			$1 %$

Tabela. Dane
liczba lat	liczba okresów kapitalizacji	sposób kapitalizacji lokaty	oprocentowanie w skali roku	oprocentowanie w okresie kapitalizacji
$4$	$4$	rocznie	$8 %$	$8 %$
$3$	$12$	kwartalnie	$12 %$	$3 %$
$2$	$24$	miesięcznie	$6 %$	$0,5 %$
$5$	$10$	półrocznie	$3 %$	$1,5 %$
$6$	$6$	rocznie	$4 %$	$4 %$
$2$	$12$	dwumiesięcznie	$6 %$	$1 %$

Ćwiczenie 3

Pani Zofia chce ulokować w banku $10 000 zł$ na rocznej lokacie oprocentowanej w wysokości $6 %$ . Oblicz, jaka kwota zostanie zgromadzona na tej lokacie, jeśli kapitalizacja będzie

roczna
półroczna
kwartalna
miesięczna

$10600 zł$
$10609 zł$
$10613,64 zł$
$10616,78 zł$

Tabela przedstawia stan lokaty w kolejnych miesiącach jej trwania. Zaznaczone są miesiące, po których nastąpiła kapitalizacja odsetek.

Tabela. Dane
czas trwania lokaty [miesiące]	Stan lokaty po upływie n miesięcy
czas trwania lokaty [miesiące]	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
kapitalizacja miesięczna	$10050$	$10100,25$	$10150,75$	$10201,51$	$10252,51$	$10303,78$	$10355,29$	$10407,07$	$10459,11$	$10511,40$	$10563,96$	$10616,78$
kapitalizacja kwartalna	$10000$	$10000$	$10150$	$10150$	$10150$	$10302,25$	$10302,25$	$10302,25$	$10456,78$	$10456,78$	$10456,78$	$10613,64$
kapitalizacja półroczna	$10000$	$10000$	$10000$	$10000$	$10000$	$10300$	$10300$	$10300$	$10300$	$10300$	$10300$	$10609$
kapitalizacja roczna	$10000$	$10000$	$10000$	$10000$	$10000$	$10000$	$10000$	$10000$	$10000$	$10000$	$10000$	$10600$

Zauważmy, że największy zysk przyniesie jak najczęstsza kapitalizacja – w tym przypadku miesięczna.
Te same zależności możemy zaobserwować na diagramie

R1CH7Fy47o1lw1

Diagram słupkowy, który przedstawia porównanie stanu lokaty w zależności od okresu kapitalizacji. Rozwiązanie zadania podpunkt b. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Lokata Wiosenna jest oprocentowana $4,5 %$ rocznie i kapitalizowana co miesiąc. Paweł wpłacił na lokatę $1350 zł$ . Po ilu miesiącach oszczędzania wartość lokaty przekroczy $1400 zł$ ?

Po $10$ miesiącach.
Rozwiązanie
$K_{p} = 1350 zł$
$p% = \frac{4,5 %}{12} = 0,375 %$
$K_{n} > 1400 zł$
Po wstawieniu do wzoru otrzymamy

K_{n} = 1350 zł ∙ {(1 + \frac{0,375}{100})}^{n} = 1350 zł ∙ {(1,00375)}^{n} > 1400 zł

czyli

1350 ∙ {(1,00375)}^{n} > 1400

{(1,00375)}^{n} > 1, (037)

Używając kalkulatora, sprawdzimy, że ${(1,00375)}^{9} \approx 1,034261 < 1, (037)$ , ale ${(1,00375)}^{10} \approx 1,03814 > 1, (037)$ .
Z tego wynika, że kwota $1400 zł$ zostanie przekroczona po $10$ miesiącach oszczędzania.

Przykład 3

Na realizację marzeń o wycieczce do Afryki Justyna potrzebuje co najmniej $9 500 zł$ . Postanowiła systematycznie, co miesiąc, odkładać $500 zł$ . Bank zaproponował lokatę z możliwością dopłacania pieniędzy, oprocentowaną $6 %$ rocznie z miesięczną kapitalizacją odsetek. Czy po $18$ miesiącach oszczędzania Justyna zgromadzi odpowiednią kwotę?
Przeanalizujmy krok po kroku zmiany na tej lokacie.
Oprocentowanie w okresie kapitalizacji

p % = \frac{6 %}{12} = 0,5 %, n = 18

Stan lokaty po pierwszym miesiącu

K_{1} = 500 z ł + \frac{0,5}{100} ∙ 500 z ł = 500 z ł ∙ (1,005) = 502,5 z ł

Stan lokaty po drugim miesiącu

K_{2} = [500 z ł ∙ (1,005) + 500 z ł] ∙ 1,005 = 500 z ł ∙ {(1,005)}^{2} + 500 z ł ∙ (1,005) = 1007,51 z ł

Stan lokaty po trzecim miesiącu

K_{3} = {(K}_{2} + 500 z ł) ∙ 1,005 = 500 z ł ∙ {(1,005)}^{3} + 500 z ł ∙ {(1,005)}^{2} + 500 z ł ∙ (1,005) = 1515,05 z ł

Stan lokaty po czwartym miesiącu

K_{4} = (K_{3} + 500 z ł) ∙ 1,005 = 500 z ł ∙ {(1,005)}^{4} + 500 z ł ∙ {(1,005)}^{3} + 500 z ł ∙ {(1,005)}^{2} + 500 z ł ∙ (1,005) = 2025,13 z ł

Zauważmy, że $500 zł$ ulokowane w pierwszym miesiącu procentuje najdłużej, kolejne – $1$ miesiąc krócej i tak dalej, aż do ostatniej wpłaconej kwoty, która procentuje tylko miesiąc.
Stan lokaty po $18$ miesiącach oszczędzania możemy zapisać

500 z ł ∙ {(1,005)}^{18} + 500 z ł ∙ {(1,005)}^{17} + 500 z ł ∙ {(1,005)}^{16} + 500 z ł ∙ {(1,005)}^{15} + \dots + 500 z ł ∙ (1,005)

Jest to suma osiemnastu kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym $a_{1} = 500 z ł ∙ 1,005$ , $q = 1,005$ .
Wartość lokaty po $18$ miesiącach będzie sumą osiemnastu wyrazów ciągu geometrycznego
$S_{18} = \frac{a_{1} (1 - q^{18})}{1 - q} = \frac{500 ∙ 1,005 ∙ (1 - {(1,005)}^{18})}{1 - 1,005} \approx 9439,858427 zł \approx 9439,86 zł$ .
Zatem Justyna jest bliska zgromadzenia potrzebnej kwoty $9 500 zł$ , ale brakuje jej jeszcze około $60 zł$ .

Ćwiczenie 5

Henryk chce podarować wnukowi prezent na $18$ urodziny. W dniu narodzin wnuka wpłacił do banku $250 zł$ na lokatę oprocentowaną $3,5 %$ w skali roku z roczną kapitalizacją odsetek. Postanowił, że na każde kolejne urodziny będzie dopłacał do tej lokaty kolejne $250 zł$ . Jaką kwotę Henryk zgromadzi na tej lokacie do $18$ urodzin wnuka?

$6339,30 z ł$

Pierwszej wpłaty Henryk dokonał w dniu narodzin wnuka, ostatniej w dniu jego $17$ urodzin. Ostatnia, $18$ kapitalizacja odsetek nastąpiła w dniu $18$ urodzin. Wtedy stan konta lokaty był równy

s_{18} = 250 ∙ 1,035 + 250 ∙ {(1,035)}^{2} + \dots + 250 ∙ {(1,035)}^{18} = 250 ∙ 1,035 ∙ \frac{1 - {1,035}^{18}}{1 - 0,035} \approx 6339,295124 \approx 6339,30 zł

Ważne!

Musimy pamiętać, że przedstawiane zadania i przykłady zastosowania procentu składanego nie zawsze są wiernym odwzorowaniem rzeczywistości bankowej. Oferta lokat bankowych jest bardzo bogata i zróżnicowana. Systemy obliczeniowe stosowane w bankach pozwalają na zmianę oprocentowania w różnych okresach trwania lokaty, częstą kapitalizację lub nawet możliwość wypłaty części środków z lokaty przed upływem zadeklarowanego okresu. Ponadto od 2002 roku obowiązuje, wspomniany wcześniej, podatek od dochodów kapitałowych, który każdorazowo zmniejsza kwotę należnych odsetek o 19% ich wartości.

Ćwiczenie 6

Oblicz kapitał końcowy uzyskany po $5$ latach, jeśli

wpłacono do banku $1570 zł$ na lokatę oprocentowaną $8 %$ rocznie i kapitalizowaną co pół roku;
wpłacono $1500 zł$ na lokatę oprocentowaną $7 %$ rocznie i kapitalizowaną co miesiąc.

$2323,98 zł$
$2126,44 zł$

Ćwiczenie 7

Wykonaj niezbędne obliczenia i uzupełnij tabelę.

Tabela. Dane
kapitał początkowy (z dokładnością do $1 zł$ )	oprocentowanie roczne	okres kapitalizacji	czas trwania lokaty	kapitał końcowy (z dokładnością do $1 gr$ )
$2500 zł$	$4 %$	półroczna	$3 lata$
$4500 zł$	$6 %$	kwartalna		$5069,22 zł$
	$3,5 %$	roczna	$6 lat$	$1819,30 zł$
$3600 zł$	$4 %$	kwartalna	$3,5 roku$
$7500 zł$	$6 %$	miesięczna	$1 rok$

Tabela. Dane
kapitał początkowy(z dokładnością do $1 zł$ )	oprocentowanie roczne	okres kapitalizacji	czas trwania lokaty	kapitał końcowy(z dokładnością do $1 gr$ )
$2500 zł$	$4 %$	półroczna	$3 lata$	$2815,41 zł$
$4500 zł$	$6 %$	kwartalna	$2 lata$	$5069,22 zł$
$1480 zł$	$3,5 %$	roczna	$6 lat$	$1819,30 zł$
$3600 zł$	$4 %$	kwartalna	$3,5 roku$	$4138,11 zł$
$7500 zł$	$6 %$	miesięczna	$1 rok$	$7962,58 zł$

ihw165xY1e_d5e593

Ćwiczenie 8

Filatelista kupił znaczek pocztowy za $150 zł$ . Jaka będzie jego wartość po $15$ latach, jeśli przyjąć, że w każdym roku wzrasta ona o $8 %$ w stosunku do wartości sprzed roku?

Znaczek będzie wart około $475,83 zł$ .

Ćwiczenie 9

Maciek kupił komputer za $3500 zł$ . Jaka będzie jego wartość po $6$ latach, jeśli przyjąć, że w każdym roku traci on $10 %$ wartości sprzed roku?

Po $6$ latach komputer będzie wart około $1860 zł$ .

Ćwiczenie 10

Iza chce zdać egzamin na prawo jazdy. Koszt kursu, jazd dodatkowych i egzaminów zewnętrznych to $1800 zł$ . Iza może odkładać w banku co miesiąc $155 zł$ na lokacie z oprocentowaniem $4,5 %$ rocznie i kapitalizacją miesięczną. O ile kwota lokaty będzie większa od ceny kursu, jeśli Iza będzie oszczędzać na tej lokacie przez $12$ miesięcy?

Kwota lokaty po $12$ miesiącach to $1905,97 zł$ . Po opłaceniu kursu zostanie $105,97 zł$ .

Ćwiczenie 11

Rodzice małej Zuzi oszczędzają na jej studia. Co roku wpłacają $1300 zł$ na lokatę z kapitalizacją roczną, oprocentowaną $6 %$ w skali roku. Po ilu latach kwota tych oszczędności przekroczy kwotę $30 000 zł$ ?

po $15$ latach

Ćwiczenie 12

Kuba chce wpłacić do banku $3600 zł$ na roczną lokatę. Dwa banki mają w swojej ofercie lokatę oprocentowaną w wysokości $8 %$ rocznie. Bank $X$ kapitalizuje ją co pół roku, natomiast bank $Y$ – co kwartał. O ile więcej zyska Kuba dzięki korzystniejszej kapitalizacji?

Kwota tej lokaty po roku w banku $X - 3893,76 zł$ , a w banku $Y - 3896,76 zł$ . W banku $Y$ Kuba zyska więcej o $3 zł$ .

Ćwiczenie 13

Bank proponuje trzy rodzaje lokat.

Lokata $3$ $-$ miesięczna

Tabela. Dane
czas trwania lokaty	$3$ miesiące
minimalna kwota	$500 zł$
oprocentowanie roczne	$4 %$
rodzaj kapitalizacji	po zakończeniu trwania lokaty, odsetki dopisane do lokaty
inne warunki	lokata może być odnawiana na następne okresy

Lokata $6$ $-$ miesięczna

Tabela. Dane
czas trwania lokaty	$6$ miesięcy
minimalna kwota	$1000 zł$
oprocentowanie roczne	$4,5 %$
rodzaj kapitalizacji	po zakończeniu trwania lokaty, odsetki dopisane do lokaty
inne warunki	lokata może być odnawiana na następne okresy

Lokata $9$ $-$ miesięczna

Tabela. Dane
czas trwania lokaty	$9$ miesięcy
minimalna kwota	$2000 zł$
oprocentowanie roczne	$5 %$
rodzaj kapitalizacji	kwartalnie, odsetki dopisane do lokaty
inne warunki	lokata może być odnawiana na następne okresy

Która z nich jest najbardziej korzystna, jeśli chcemy ulokować $1750 zł$ na okres $2$ lat?

Lokata $3$ $-$ miesięczna po dwóch latach $-$ $1895 zł$
Lokata $6$ $-$ miesięczna po dwóch latach $-$ $1912,90 zł$
Lokata $9$ $-$ miesięczna nie może być wybrana ze względu na zbyt niską kwotę kapitału początkowego

Ćwiczenie 14

Wyobraź sobie, że codziennie odkładasz $1 zł$ na lokatę oprocentowaną $0,0001 %$ dziennie i kapitalizowaną codziennie. Jaką kwotę zbierzesz po roku, a jaką po dwóch latach takiego oszczędzania?
Do obliczeń możesz wykorzystać kalkulator lub komputer.

Po roku – $371,76 zł$ , a po dwóch latach – $757,34 zł$ .

Suma wyrazów ciągu geometrycznego

Ciąg arytmetyczny i geometryczny zastosowanie

Procent składany

Procent składany