i80wLmpN3X_d5e82

Ciąg arytmetyczny i geometryczny – zastosowanie

Przykład 1

W nieskończonym ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ dane są wyrazy $a_{5} = - 7$ i $a_{9} = 13$ . Ile wyrazów tego ciągu to dodatnie liczby całkowite dwucyfrowe?
Liczby całkowite dwucyfrowe są mniejsze od $100$ i większe od $9$ . Z tego wynika, że musimy rozwiązać nierówność $a_{n} < 100$ i $a_{n} > 9$ .
Wyznaczymy wzór ogólny tego ciągu.
Rozwiązaniem układu równań

\{\begin{matrix} - 7 = a_{1} + 4 r \\ 13 = a_{1} + 8 r \end{matrix}

otrzymanego po wstawieniu piątego i dziewiątego wyrazu do wzoru na $n - ty$ wyraz ciągu są $a_{1} = - 27$ i $r = 5$ . Z tego wynika, że wzór ogólny tego ciągu ma postać

a_{n} = 5 n - 32

Mamy zatem nierówność

9 < 5 n - 32 < 100

czyli $8 \frac{1}{5} < n < 26 \frac{2}{5}$ . Oznacza, że warunki zadania spełnia $18$ wyrazów ciągu. Są to wyrazy $a_{9}, a_{10}, \dots, a_{26}$ .

Przykład 2

Ciąg $(4, x, \frac{9}{16})$ jest malejącym ciągiem geometrycznym, natomiast ciąg $(- 5, x + \frac{7}{2}, y)$ jest arytmetyczny. Wyznacz wyrazy obu ciągów.
Z własności ciągu geometrycznego $(4, x, \frac{9}{16})$ wynika równanie $x^{2} = 4 ∙ \frac{9}{16}$ , czyli $x^{2} = \frac{9}{4}$ .
Zatem $x = \frac{3}{2}$ lub $x = - \frac{3}{2}$ . Rozwiązanie ujemne odrzucamy, ponieważ ciąg geometryczny jest malejący.
Po podstawieniu otrzymanej wartości $x$ otrzymamy ciąg arytmetyczny $(- 5, \frac{3}{2} + \frac{7}{2}, y)$ , czyli $(- 5, 5, y)$ . Różnica w tym ciągu jest równa $r = 10$ . Z tego wynika, że $y = 15$ .
Zatem liczby $(4, \frac{3}{2}, \frac{9}{16})$ tworzą ciąg geometryczny, a liczby $(- 5, 5, 15)$ tworzą ciąg arytmetyczny.

R1VUAzQzack7E1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

E-podręczniki z matematyki

Ćwiczenie 1

Ciąg $(x, 9, x + 4)$ jest rosnącym ciągiem arytmetycznym, a ciąg $(x + 1, 12, y - 7)$ jest ciągiem geometrycznym. Oblicz $x$ i $y$ .

$x = 7$ i $y = 25$

Z własności ciągu arytmetycznego $(x, 9, x + 4)$ otrzymamy $9 = \frac{2 x + 4}{2}$ , czyli $x = 7 .$
Zatem ciąg geometryczny ma postać $(8, 12, y - 7)$ . Iloraz w tym ciągu jest równy $q = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ . Ponieważ iloraz jest stały w całym ciągu, to otrzymamy równanie $\frac{3}{2} = \frac{y - 7}{12}$ . Z tego wynika, że $y = 25$ .

Przykład 3

Miary kątów trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $34 °$ . Oblicz miarę największego kąta w tym trójkącie.
Wprowadźmy oznaczenia wykorzystujące fakt, że miary kątów trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $34 °$ .

RqlF33yTTqJfO1

Rysunek trójkąta o kątach, których miary są równe alfa, alfa +34 stopnie, alfa +2 razy 34 stopnie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Suma miar kątów trójkąta jest równa $α + α + 34 ° + α + 2 ∙ 34 ° = 180 °$ . Z tego wynika, że $\propto = 26 °$ .
Największy kąt w tym trójkącie ma miarę $26 ° + 68 ° = 94 °$ .

Ćwiczenie 2

Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $5$ . Oblicz pole tego prostokąta.
Obwód trójkąta prostokątnego jest równy $48 cm$ , a jego pole $96 c m^{2}$ . Długości boków trójkąta są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu arytmetycznego. Wyznacz długości boków trójkąta.

Boki trójkąta są równe $15 cm$ , $20 cm$ i $25 cm$ , a pole $P = 150 c m^{2}$ .
$12 cm$ , $16 cm$ i $20 cm$

Najkrótszy bok trójkąta oznaczmy $a (a > 0)$ . Pozostałe oznaczymy, wykorzystując własności ciągu arytmetycznego.
Rb0uTJpnZFjm11
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy $a^{2} + {(a + 5)}^{2} = {(a + 10)}^{2}$ .Po uporządkowaniu otrzymamy równanie kwadratowe $a^{2} - 10 a - 75 = 0$ , które ma dwa rozwiązania $a = - 5$ lub $a = 15$ . Rozwiązanie ujemne odrzucamy, ponieważ nie spełnia założenia $(a > 0)$ . Zatem boki trójkąta mają długości: $a = 15$ , $a + 5 = 20$ , $a + 10 = 25$ .
Pole trójkąta prostokątnego:
$P = \frac{1}{2} ∙ 15 ∙ 20 = 150$
Najkrótszy bok trójkąta oznaczmy $a (a > 0)$ . Pozostałe boki oznaczymy, wykorzystując własności ciągu arytmetycznego.
R18R4pqyKCG5P1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Obwód trójkąta jest równy $48 cm$ , czyli $a + a + r + a + 2 r = 48$ .Po uporządkowaniu otrzymamy $a + r = 16$ .Pole trójkąta jest równe $96 c m^{2}$ , czyli $\frac{1}{2} a (a + r) = 96$ . Po uporządkowaniu $a (a + r) = 192$ . Z wcześniejszych obliczeń wynika, że $a + r = 16$ , zatem po podstawieniu otrzymamy $16 a = 192$ , czyli $a = 12$ .
Z tego wynika, że kolejne boki trójkąta są równe $a = 12$ i $a + r = 16$ , czyli $r = 4$ .Przeciwprostokątna jest równa $a + 2 r = 20$ .

Ćwiczenie 3

Boki trójkątów równobocznych tworzą ciąg arytmetyczny, w którym $r > 0$ .

Czy obwody tych trójkątów tworzą ciąg arytmetyczny?
Czy pola tych trójkątów tworzą ciąg arytmetyczny?
Rqq2A5RCGVuMO1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy pierwszy wyraz ciągu długości boków trójkątów przez $a_{1}$ oraz różnicę ciągu przez $r$ . Wtedy boki kolejnych trójkątów tworzą ciąg $(a_{1}, a_{1} + r, a_{1} + 2 r, a_{1} + 3 r, \dots)$ .
Ciąg obwodów trójkątów równobocznych ma postać $(3 a_{1}, 3 a_{2}, 3 a_{3}, \dots, 3 a_{n}, \dots)$ . Wybierzmy dowolny wyraz ciągu $3 a_{n}$ oraz wyraz po nim następujący $3 a_{n + 1}$ . Zauważmy, że różnica pomiędzy tymi wyrazami jest równa ${3 a}_{n + 1} - {3 a}_{n} = 3 (a_{n + 1} - a_{n}) = 3 r,$ czyli jest liczbą stałą. Oznacza to, że ciąg obwodów jest arytmetyczny i jego różnica jest równa $3 r$ .
Ciąg pól trójkątów równobocznych ma postać $(\frac{{a_{1}}^{2} \sqrt{3}}{4}, \frac{{(a_{1} + r)}^{2} \sqrt{3}}{4}, \frac{{(a_{1} + 2 r)}^{2} \sqrt{3}}{4}, \dots)$ .
Przypuśćmy, że jest to ciąg arytmetyczny. Wtedy dla trzech pierwszych wyrazów zachodzi twierdzenie o zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu, czyli

2 ∙ \frac{{(a_{1} + r)}^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{{a_{1}}^{2} \sqrt{3}}{4} + \frac{{(a_{1} + 2 r)}^{2} \sqrt{3}}{4}

2 {(a_{1} + r)}^{2} = {a_{1}}^{2} + {(a_{1} + 2 r)}^{2}

2 {a_{1}}^{2} + 4 a_{1} r + 2 r^{2} = 2 {a_{1}}^{2} + 4 a_{1} r + 4 r^{2}

stąd $2 r^{2} = 4 r^{2}$ , co jest spełnione tylko dla $r = 0$ , a to jest sprzeczne z założeniem. Zatem ciąg pól kolejnych trójkątów równobocznych nie jest arytmetyczny.

Przykład 4

Punkty $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}$ są środkami półokręgów. Promień największego z półokręgów jest równy $8$ . Oblicz długość spirali przestawionej na rysunku.

RIqQIYf5XyMwU1

Rysunek półokręgów o środkach w punktach S z indeksem dolnym 1, S z indeksem dolnym 2, S z indeksem dolnym 3 i S z indeksem dolnym 4. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Z faktu, że każdy kolejny półokrąg tworzący spiralę przechodzi przez środek poprzedniego półokręgu, wynika, że każdy kolejny promień jest połową promienia poprzedniego półokręgu.
Zatem kolejne promienie półokręgów tworzą malejący ciąg geometryczny, którego iloraz $q = \frac{1}{2}$ .
Długości kolejnych półokręgów są równe
$L_{1} = 8 π$ , $L_{2} = \frac{1}{2} ∙ 8 π = 4 π$ , $L_{3} = \frac{1}{2} ∙ 4 π = 2 π$ …,
I również tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $q = \frac{1}{2}$ .
Długość spirali jest sumą pięciu pierwszych wyrazów tego ciągu. Zatem

L = S_{5} = 8 π \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{5}}{1 - \frac{1}{2}} = 8 π ∙ \frac{31}{16} = \frac{31}{2} π

Przykład 5

W pierwszym miesiącu pracy w pizzerii Kamil zarobił $650 zł$ . W każdym następnym miesiącu zarabiał o $20 zł$ więcej niż w miesiącu poprzednim. Jaką kwotę zarobił Kamil, pracując w ten sposób przez pół roku?
Zauważmy, że zarobione przez Kamila kwoty są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, w którym $a_{1} = 650 zł$ i $r = 20 zł$ .
Zarobiona przez pół roku kwota będzie sumą sześciu pierwszych wyrazów tego ciągu. Wstawiając wartości do wzoru na sumę ciągu arytmetycznego, otrzymujemy

S_{6} = \frac{2 ∙ 650 + 5 ∙ 20}{2} ∙ 6 = 4200 zł

i80wLmpN3X_d5e332

Ćwiczenie 4

Ciąg $(3, 2 x, y - 3)$ jest ciągiem arytmetycznym, a ciąg $(64, y, x)$ jest ciągiem geometrycznym. Wyznacz $x$ i $y$ .

$x = 4$ , $y = 16$

Z własności ciągu arytmetycznego wynika, że $2 x = \frac{3 + y - 3}{2}$ , czyli $x = \frac{1}{4} y$ .
Ciąg geometryczny ma postać $(64, y, \frac{1}{4} y)$ . Z własności ciągu geometrycznego wynika, że $y^{2} = 64 ∙ \frac{1}{4} y$ .
Po uporządkowaniu otrzymujemy równanie kwadratowe $y^{2} - 16 y = 0$ , którego rozwiązaniem jest $y = 0$ lub $y = 16$ . Rozwiązanie $y = 0$ odrzucamy, ponieważ żaden wyraz ciągu geometrycznego nie może być równy $0$ . Zatem pozostaje $y = 16$ . Z tego wynika, że $x = \frac{1}{4} y = 4$ .

Ćwiczenie 5

Liczby $30, x, y$ w podanej kolejności tworzą malejący ciąg arytmetyczny. Oblicz $x$ i $y$ , wiedząc, że ciąg $(x, y, 2)$ jest geometryczny.

$x = 18$ i $y = 6$ lub $x = 12,5$ i $y = - 5$

Ćwiczenie 6

Wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ są kolejne dodatnie liczby całkowite, które przy dzieleniu przez $4$ dają resztę $1$ : $a_{1} = 1, a_{2} = 5$ . Wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego $(b_{n})$ są kolejne dodatnie liczby całkowite, które przy dzieleniu przez $5$ dają resztę $2$ : $b_{1} = 2, b_{2} = 7$ . Wypisz wszystkie liczby dwucyfrowe, które występują w obu tych ciągach.

$17, 37, 57, 77, 97$

Ćwiczenie 7

Oblicz sumę

wszystkich dodatnich liczb całkowitych, które są dwucyfrowe i dzielą się przez $3$
parzystych liczb dwucyfrowych
wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez $8$
wszystkich liczb dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez $5$ dają resztę $2$

$S_{30} = 1665$
$S_{45} = 2430$
$S_{11} = 616$
$S_{18} = 981$

Liczby dwucyfrowe podzielne przez $3$ tworzą ciąg arytmetyczny, w którym $r = 3$ . Pierwszą z liczb dwucyfrowych tego ciągu jest $a_{1} = 12$ , a ostatnią $a_{n} = 99$ . Obliczymy liczbę wyrazów w tym ciągu:
$99 = 12 + (n - 1) ∙ 3,$ czyli $n = 30$ . Obliczamy sumę $S_{30} = \frac{12 + 99}{2} ∙ 30 = 1665$ .
Parzyste liczby dwucyfrowe tworzą ciąg arytmetyczny, w którym $a_{1} = 10$ i $r = 2$ . Ostatni wyraz tego ciągu $a_{n} = 98$ . Obliczymy liczbę wyrazów tego ciągu: $98 = 10 + 2 (n - 1)$ , stąd otrzymujemy $n = 45$ . Obliczamy sumę $S_{45} = \frac{10 + 98}{2} ∙ 45 = 2430$ .
Liczby dwucyfrowe podzielne przez $8$ tworzą ciąg arytmetyczny, w którym $a_{1} = 16$ i $r = 8$ . Ostatni wyraz tego ciągu $a_{n} = 96$ . Obliczymy liczbę wyrazów tego ciągu: $96 = 16 + 8 (n - 1)$ , skąd otrzymujemy $n = 11$ . Obliczamy sumę $S_{11} = \frac{16 + 96}{2} ∙ 11 = 616$ .
Liczby te tworzą ciąg arytmetyczny, w którym $a_{1} = 12$ i $r = 5$ . Ostatni wyraz tego ciągu $a_{n} = 97$ . Liczba wyrazów tego ciągu $97 = 12 + 5 (n - 1)$ , stąd otrzymujemy $n = 18$ . Obliczamy sumę $S_{18} = \frac{12 + 97}{2} ∙ 18 = 981$ .

Ćwiczenie 8

Miary kątów trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz różnicę tego ciągu.

$30 °$

Ćwiczenie 9

Miary kątów trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym najmniejszy kąt ma miarę $51 °$ . Oblicz miarę największego kąta tego trójkąta.

$69 °$

Ćwiczenie 10

Pierwszy odcinek łamanej ma długość $4 cm$ , a każdy kolejny jest dłuższy od poprzedniego o $2 cm$ . Z ilu odcinków składa się ta łamana, jeśli jej całkowita długość jest równa $270 cm$ ?

$18$

i80wLmpN3X_d5e507

Ćwiczenie 11

Prostokąt o polu powierzchni równym $128 c m^{2}$ podzielono na dwa takie prostokąty, że pole większego jest trzy razy większe od pola mniejszego. Długości odcinków $a, b$ są długościami boków mniejszego prostokąta, $b, c$ są długościami boków większego z prostokątów, które powstały z podziału. Wiedząc, że $a$ , $b$ , $c$ tworzą ciąg arytmetyczny, wyznacz długości boków tego prostokąta.

RCUHEmhGgdPC51

Rysunek prostokąta podzielonego na dwa mniejsze. Prostokąt P z indeksem jeden o bokach a, b. Prostokąt P z indeksem dolnym 2 o bokach b, c. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$16 cm$ i $8 cm$

Ponieważ długości boków $a, b, c$ tworzą ciąg arytmetyczny, więc mamy $b = \frac{a + c}{2}$ . Pole prostokąta jest równe $P = (a + c) ∙ b = 128$ . Podstawiając $a + c = 2 b$ , otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą $b$ .
$2 b ∙ b = 128$ , skąd $b = 8$ .
Z treści zadania wiemy, że $P_{2} = 3 P_{1}$ , czyli $bc = 3 ab$ , stąd $c = 3 a$ . Wiemy również, że $a + c = 2 ∙ 8 = 16$ . Mamy więc $4 a = 16$ , czyli $a = 4$ i $c = 12$ . Szukane długości boków prostokąta wynoszą $16 cm$ i $8 cm$ .

Ćwiczenie 12

Dany jest kwadrat o boku $a$ i prostokąt o bokach $x$ i $y$ . Ciąg $(x, a, y)$ jest geometryczny. Która z tych figur ma większe pole?

RizZOtqquPzNH1

Rysunek kwadratu o boku a i prostokąta o bokach długości x, y. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skoro liczby $(x, a, y)$ tworzą ciąg geometryczny, więc $a^{2} = xy$ . Zatem pola obu figur są równe.

Ćwiczenie 13

Długości trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny, a suma długości tych krawędzi jest równa $12$ . Objętość tego prostopadłościanu jest równa $64$ . Oblicz długości krawędzi tego prostopadłościanu.

$4, 4, 4$

Jeżeli długości krawędzi tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $q$ , to są one równe: $a_{1}, a_{1} q, a_{1} q^{2}$ , gdzie $a_{1} > 0$ oraz $q > 0$ . Objętość tego prostopadłościanu jest równa $64 = a_{1} ∙ a_{1} q ∙ a_{1} q^{2} = {(a_{1} q)}^{3}$ , stąd $a_{1} q = 4$ . Mamy więc $a_{1} = \frac{4}{q}$ .
Suma długości krawędzi jest równa $12 = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} = \frac{4}{q} + 4 + 4 q$ . Otrzymujemy równanie kwadratowe $q^{2} - 2 q + 1 = 0$ , które ma jedno rozwiązanie $q = 1$ , czyli $a_{1} = \frac{4}{q} = 4$ . Wszystkie krawędzie są więc równej długości $4$ .

R19ncNQO8hMqN1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

Ćwiczenie 14

Na kolejnych rysunkach zaznaczono sposób tworzenia tzw. dywanu Sierpińskiego.

R17n9PBl1cDG61

Rysunek trzech kwadratów, w których wycięte są według pewnej metody małe kwadraty. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Za każdym razem z kwadratu jest usuwana pewna liczba kwadratów.

Ile łącznie kwadratów zostanie usuniętych po $4$ kroku?
Ile łącznie kwadratów zostanie usuniętych po $n$ krokach?

$585$
$\frac{8^{n} - 1}{7}$

Zauważmy, że liczba kwadratów, które usuwamy w kolejnych krokach, tworzy ciąg geometryczny. Za pierwszym razem usuwamy jeden kwadrat, czyli $a_{1} = 1$ , a następnie w każdym kroku usuwamy $8$ razy więcej mniejszych kwadratów, bo wokół większego kwadratu mamy $8$ mniejszych kwadratów. Zatem $q = 8$ . Po $4$ kroku mamy więc $S_{4} = a_{1} ∙ \frac{1 - q^{4}}{1 - q} = 1 ∙ \frac{1 - 8^{4}}{1 - 8} = 585$ kwadratów.
Liczba usuniętych kwadratów po $n$ krokach jest sumą $n$ pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego o $a_{1} = 1$ oraz $q = 8$ , czyli $S_{n} = a_{1} ∙ \frac{1 - q^{n}}{1 - q} = \frac{1 - 8^{n}}{1 - 8} = \frac{8^{n} - 1}{7}$ .

Ćwiczenie 15

Pole trójkąta prostokątnego $ABC$ jest równe $24$ , a długości boków tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz obwód tego trójkąta.

$24$

Oznaczmy długości przyprostokątnych i przeciwprostokątnej trójkąta $ABC$ literami, odpowiednio $a, b$ i $c$ . Są to liczby dodatnie i największą z nich jest $c$ . Możemy przyjąć, że $a \leq b$ . Wtedy ciąg arytmetyczny $(a, b, c)$ jest rosnący.
Niech $r$ oznacza różnicę tego ciągu. Zatem $b = a + r$ oraz $c = a + 2 r$ . Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy $a^{2} + {(a + r)}^{2} = {(a + 2 r)}^{2}$ , stąd po przekształceniu mamy kolejno

a^{2} + a^{2} + 2 ar + r^{2} = a^{2} + 4 ar + {4 r}^{2}

a^{2} - 2 ar - 3 r^{2} = 0 .

Potraktujmy to równanie jak równanie kwadratowe z niewiadomą $a$ . Wtedy wyróżnik tego równania jest równy $∆ = {(- 2 r)}^{2} - 4 ∙ 1 ∙ (- 3 r^{2}) = 16 r^{2} > 0$ , więc równanie ma dwa rozwiązania $a = \frac{2 r - 4 r}{2} = - r$ lub $a = \frac{2 r + 4 r}{2} = 3 r$ .
Pierwsze z rozwiązań nie spełnia warunków zadania, gdyż $a > 0$ , zaś $- r < 0$ . Zatem $a = 3 r$ .
Pole trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu długości przyprostokątnych, czyli $24 = \frac{1}{2} a (a + r)$ . Stąd i z otrzymanej wcześniej równości $a = 3 r$ mamy

24 = \frac{1}{2} ∙ 3 r (3 r + r)

24 = \frac{1}{2} ∙ 3 r ∙ 4 r

4 = r^{2} .

Stąd $r = 2$ , gdyż $r > 0$ . Zatem $a = 3 r = 3 ∙ 2 = 6$ , $b = a + r = 6 + 2 = 8$ oraz $c = b + r = 8 + 2 = 10$ . Obwód trójkąta $ABC$ jest zatem równy $a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24 .$

RvcJMpjQT3q1B1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D12dXI5bO

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Procent składany

Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej

Ciąg arytmetyczny i geometryczny zastosowanie

Ciąg arytmetyczny i geometryczny – zastosowanie