Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję określoną dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $f\left(x\right)=a^x$, gdzie $a$ jest ustaloną liczbą dodatnią i różną od $1$.

Naszkicujmy wykres funkcji określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem

W tym celu uzupełnijmy tabelę wartościami funkcji dla kilku wybranych argumentów.

$f\left(-2\right)=2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$ 
$f\left(-1\right)=2^{-1}=\frac{1}{2}$ 
$f\left(-\frac{1}{2}\right)=2^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 
$f\left(0\right)=2^0=1$ 
$f\left(\frac{1}{2}\right)=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$ 
$f\left(1\right)=2^1=2$ 
$f\left(2\right)=2^2=4$ 
$f\left(3\right)=2^3=8$ 
Uzupełniamy tabelę, wpisując obliczenia wartości funkcji $f$.

Zastanówmy się, jak funkcja $f$będzie się zachowywać dla bardzo małych argumentów. Na przykład

Jest to liczba dodatnia, ale na tyle mała, że nie uda nam się dokładnie zaznaczyć w układzie współrzędnych punktu $(-100,\frac{1}{2^{100}})$, który leży na wykresie tej funkcji. Dla jeszcze mniejszych argumentów wartości funkcji będą nadal dodatnie, ale jeszcze bliższe zeru. Każda, bardzo, bardzo bliska zeru liczba dodatnia jest wartością tej funkcji wykładniczej dla pewnego ujemnego argumentu. Geometrycznie oznacza to, że lewa część wykresu funkcji $f$ zbliża się do osi $\mathrm{Ox}$, czyli do prostej o równaniu $y=0$. Tę prostą nazywamy asymptotą wykresu funkcji.
Krzywa przechodząca przez wyznaczone punkty (te które znaleźliśmy i dowolne inne, które moglibyśmy w ten sposób znaleźć) jest wykresem funkcji wykładniczej $f\left(x\right)=2^x$. Krzywą taką nazywamy krzywą wykładniczą albo ekspotencjalną.

RzHmLpxV9gvsl1

Wykres funkcji wykładniczej f(x) = 2 do potęgi x leżącej w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Do wykresu należą między innym punkty o współrzędnych (-2, jedna czwarta), (-1, jedna druga), (0,1), (1, 2), (2, 4), (3, 8).

Przypatrzmy się teraz wykresom innych funkcji wykładniczych

w przypadku, gdy $a>1$.

RKnbM5gR1Li6k1

Aplet Geogebry

Aplet Geogebry

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DOgeKo121

Zauważmy, że wszystkie te funkcje są rosnące, a ich wykresy w całości leżą nad osią $\mathrm{Ox}$. Zatem żadna z tych funkcji nie ma miejsca zerowego. Wszystkie wykresy mają jeden wspólny punkt. Jest to punkt o współrzędnych $(0,1)$, w którym wykres każdej z tych funkcji przecina oś $\mathrm{Oy}$. Jest tak, ponieważ dla dowolnej liczby $a>1$ mamy $a^0=1$.

Rozważmy teraz funkcję określoną dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $g\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$. Korzystając z własności potęg, wzór funkcji $g$ możemy zapisać w postaci

To oznacza, że wykres tej funkcji otrzymamy, znajdując obraz wykresu funkcji $f\left(x\right)=2^x$ w symetrii osiowej względem osi $\mathrm{Oy}$.

R14JMhGZYloDk1

Wykres funkcji wykładniczych rosnącej f(x) = 2 do potęgi x i malejącej f(x) = 2 do potęgi minus x w układzie współrzędnych.

Zauważmy, że w ten sposób możemy narysować wykres każdej funkcji $f\left(x\right)=a^x$, gdzie $a\in \left(0,1\right)$. Wykres każdej takiej funkcji w całości leży nad osią $\mathrm{Ox}$, więc funkcja nie ma miejsc zerowych. Również każdy z wykresów funkcji przecina oś $\mathrm{Oy}$ w punkcie $(0,1).$ Jednak każda z takich funkcji jest malejąca.

Przesuniemy wykres funkcji $f\left(x\right)=3^x$ o $m$ wzdłuż podanej osi układu współrzędnych.
jeżeli $m>0$, to wykres przesuwamy o $m$ jednostek w górę.
jeżeli $m<0$, to wykres przesuwamy o $\left|m\right|$ jednostek w dół.

RjM8R3nvvC4yV1

Wykres funkcji wykładniczej f(x) =3 do potęgi x w układzie współrzędnych.

Narysujemy otrzymany w ten sposób wykres funkcji $g$ oraz zapiszemy jej wzór.

1. Przesuwając wykres funkcji $f\left(x\right)=3^x$ o $2$ wzdłuż osi $\mathrm{Ox}$, otrzymujemy wykres funkcji $g\left(x\right)=3^{x-2}$.

   RUM1xxXMTEpvq1

   Wykres funkcji wykładniczych f(x) =3 do potęgi x oraz funkcji g(x) = 3 do potęgi (x -2) przesuniętej o dwie jednostki wzdłuż osi OX układu współrzędnych.

   

2. Po przesunięciu wykresu funkcji $f\left(x\right)=3^x$ o $m=-3$ wzdłuż osi $\mathrm{Ox}$ otrzymujemy wykres funkcji o wzorze$\mathrm{ g}\left(x\right)=3^{x-(-3)}=3^{x+3}$.

   RdHBTkX7eHcfi1

   Wykres funkcji wykładniczych f(x) =3 do potęgi x oraz funkcji g(x) = 3 do potęgi (x +3) przesuniętej o minus trzy jednostki wzdłuż osi OX układu współrzędnych.

   

3. Po przesunięciu wykresu funkcji wykładniczej $f\left(x\right)=3^x$ o $m=1$ wzdłuż osi $\mathrm{Oy}$ otrzymamy wykres funkcji $g\left(x\right)=3^x+1$. Ponieważ zbiorem wartości funkcji $g$ jest przedział $\left(1,+\infty \right)$, więc można narysować także prostą o równaniu $y=1$, która jest asymptotą wykresu funkcji $g$. Rysujemy ją zazwyczaj przerywaną linią.

   R1Lg3ZJ1VGsGj1

   Wykres funkcji wykładniczych f(x) =3 do potęgi x oraz funkcji g(x) = (3 do potęgi x) +1 przesuniętej o jedną jednostkę wzdłuż osi OY układu współrzędnych.

   

4. Przesunięcie o $m=-4$ wzdłuż osi $\mathrm{Oy}$ oznacza przesunięcie wykresu w dół o $4$ jednostki. Wzór funkcji, której wykres otrzymamy po tym przekształceniu, ma postać $f\left(x\right)=3^x+\left(-4\right)=3^x-4$, a asymptotą jej wykresu jest prosta $y=-4$.

   RzDdcOd9vUF3i1

   Wykres funkcji wykładniczych f(x) =3 do potęgi x oraz funkcji g(x) = (3 do potęgi x) -4 przesuniętej o minus cztery jednostki wzdłuż osi OY układu współrzędnych.

   

Narysuj wykres funkcji $f$. Podaj wzór funkcji wykładniczej $g$, której wykres przesunęliśmy tak, aby otrzymać wykres funkcji $f$. O ile jednostek i wzdłuż której osi układu współrzędnych wykonaliśmy to przesunięcie? W jakich punktach wykres funkcji $f$ przetnie osie $\mathrm{Oy}$ i $\mathrm{Ox}$?

1. $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-4}$

2. $f\left(x\right)=2^{x+3}$

3. $f\left(x\right)=4^x+1$

4. $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x-3$

5. Wykres funkcji $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-4}$to wykres funkcji $g\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$przesunięty o $4$ wzdłuż osi $\mathrm{Ox}$.

   R12zrGXhph3431

   Wykres funkcji wykładniczych f(x) i g(x) w układzie współrzędnych. Wykres funkcji f(x) = jedna druga do potęgi (x -4) to wykres funkcji g(x) = jedna druga do potęgi x przesunięty o cztery jednostki wzdłuż osi OX (w prawo).

   

   Obliczając wartość funkcji $f$ dla argumentu $x=0$, znajdujemy współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią $\mathrm{Oy}$. Mamy

   $f\left(0\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{0-4}=2^4=16$

   Zatem szukanym punktem jest $\left(\mathrm{0,16}\right)$. Cały wykres leży nad osią $\mathrm{Ox}$, więc nie ma punktów wspólnych z tą osią.

6. Wzór funkcji $f$ możemy zapisać w postaci $f\left(x\right)=2^{x+3}=2^{x-(-3)}$. Jej wykres powstaje zatem przez przesunięcie wykresu funkcji $g\left(x\right)=2^x$ o $-3$ wzdłuż osi $\mathrm{Ox}$, czyli o  $3$ jednostki w lewo.

   RxWhhCmsPemWy1

   Wykres funkcji wykładniczych f(x) i g(x) w układzie współrzędnych. Wykres funkcji f(x) = 2 do potęgi (x +3) to wykres funkcji g(x) =2 do potęgi x przesunięty o minus trzy jednostki wzdłuż osi OX (w lewo).

   

   Żeby znaleźć punkt przecięcia wykresu z osią $\mathrm{Oy}$, obliczamy wartość funkcji dla argumentu $0$, czyli

   $f\left(0\right)=2^{0+3}=8$

   Zatem wykres przecina tę oś w punkcie $\left(\mathrm{0,8}\right)$. Z osią $\mathrm{Ox}$ wykres funkcji nie przecina się, ponieważ cały leży nad tą osią.

7. Wykres funkcji $f\left(x\right)=4^x+1$ jest wykresem funkcji $g\left(x\right)=4^x$ przesuniętym o $1$ wzdłuż osi $\mathrm{Oy}$.

   R10zY77X7MAjT1

   Wykres funkcji wykładniczych f(x) i g(x) w układzie współrzędnych. Wykres funkcji f(x) =(4 do potęgi x) +1 to wykres funkcji g(x) =4 do potęgi x przesunięty o jedną jednostkę wzdłuż osi OY (w górę).

   

   $f\left(0\right)=4^0+1=2$, zatem punktem przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią $\mathrm{Oy}$ jest punkt $\left(\mathrm{0,2}\right)$. Cały wykres leży nad osią $\mathrm{Ox}$, zatem nie istnieje punkt przecięcia wykresu z tą osią.

8. Wykres funkcji$\mathrm{ f}\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x-3$ powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji $g\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ o $-3$ wzdłuż osi $\mathrm{Oy}$.

   RzHr9oYXlqOHp1

   Wykres funkcji wykładniczych f(x) i g(x) w układzie współrzędnych. Wykres funkcji f(x) = (jedna trzecia do potęgi x) -3 to wykres funkcji g(x) =jedna trzecia do potęgi x przesunięty o minus trzy jednostki wzdłuż osi OY (w dół).

   

   Ponieważ wykres funkcji $g$ przecina oś $\mathrm{Oy}$ w punkcie $\left(\mathrm{0,1}\right)$, więc punktem przecięcia funkcji $f$ z osią $\mathrm{Oy}$ jest punkt $(0,-2)$. Żeby wyznaczyć punkt przecięcia tego wykresu z osią $\mathrm{Ox}$, obliczymy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość $0$, czyli $0={\left(\frac{1}{3}\right)}^x-3.$ Stąd ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x=3,$ czyli

   ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}$

   Zatem $x=-1$. Punkt przecięcia z osią $\mathrm{Ox}$ to punkt $(-\mathrm{1,0})$.

Narysujemy wykres funkcji

1. $f\left(x\right)=-4^x$

2. $f\left(x\right)=-{\left(\frac{1}{2}\right)}^x+2$

3. Wykres funkcji $f\left(x\right)=-4^x$ jest symetryczny względem osi $\mathrm{Ox}$ do wykresu funkcji $g\left(x\right)=4^x$.

   R1NKfzYXhM0jF1

   Wykres funkcji wykładniczych f(x) =-4 do potęgi x i g(x) =4 do potęgi x w układzie współrzędnych.

   

4. Żeby sporządzić wykres funkcji $f\left(x\right)=-{\left(\frac{1}{2}\right)}^x+2$, narysujemy najpierw wykres funkcji $g\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$. Następnie znajdziemy wykres do niego symetryczny względem osi $\mathrm{Ox}$. Jest to wykres funkcji $h\left(x\right)=-{\left(\frac{1}{2}\right)}^x$, który z kolei przesuniemy o $2$ wzdłuż osi $\mathrm{Oy}$. W ten sposób otrzymamy wykres funkcji $f.$

   R1aWQ1voFlJ8c1

   Wykres funkcji wykładniczych f(x) =[minus (jedna druga) do potęgi x] +2, g(x) =jedna druga do potęgi x i h(x) = minus (jedna druga) do potęgi x w układzie współrzędnych..

   

Narysujmy wykres funkcji

1. $f\left(x\right)=9\cdot \sqrt{3}\cdot 3^x$

2. $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x+{\left(\frac{1}{2}\right)}^x$

3. Przekształćmy wzór funkcji $f$, korzystając z własności potęg
   $f\left(x\right)=9\cdot \sqrt{3}\cdot 3^x={3^2\cdot 3}^{\frac{1}{2 }}\cdot 3^x=3^{2+\frac{1}{2 }+x}=3^{x+2\frac{1}{2 }}$Zatem, żeby narysować wykres funkcji $f$, przesuwamy wykres funkcji $g\left(x\right)=3^x$ o $-2\frac{1}{2 }$ wzdłuż osi $\mathrm{Ox}$.

   RqrRxaKpcnj5V1

   Wykres funkcji wykładniczych f(x) =3 do potęgi (x +2,5) i g(x) =3 do potęgi x w układzie współrzędnych.

   

4. Zapiszmy wzór funkcji w następujący sposób $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x+{\left(\frac{1}{2}\right)}^x=2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^x={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^x={\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-1}$. Zatem rysujemy wykres funkcji $g\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$, a następnie przesuwamy go o $1$ wzdłuż osi $\mathrm{Ox}$.

   RrV8Q2Kea7W9g1

   Wykres funkcji wykładniczych f(x) = jedna druga do potęgi (x -1) i g(x) = jedna druga do potęgi x w układzie współrzędnych.

   

Wyznaczymy wzór funkcji wykładniczej $f\left(x\right)=a^x$, mając dany punkt $\left(-2,\frac{1}{49}\right)$ leżący na jej wykresie.
Skoro punkt $\left(-2,\frac{1}{49}\right)$ leży na wykresie funkcji $f$, więc dla argumentu $x=-2$ funkcja przyjmuje wartość $f\left(-2\right)=\frac{1}{49}$. Mamy więc

Po przekształceniu równanie to przyjmuje postać $7^{-2}=a^{-2}$, stąd $a=7$. Zatem wzór funkcji $f$ ma postać $f\left(x\right)=7^x$.

Sprawdzimy, czy punkt $A=(4,4)$ leży na wykresie funkcji $f\left(x\right)={\left(\sqrt{2}\right)}^x$.
Wystarczy sprawdzić, czy dla argumentu $x=4$ funkcja $f$ przyjmie wartość $4$. Ponieważ $f\left(4\right)={\left(\sqrt{2}\right)}^4=2^2=4$, więc punkt $A$ leży na wykresie funkcji $f$.

Jaka jest największa, a jaka najmniejsza wartość funkcji wykładniczej $f\left(x\right)={\left(\sqrt{5}\right)}^x$ w przedziale $〈-\mathrm{2,0}〉$?
Funkcja $f\left(x\right)={\left(\sqrt{5}\right)}^x$ jest rosnąca, ponieważ $\sqrt{5}>1$, a dla $a>1$ funkcja wykładnicza $g\left(x\right)=a^x$ jest rosnąca. Zatem najmniejszą wartość funkcja osiąga dla najmniejszego argumentu z przedziału $〈-\mathrm{2,0}〉$, czyli dla $x=-2$, a największą dla największego argumentu z tego przedziału, czyli dla $x=0$. Mamy więc wartość najmniejszą $f\left(-2\right)={\left(\sqrt{5}\right)}^{-2}=\frac{1}{{\left(\sqrt{5}\right)}^2}=\frac{1}{5}$ oraz wartość największą $f\left(0\right)={\left(\sqrt{5}\right)}^0=1$ w przedziale $〈-\mathrm{2,0}〉$.

Określ monotoniczność funkcji $f\left(x\right)={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^x$i na tej podstawie porównaj liczby ${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^{10}$oraz ${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^{20}$.
Ponieważ $a=\frac{\sqrt{3}}{2}\in \left(\mathrm{0,1}\right)$, więc funkcja $f\left(x\right)={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^x$jest malejąca. Zatem dla mniejszego argumentu przyjmuje wartość większą. Ponieważ $10<20$, więc ${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^{10}>{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^{20}$.

Wyznaczymy wszystkie argumenty funkcji $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$, dla których wartość funkcji jest

1. równa $81$

2. większa od $81$

3. co najmniej równa $81$

Narysujmy wykres funkcji $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$.

R1NYjQn3wnCyx1

Wykres funkcji wykładniczych f(x) =2 do potęgi (x -3) i g(x) =2 do potęgi x w układzie współrzędnych.

1. Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, czyli każda wartość $y\in (0,+\infty )$ jest przyjmowana tylko dla jednego argumentu. Szukamy takiego argumentu $x$, dla którego $f\left(x\right)=81$, czyli ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x=81$. Mamy ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-4}$, stąd $x=-4$.

   R1ORUMmXApW1B1

   Wykres funkcji wykładniczych f(x) =3 do potęgi (x +1) i g(x) =3 do potęgi x w układzie współrzędnych.

   

2. Funkcja $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ jest malejąca, czyli wartości większe od $81$ funkcja $f$ przyjmuje dla argumentów mniejszych od $x=-4$. Zatem $f\left(x\right)>81$ dla $x\in \left(-\infty ,-4\right)$.

   R1Ub5hsaJBqKw1

   Wykres funkcji wykładniczych f(x) =2 do potęgi (x +5) i g(x) =2 do potęgi x w układzie współrzędnych.

   

3. Wartości co najmniej równe $81$ funkcja $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ przyjmuje dla argumentów mniejszych lub równych $-4$. Zatem $f\left(x\right)\ge 81$ dla $x\in \left(-\infty ,-4〉\right.$.