iy3bhUU7QM_d5e85

Zdefiniowaliśmy wcześniej potęgi o wykładnikach naturalnych, całkowitych i wymiernych, przyjmując odpowiednie założenia o podstawach tych potęg.
Powyższą wiedzę uzupełnimy krótką informacją o potędze o wykładniku niewymiernym.
Zakładamy, że podstawa a jest liczbą rzeczywistą, dodatnią, wykładnik x jest dowolną liczbą niewymierną, na przykład 32,2π.
Potęga ax jest liczbą, której przybliżenie możemy znaleźć, przyjmując przybliżenie wymierne wykładnika x i ewentualnie podstawy a. Oczywiste jest, że im lepsze przybliżenie wykładnika i podstawy, tym dokładniejszą wartość wymierną potęgi otrzymamy. Na przykład:

3231,4=31410=314104,656
3231,41=3141100=31411004,707
3231,414=314141000=3141410004,728

Korzystając z kalkulatora, otrzymamy:

324,728804388

Możemy teraz przyjąć, że wyrażenie ax jest dobrze określone dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej podstawy a>0.

Funkcja wykładnicza
Definicja: Funkcja wykładnicza

Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję określoną dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem fx=ax, gdzie a jest ustaloną liczbą dodatnią i różną od 1.

Warunek występujący w tej definicji, dotyczący podstawy a wynika z tego, że jedynie dla a>0 możemy jednoznacznie określić funkcję fx=ax dla każdej liczby rzeczywistej x. Zauważmy, że dla <0 funkcja nie byłaby określona dla każdej liczby rzeczywistej, np. nie dałoby się obliczyć f12 , gdyż oznaczałoby to konieczność obliczenia pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, a taki nie istnieje. Dla a=0 nie można określić funkcji dla żadnej liczby x niedodatniej. Z innego powodu zakładamy, że a1 . Dla a=1 funkcja jest, co prawda, określona dla każdej liczby rzeczywistej x, ale wówczas jest to funkcja stała

fx=1x=1

Funkcji fx=1x=1 nie będziemy uznawać za funkcję wykładniczą, gdyż ma ona inne własności niż każda z funkcji wykładniczych.

Przykład 1

Naszkicujmy wykres funkcji określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem

fx=2x

W tym celu uzupełnijmy tabelę wartościami funkcji dla kilku wybranych argumentów.

Tabela. Dane
x
-2
-1
-12
0
12
1
2
3
fx=2x

f-2=2-2=122=14 
f-1=2-1=12 
f-12=2-12=1212=12=22 
f0=20=1 
f12=212=2 
f1=21=2 
f2=22=4 
f3=23=8 
Uzupełniamy tabelę, wpisując obliczenia wartości funkcji f.

Tabela. Dane
x
-2
-1
-12
0
12
1
2
3
fx=2x
14
12
22
1
2
2
4
8

Zastanówmy się, jak funkcja f będzie się zachowywać dla bardzo małych argumentów. Na przykład

f-100=2-100=12100

Jest to liczba dodatnia, ale na tyle mała, że nie uda nam się dokładnie zaznaczyć w układzie współrzędnych punktu (-100,12100), który leży na wykresie tej funkcji. Dla jeszcze mniejszych argumentów wartości funkcji będą nadal dodatnie, ale jeszcze bliższe zeru. Każda, bardzo, bardzo bliska zeru liczba dodatnia jest wartością tej funkcji wykładniczej dla pewnego ujemnego argumentu. Geometrycznie oznacza to, że lewa część wykresu funkcji f zbliża się do osi Ox, czyli do prostej o równaniu y=0. Tę prostą nazywamy asymptotą wykresu funkcji.
Krzywa przechodząca przez wyznaczone punkty (te które znaleźliśmy i dowolne inne, które moglibyśmy w ten sposób znaleźć) jest wykresem funkcji wykładniczej fx=2x. Krzywą taką nazywamy krzywą wykładniczą albo ekspotencjalną.

RzHmLpxV9gvsl1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 2

Przypatrzmy się teraz wykresom innych funkcji wykładniczych

fx=ax

w przypadku, gdy a>1.

RKnbM5gR1Li6k1
Aplet Geogebry
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Zauważmy, że wszystkie te funkcje są rosnące, a ich wykresy w całości leżą nad osią Ox. Zatem żadna z tych funkcji nie ma miejsca zerowego. Wszystkie wykresy mają jeden wspólny punkt. Jest to punkt o współrzędnych (0,1), w którym wykres każdej z tych funkcji przecina oś Oy. Jest tak, ponieważ dla dowolnej liczby a>1 mamy a0=1.

Przykład 3

Rozważmy teraz funkcję określoną dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem gx=12x. Korzystając z własności potęg, wzór funkcji g możemy zapisać w postaci

gx=12x=2-1x=2-x

To oznacza, że wykres tej funkcji otrzymamy, znajdując obraz wykresu funkcji fx=2x w symetrii osiowej względem osi Oy.

R14JMhGZYloDk1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że w ten sposób możemy narysować wykres każdej funkcji fx=ax, gdzie a0,1. Wykres każdej takiej funkcji w całości leży nad osią Ox, więc funkcja nie ma miejsc zerowych. Również każdy z wykresów funkcji przecina oś Oy w punkcie (0,1). Jednak każda z takich funkcji jest malejąca.

RjG9rsT9qwiT41
R1TGosNWreG3G1
iy3bhUU7QM_d5e237

Podsumujmy teraz własności funkcji wykładniczych, wykorzystując ich wykresy.

Własności funkcji wykładniczej
Każda funkcja wykładnicza fx=ax ma następujące własności:

  • dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych,

  • zbiorem wartości jest przedział (0,+),

  • asymptotą wykresu funkcji jest prosta o równaniu y=0,

  • nie ma miejsc zerowych,

  • jest monotoniczna, przy czym gdy a>1, to funkcja f jest rosnąca, a gdy 0<a<1, to funkcja jest malejąca,

  • jest różnowartościowa, czyli każdą wartość przyjmuje tylko dla jednego argumentu,

  • wykres funkcji przecina oś Oy w punkcie (0,1).

Omówimy teraz przesunięcia wykresów funkcji wykładniczych wzdłuż osi układu współrzędnych. Jeżeli przesuniemy wykres funkcji wykładniczej f(x)=axp wzdłuż osi Ox, to otrzymamy wykres funkcji o wzorze gx=ax-p. Przypomnijmy, że przesunięcie o np. p=-2, oznacza przesunięcie wykresu w lewo o 2 jednostki.

RPqaVJ6nLZ8MM1
R1NqmXW8uK6HA1

Jeżeli przesuniemy wykres funkcji wykładniczej f(x)=axq wzdłuż osi Oy, to otrzymamy wykres funkcji o wzorze gx=ax+q. W tym przypadku przesunięcie o np. q=-3 oznacza przesunięcie wykresu w dół o 3 jednostki. Asymptotą wykresu funkcji g jest teraz prosta o równaniu y=q.

R1dJUd4DSjYHg1
RDgKxdSTAlEf91
iy3bhUU7QM_d5e315
Przykład 4

Przesuniemy wykres funkcji fx=3xm wzdłuż podanej osi układu współrzędnych.
jeżeli m>0, to wykres przesuwamy o m jednostek w górę.
jeżeli m<0, to wykres przesuwamy o m jednostek w dół.

RjM8R3nvvC4yV1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Narysujemy otrzymany w ten sposób wykres funkcji g oraz zapiszemy jej wzór.

  1. Przesuwając wykres funkcji fx=3x2 wzdłuż osi Ox, otrzymujemy wykres funkcji gx=3x-2.

    RUM1xxXMTEpvq1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  2. Po przesunięciu wykresu funkcji fx=3xm=-3 wzdłuż osi Ox otrzymujemy wykres funkcji o wzorze gx=3x-(-3)=3x+3.

    RdHBTkX7eHcfi1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  3. Po przesunięciu wykresu funkcji wykładniczej fx=3xm=1 wzdłuż osi Oy otrzymamy wykres funkcji gx=3x+1. Ponieważ zbiorem wartości funkcji g jest przedział 1,+, więc można narysować także prostą o równaniu y=1, która jest asymptotą wykresu funkcji g. Rysujemy ją zazwyczaj przerywaną linią.

    R1Lg3ZJ1VGsGj1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  4. Przesunięcie o m=-4 wzdłuż osi Oy oznacza przesunięcie wykresu w dół o 4 jednostki. Wzór funkcji, której wykres otrzymamy po tym przekształceniu, ma postać fx=3x+-4=3x-4, a asymptotą jej wykresu jest prosta y=-4.

    RzDdcOd9vUF3i1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 5

Narysuj wykres funkcji f. Podaj wzór funkcji wykładniczej g, której wykres przesunęliśmy tak, aby otrzymać wykres funkcji f. O ile jednostek i wzdłuż której osi układu współrzędnych wykonaliśmy to przesunięcie? W jakich punktach wykres funkcji f przetnie osie OyOx?

  1. fx=12x-4

  2. fx=2x+3

  3. fx=4x+1

  4. fx=13x-3

  5. Wykres funkcji fx=12x-4to wykres funkcji gx=12xprzesunięty o 4 wzdłuż osi Ox.

    R12zrGXhph3431
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    Obliczając wartość funkcji f dla argumentu x=0, znajdujemy współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji f z osią Oy. Mamy

    f0=120-4=24=16

    Zatem szukanym punktem jest (0,16). Cały wykres leży nad osią Ox, więc nie ma punktów wspólnych z tą osią.

  6. Wzór funkcji f możemy zapisać w postaci fx=2x+3=2x-(-3). Jej wykres powstaje zatem przez przesunięcie wykresu funkcji g(x)=2x-3 wzdłuż osi Ox, czyli o  3 jednostki w lewo.

    RxWhhCmsPemWy1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    Żeby znaleźć punkt przecięcia wykresu z osią Oy, obliczamy wartość funkcji dla argumentu 0, czyli

    f0=20+3=8

    Zatem wykres przecina tę oś w punkcie (0,8). Z osią Ox wykres funkcji nie przecina się, ponieważ cały leży nad tą osią.

  7. Wykres funkcji fx=4x+1 jest wykresem funkcji gx=4x przesuniętym o 1 wzdłuż osi Oy.

    R10zY77X7MAjT1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    f0=40+1=2, zatem punktem przecięcia wykresu funkcji f z osią Oy jest punkt (0,2). Cały wykres leży nad osią Ox, zatem nie istnieje punkt przecięcia wykresu z tą osią.

  8. Wykres funkcji fx=13x-3 powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji gx=13x-3 wzdłuż osi Oy.

    RzHr9oYXlqOHp1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    Ponieważ wykres funkcji g przecina oś Oy w punkcie (0,1), więc punktem przecięcia funkcji f z osią Oy jest punkt (0,-2). Żeby wyznaczyć punkt przecięcia tego wykresu z osią Ox, obliczymy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0, czyli 0=13x-3. Stąd 13x=3, czyli

    13x=13-1

    Zatem x=-1. Punkt przecięcia z osią Ox to punkt (-1,0).

R1YzI2Ic51FBG1
RshoB6GCkFfvx1
iy3bhUU7QM_d5e443
Przykład 6

Narysujemy wykres funkcji

  1. fx=-4x

  2. fx=-12x+2

  3. Wykres funkcji fx=-4x jest symetryczny względem osi Ox do wykresu funkcji gx=4x.

    R1NKfzYXhM0jF1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  4. Żeby sporządzić wykres funkcji fx=-12x+2, narysujemy najpierw wykres funkcji gx=12x. Następnie znajdziemy wykres do niego symetryczny względem osi Ox. Jest to wykres funkcji hx=-12x, który z kolei przesuniemy o 2 wzdłuż osi Oy. W ten sposób otrzymamy wykres funkcji f.

    R1aWQ1voFlJ8c1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 7

Narysujmy wykres funkcji

  1. fx=933x

  2. fx=12x+12x

  3. Przekształćmy wzór funkcji f, korzystając z własności potęg
    fx=933x=32312 3x=32+12 +x=3x+212 Zatem, żeby narysować wykres funkcji f, przesuwamy wykres funkcji gx=3x-212  wzdłuż osi Ox.

    RqrRxaKpcnj5V1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  4. Zapiszmy wzór funkcji w następujący sposób fx=12x+12x=212x=12-112x=12x-1. Zatem rysujemy wykres funkcji gx=12x, a następnie przesuwamy go o 1 wzdłuż osi Ox.

    RrV8Q2Kea7W9g1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 8

Wyznaczymy wzór funkcji wykładniczej fx=ax, mając dany punkt -2,149 leżący na jej wykresie.
Skoro punkt -2,149 leży na wykresie funkcji f, więc dla argumentu x=-2 funkcja przyjmuje wartość f-2=149. Mamy więc

149=a-2

Po przekształceniu równanie to przyjmuje postać 7-2=a-2, stąd a=7. Zatem wzór funkcji f ma postać fx=7x.

Przykład 9

Sprawdzimy, czy punkt A=(4,4) leży na wykresie funkcji fx=2x.
Wystarczy sprawdzić, czy dla argumentu x=4 funkcja f przyjmie wartość 4. Ponieważ f4=24=22=4, więc punkt A leży na wykresie funkcji f.

Przykład 10

Jaka jest największa, a jaka najmniejsza wartość funkcji wykładniczej fx=5x w przedziale -2,0?
Funkcja fx=5x jest rosnąca, ponieważ 5>1, a dla a>1 funkcja wykładnicza gx=ax jest rosnąca. Zatem najmniejszą wartość funkcja osiąga dla najmniejszego argumentu z przedziału -2,0, czyli dla x=-2, a największą dla największego argumentu z tego przedziału, czyli dla x=0. Mamy więc wartość najmniejszą f-2=5-2=152=15 oraz wartość największą f0=50=1 w przedziale -2,0.

Przykład 11

Określ monotoniczność funkcji fx=32xi na tej podstawie porównaj liczby 3210oraz 3220.
Ponieważ a=320,1, więc funkcja fx=32xjest malejąca. Zatem dla mniejszego argumentu przyjmuje wartość większą. Ponieważ 10<20, więc 3210>3220.

Przykład 12

Wyznaczymy wszystkie argumenty funkcji fx=13x, dla których wartość funkcji jest

  1. równa 81

  2. większa od 81

  3. co najmniej równa 81

Narysujmy wykres funkcji fx=13x.

R1NYjQn3wnCyx1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  1. Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, czyli każda wartość y(0,+) jest przyjmowana tylko dla jednego argumentu. Szukamy takiego argumentu x, dla którego fx=81, czyli 13x=81. Mamy 13x=13-4, stąd x=-4.

    R1ORUMmXApW1B1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  2. Funkcja fx=13x jest malejąca, czyli wartości większe od 81 funkcja f przyjmuje dla argumentów mniejszych od x=-4. Zatem fx>81 dla x-,-4.

    R1Ub5hsaJBqKw1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  3. Wartości co najmniej równe 81 funkcja fx=13x przyjmuje dla argumentów mniejszych lub równych -4. Zatem f(x)81 dla x-,-4.

iy3bhUU7QM_d5e603

Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej. Zadania

Rd6HURrPfZrsk1
Ćwiczenie 1
zadanie interaktywne
A
Ćwiczenie 2
R1KR3zxvJxxlc1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RdI7luMRw5aSC
Ćwiczenie 3
zadanie interaktywne
RDsJ0mQ7Tv4GY
Ćwiczenie 4
zadanie interaktywne
classicmobile
Ćwiczenie 5

Na wykresie funkcji fx=13x leży punkt o współrzędnych

RPfGHgPM0AIFF
static
A
Ćwiczenie 6
RWjLtjtmCJika1
E-podręczniki z matematyki
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 7
R1XPqDB2opJMv1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
iy3bhUU7QM_d5e701
classicmobile
Ćwiczenie 8

Punkt A=(-1,3) leży na wykresie funkcji

RBOboY4vvwJ4O
static
classicmobile
Ćwiczenie 9

Wskaż wzór funkcji rosnącej.

R8LUnqF7V9NUs
static
classicmobile
Ćwiczenie 10

Zbiorem wartości funkcji fx=0,5x określonej dla każdego x-1,2 jest przedział

R2lEY16iRScPx
static
classicmobile
Ćwiczenie 11

Wyłącznie dodatnie wartości przyjmuje funkcja

R1Zd8ntWpXhrs
static
classicmobile
Ćwiczenie 12

Na wykresie funkcji wykładniczej fx=ax leży punkt (-2,3). Wówczas

RhQQqBzvbIbw0
static
classicmobile
Ćwiczenie 13

Po przesunięciu wykresu funkcji fx=23x-3 wzdłuż osi Ox otrzymamy wykres funkcji określonej wzorem

RWy3FqGUlkt4H
static
classicmobile
Ćwiczenie 14

Wzór funkcji g, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji fx=228xwzględem osi Oy, ma postać

R4gCSnArz7zv1
static
classicmobile
Ćwiczenie 15

Funkcja wykładnicza fx=10x nie przyjmuje wartości

RB5pQEntunG3Z
static
iy3bhUU7QM_d5e1091
classicmobile
Ćwiczenie 16

Wykres funkcji fx=3x-3 przecina oś Oy w punkcie

R1FSh4wbutDPn
static
A
Ćwiczenie 17

Znajdź punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Oy. Narysuj wykres tej funkcji.

  1. fx=12x-3

  2. fx=3x+2

  3. fx=4x-3

A
Ćwiczenie 18

Narysuj wykres funkcji

  1. fx=-3x

  2. fx=-23x+1

A
Ćwiczenie 19

Narysuj wykres funkcji

  1. fx=2x8

  2. fx=3x+3x+3x

  3. fx=2x+4+2x+6-482x

A
Ćwiczenie 20

Na wykresie funkcji wykładniczej fx=ax leży punkt A=-3,1125 . Wyznacz wzór tej funkcji. Określ jej monotoniczność.

A
Ćwiczenie 21

Na wykresie funkcji wykładniczej fx=ax leży punkt A=(-2,9). Czy na wykresie tej funkcji leży również punkt B=12,33?

A
Ćwiczenie 22

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji wykładniczej fx=ax oraz zaznaczony jest jeden z punktów leżących na tym wykresie . Wyznacz wzór funkcji f.

RepF4gIfr9RLy1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 23

Wyznacz zbiór wartości funkcji

  1. fx=17x+7

  2. fx=3-x

  3. fx=-1,5x-3

  4. fx=13x2781+13

iy3bhUU7QM_d5e1403
A
Ćwiczenie 24

Połącz wykresy funkcji z ich wzorami

  1. fx=1,5x

  2. fx=0,7x

  3. fx=-0,8x

  4. fx=-2x

  5. fx=0,5x-2

  6. fx=1,6x+2

  7. R1RV76kBC7dbb1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  8. R1HW4dnPyScxm1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  9. R1K4mDv0uopa51
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  10. R1WF534mlPNhZ1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  11. R1ASoMo4vCGmw1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

  12. R14P90Vl7uQYE1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

A
Ćwiczenie 25

Jaka jest największa, a jaka najmniejsza wartość funkcji fx=14x w przedziale -12,32?

A
Ćwiczenie 26

Wykres której funkcji: fx=-2x+2, gx=5x-52 czy hx=34x+6 przetnie oś Oy w punkcie najdalej leżącym od początku układu współrzędnych?

A
Ćwiczenie 27

Dana jest funkcja fx=23x. Oblicz wartość wyrażenia f(x+2)f(x-2).

A
Ćwiczenie 28

Uporządkuj rosnąco liczby 0,93, 0,910,0,9π, 0,93π.

A
Ćwiczenie 29

Dla jakiego argumentu funkcja fx=3xprzyjmie wartość 19?

A
Ćwiczenie 30

Wyznacz wszystkie argumenty, dla których funkcja fx=32x przyjmuje wartości mniejsze niż funkcja gx=23x.

R1dNjaMKo7vpX1
"Animacja przedstawia wykres funkcji wykładniczej f(x) = 2 do potęgi x w układzie współrzędnych. W kolejnych krokach wykres funkcji f(x): przekształcamy w symetrii osiowej względem osi OX i otrzymujemy wykres funkcji g(x) = -f(x) =-2 do potęgi x
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
R6gBCnR3FksYL1
"Animacja przedstawia wykresy czterech funkcji wykładniczych w układzie współrzędnych. W kolejnych krokach należy odczytać z poszczególnych wykresów: wartość funkcji dla danego argumentu
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.