Pojęcie logarytmu

Rozpatrzmy funkcję wykładniczą fx=ax, gdzie a jest ustaloną dodatnią liczbą rzeczywistą, różną od 1.
Jak wiemy, funkcja f jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x, a zbiorem wartości tej funkcji jest przedział 0, +. Ponadto dla ustalonej dodatniej wartości y istnieje dokładnie jeden argument x, taki że ax=y.

R6b5S1swMeqz91
"Animacja przedstawia wykres funkcji rosnącej f(x) =2 po potęgi x leżącej w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Zaznaczono zależności: 2 do potęgi x =4 gdy x =2
Przykład 1

Korzystając z własności funkcji wykładniczej, wyznaczymy, o ile istnieją, wszystkie argumenty, dla których

  1. funkcja wykładnicza fx=2x przyjmuje wartość 32

  2. funkcja wykładnicza fx=3x przyjmuje wartość 19

  3. funkcja wykładnicza fx=4x przyjmuje wartość -16

  4. funkcja wykładnicza fx=15x przyjmuje wartość 5

  5. funkcja wykładnicza fx=34x przyjmuje wartość 1

Rozwiązanie.

  1. Ponieważ 25=32, więc 2x=32 wtedy i tylko wtedy, gdy x=5.

  2. Ponieważ 3-2=19, więc 3x=19 wtedy i tylko wtedy, gdy x=-2.

  3. Funkcja wykładnicza fx=4x przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, zatem nie istnieje taki argument x, dla którego 4x=-16.

  4. Ponieważ 15-1=5, więc 15x=5 wtedy i tylko wtedy, gdy x=-1.

  5. Ponieważ 340=1, więc 34x=1 wtedy i tylko wtedy, gdy x=0.

Przykład 2

Argument x, dla którego funkcja wykładnicza fx=2x przyjmuje wartość 9, jest rozwiązaniem równania 2x=9. Z wykresu funkcji f odczytujemy, że x jest liczbą z przedziału 3,4.
Argument ten oznaczamy symbolicznie

x=log29

a zapis log29 czytamy „logarytm przy podstawie dwa liczby dziewięć” lub krócej „logarytm przy podstawie dwa z dziewięciu”.
Zauważmy, że z przyjętej umowy wynika równość

2log29=9

Uwaga. Liczba log29 nie jest wymierna. Gdybyśmy założyli przeciwnie, że istnieją takie dodatnie liczby całkowite pq, dla których prawdziwa jest równość log29=pq, to prawdą byłoby również, że 2pq=9, stąd 2p=9q. Otrzymana równość jest sprzeczna, bo jej lewa strona jest liczbą parzystą (jako iloczyn p dwójek), a prawa strona jest liczbą nieparzystą (jako iloczyn q dziewiątek).
Weźmy dodatnią liczbę rzeczywistą a, różną od 1. Przyjmujemy, że argument b, dla którego funkcja wykładnicza fx=ax przyjmuje wartość c, to

b=logac

Ponieważ funkcja wykładnicza f przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, to logarytm określamy tylko dla dodatniej liczby c.

Logarytm
Definicja: Logarytm

Logarytmem logac dodatniej liczby c przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a nazywamy wykładnik b potęgi, do której należy podnieść a, aby otrzymać c.
logac=b wtedy i tylko wtedy, gdy ab=c.

Zapamiętaj!

Z definicji wynika
logaac=c oraz  alogac=c
Liczbę c w zapisie logac nazywamy liczbą logarytmowaną.
Logarytm log10x można też zapisać jako logx lub lgx.Taki logarytm nazywamy logarytmem dziesiętnym.

RZeKdY92D3fJi1
"Animacja przedstawia funkcję wykładniczą f(x) =2 do potęgi x. Korzystając z wykresu tej funkcji możemy wyznaczyć argumenty, dla których wartość funkcji jest równa: 2 do potęgi x =2 gdy x =1
Przykład 3

Każdą z podanych liczb zapiszemy bez użycia logarytmu.

  1. log24

  2. log381

  3. log1000000

  4. log1231

  5. log1717

Bezpośrednio z definicji logarytmu wynika, że logaac=c. Korzystając z tego spostrzeżenia, mamy:

  1. log24=log222=2

  2. log381=log334=4

  3. log1000000=log106=6

  4. log1231=log1231230=0

  5. log1717=log17171=1

Zauważmy, że dla każdej dodatniej i różnej od 1 liczby rzeczywistej a

loga1=logaa0=0

oraz

logaa=logaa1=1
Przykład 4

Uzasadnimy, że każda z podanych liczb jest ujemną liczbą całkowitą.

  1. log616

  2. log218

  3. log319

  4. log50,2

  5. log0,00001

  6. Ponieważ 16=6-1, więc log616=log66-1=-1.

  7. Ponieważ 18=123=2-3, więc log218= log22-3=-3.

  8. Ponieważ 19=132=3-2, więc log319= log33-2=-2.

  9. Ponieważ 0,2=15=5-1, więc log50,2= log55-1=-1.

  10. Ponieważ 0,00001=1100 000=1105=10-5, więc log0,00001=log 10-5=-5.

Przykład 5

Zapiszemy liczby bez użycia logarytmu.

  1. log17149

  2. log23827

  3. log4554

  4. log520,16

  5. Ponieważ 149=(17)2, więc log17149=log17172=2.

  6. Ponieważ 827=233, więc log23827=log23233=3.

  7. Ponieważ 54-1=45, więc log4554=log4545-1=-1.

  8. Ponieważ 0,16=16100=425=252=52-2, więc log520,16=log5252-2=-2.

Przykład 6

Każdą z podanych liczb zapiszemy bez użycia logarytmu.

  1. log22

  2. log103

  3. log93

  4. log82

  5. Ponieważ 2=212, więc log22=log2212=12.

  6. Ponieważ 103=1013, więc log103=log1013=13.

  7. Ponieważ 9=32, więc 3=912, co oznacza, że log93=log9912=12.

  8. Ponieważ 23=8, więc 2=813, co oznacza, że log82=log8813=13.

iUebUJTEGs_d5e343

Własności logarytmu

Przykład 7

Rozwiążemy równanie

  1. 3x=5

  2. 2x=911

  3. 7x=14

  4. 10x=2

Korzystamy z definicji logarytmu.

  1. Argument, dla którego funkcja wykładnicza fx=3x przyjmuje wartość 5, to x=log35.

  2. Argument, dla którego funkcja wykładnicza fx=2x przyjmuje wartość 911, to x= log2911.

  3. Argument, dla którego funkcja wykładnicza fx=7x przyjmuje wartość 14, to x=log714.

  4. Argument, dla którego funkcja wykładnicza fx=10x przyjmuje wartość 2, to x=log2.

Przykład 8

Każdą z podanych liczb zapiszemy bez użycia logarytmu.

  1. 2log23

  2. 7log711

  3. 1000log2

  4. 15log56

W definicji logarytmu zapisaliśmy, że dla dodatniej liczby c przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a prawdziwa jest równość alogac=c. Wobec tego

  1. 2log23=3

  2. 7log711=11

  3. 1000log2=103log2=103log2=10log 23=23=8

  4. 15log56=5-1log56=5-log56=5log56-1=6-1=16

Przykład 9

Wyznaczymy wszystkie liczby x, dla których określone jest wyrażenie

  1. log3x-5

  2. log22x+7

  3. log153x-x2

  4. logx2+2x-2

Logarytm, którego podstawa jest liczbą dodatnią i różną od 1, jest określony wyłącznie dla argumentów dodatnich. Wobec tego

  1. wyrażenie log3x-5 jest określone tylko dla tych x, które spełniają nierówność x-5>0, czyli dla x>5.

  2. wyrażenie log22x+7 jest określone tylko dla tych x, które spełniają nierówność 2x+7>0, czyli dla x>-72.

  3. wyrażenie log153x-x2 jest określone tylko dla tych x, które spełniają nierówność 3x-x2>0.
    Zatem
    x2-3x<0xx-3<0Po rozwiązaniu otrzymanej nierówności kwadratowej stwierdzamy, że x0,3.

  4. wyrażenie logx2+2x-2 jest określone tylko dla tych x, które spełniają nierówność x2+2x-2>0. Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej wyrażenie x2+2 jest dodatnie, więc nierówność x2+2x-2>0 jest równoważna nierówności x-2>0. Zatem wyrażenie logx2+2x-2 jest określone wyłącznie dla x>2.

Przykład 10

Wyznaczymy wszystkie liczby x, dla których wyrażenie logx9 ma wartość 2.
Podstawa x logarytmu zapisanego po lewej stronie równania logx9=2 musi być liczbą dodatnią i różną od 1.
Korzystając z definicji logarytmu, stwierdzamy, że logx9=2 wtedy i tylko wtedy, gdy x2=9.
Wobec tego x=3 lub x=-3.
Tylko pierwsza z tych liczb spełnia warunki określone dla podstawy logarytmu, co oznacza, że jedyną liczbą, dla której wyrażenie logx9 ma wartość 2, jest x=3.

iUebUJTEGs_d5e470
classicmobile
Ćwiczenie 1

Dane są liczby a= log28, b=log39, c=log10. Wówczas

RXPwgpfMGi1ss
static
classicmobile
Ćwiczenie 2

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R9jWD3qpzt91T
static
classicmobile
Ćwiczenie 3

Które z podanych wyrażeń jest określone dla każdej dodatniej liczby całkowitej x?

R1MLIZmCVNkQT
static
classicmobile
Ćwiczenie 4

Funkcja wykładnicza określona jest wzorem fx=5x. Wówczas

RXvaq6JUwASo6
static
classicmobile
Ćwiczenie 5

Które z podanych liczb są całkowite?

R1KDxSZPWIcjr
static
classicmobile
Ćwiczenie 6

Funkcja wykładnicza określona wzorem fx=4x przyjmuje wartość 12 dla argumentu

R11fiDQ8qJitW
static
classicmobile
Ćwiczenie 7

Suma log1 000+log71 jest równa

RrLIqUYV5LpXN
static
classicmobile
Ćwiczenie 8

Liczba t jest równa log26. Wtedy

R1BKTEWBeqVpK
static
classicmobile
Ćwiczenie 9

Różnica log1525-log3181 jest równa

RkCD5dPria4rv
static
classicmobile
Ćwiczenie 10

Wyrażenie log133-x jest określone dla wszystkich x, które spełniają warunek

R1LiJsmySo8yQ
static
iUebUJTEGs_d5e961
classicmobile
Ćwiczenie 11

Dane są liczby a=log1212, b=log124, c=log1218, d=log1216. Największą z nich jest

RBGuU6jf1cKy6
static
classicmobile
Ćwiczenie 12

O liczbie x wiadomo, że log9x=12. Wtedy

RYtj92LYDKlEg
static
classicmobile
Ćwiczenie 13

Liczba log3238 jest równa

R1ZQsrETfU6Qc
static
A
Ćwiczenie 14

Zapisz każdą z podanych liczb, nie używając logarytmu.

  1. log636

  2. log7343

  3. log121

  4. log2727

A
Ćwiczenie 15

Rozwiąż równanie.

  1. 2x=5

  2. 3x=10

  3. 7x=2

  4. 10x=99

A
Ćwiczenie 16

Zapisz podaną liczbę bez użycia logarytmu.

  1. 3log35

  2. 2log211

  3. 5log54

  4. 10log 7

A
Ćwiczenie 17

Uzasadnij, że podana liczba jest całkowita.

  1. log80,125

  2. log4164

  3. log31243

  4. log21128

A
Ćwiczenie 18

Zapisz podaną liczbę bez użycia logarytmu.

  1. log155

  2. log1981

  3. log1211024

  4. log3223

A
Ćwiczenie 19

Oblicz i zapisz wynik bez użycia logarytmu.

  1. log4256-log1000

  2. 17log17117-32log2132

iUebUJTEGs_d5e1390
A
Ćwiczenie 20

Oblicz i zapisz wynik bez użycia logarytmu.

  1. 9log38

  2. 100log11

A
Ćwiczenie 21

Wyznacz wszystkie liczby x, dla których określone jest wyrażenie.

  1. log7-4x

  2. log21x+3

  3. log3x2-4

  4. logx2-x

B
Ćwiczenie 22

Wyznacz wszystkie liczby x, dla których wyrażenie logxx-310 ma wartość 1.

B
Ćwiczenie 23

Wykaż, że 5log164+7log255=6.

B
Ćwiczenie 24

Wykaż, że 41+log25=100.

B
Ćwiczenie 25

Wykaż, że log55+log663+log774=1112.

B
Ćwiczenie 26

Liczby dodatnie a, b, c spełniają warunek log3a=log5b=log7c=4. Wykaż, że abc=11 025.

B
Ćwiczenie 27

Dane są liczby a=log23 oraz b=log49. Wykaż, że liczby ab są równe.

B
Ćwiczenie 28

Dane są liczby a=log57, b=log7 oraz c=log5. Wykaż, że ca=b.

A
Ćwiczenie 29

Rozstrzygnij, czy istnieją takie dodatnie liczby całkowite pq, dla których zachodzi równość log35=pq.