Logarytm iloczynu

Przykład 1

Wykażemy, że

\log_{8} 2 + \log_{8} 32 = 2

Oznaczmy $c = \log_{8} 2$ oraz $d = \log_{8} 32$ . Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy $8^{c} = 2$ oraz $8^{d} = 32$ . Zatem

\log_{8} (8^{c} \cdot 8^{d}) = \log_{8} (2 \cdot 32) = \log_{8} 64 = \log_{8} 8^{2} = 2

Równocześnie

\log_{8} (8^{c} \cdot 8^{d}) = \log_{8} 8^{c + d} = c + d

Zachodzi więc równość

c + d = 2

czyli stosując przyjęte oznaczenia

\log_{8} 2 + \log_{8} 32 = 2

W ten sposób dowód został zakończony.

Logarytm iloczynu

Twierdzenie: Logarytm iloczynu

Jeżeli liczba $a$ jest dodatnia i różna od $1$ , to dla dowolnych liczb dodatnich $x$ i $y$

\log_{a} (x \cdot y) = \log_{a} x + \log_{a} y

Dowód
Oznaczmy $c = \log_{a} x$ oraz $d = \log_{a} y$ . Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy $a^{c} = x$ oraz $a^{d} = y$ . Zatem

\log_{a} (x \cdot y) = \log_{a} (a^{c} \cdot a^{d}) = \log_{a} a^{c + d} = c + d

Stosując przyjęte oznaczenia, mamy

\log_{a} (x \cdot y) = \log_{a} x + \log_{a} y

To kończy dowód.

RQixmbNEO6ZzK1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Wykażemy, że

$lo g_{9} 3 + lo g_{9} 243 = 3$
$lo g_{125} \frac{1}{5} + lo g_{125} 625 = 1$
$lo g_{12} 9 + lo g_{12} 16 = 2$
$\log 2 + \log 25 + \log 0,002 = - 1$

Rozwiązanie

Korzystamy z twierdzenia o logarytmie iloczynu.
$lo g_{9} 3 + lo g_{9} 243 = lo g_{9} (3 \cdot 243) = lo g_{9} 729 = lo g_{9} 9^{3} = 3$
$lo g_{125} \frac{1}{5} + lo g_{125} 625 = lo g_{125} (\frac{1}{5} \cdot 625) = lo g_{125} 125 = 1$
$lo g_{12} 9 + lo g_{12} 16 = lo g_{12} (9 \cdot 16) = lo g_{12} 144 = lo g_{12} 1 2^{2} = 2$
Ponieważ $\log 2 + \log 25 = \log (2 \cdot 25) = \log 50$ , więc $\log 2 + \log 25 + \log 0,002 = \log 50 + \log \frac{1}{500} = \log (50 \cdot \frac{1}{500}) = \log \frac{1}{10} = \log 1 0^{- 1} = - 1$ .

il6ZbItQlA_d5e201

Logarytm ilorazu

Przykład 3

Wykażemy, że $lo g_{3} 135 - lo g_{3} 5 = 3$ .
Oznaczmy $c = lo g_{3} 135$ oraz $d = lo g_{3} 5$ . Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy

3^{c} = 135

3^{d} = 5

Zatem

lo g_{8} (3^{c} : 3^{d}) = lo g_{3} (135 : 5) = lo g_{3} 27 = lo g_{3} 3^{3} = 3

Równocześnie

lo g_{8} (3^{c} : 3^{d}) = lo g_{3} 3^{c - d} = c - d

Zachodzi więc równość

c - d = 3

czyli stosując przyjęte oznaczenia

lo g_{3} 135 - lo g_{3} 5 = 3

W ten sposób dowód został zakończony.

Logarytm ilorazu

Twierdzenie: Logarytm ilorazu

Przy dodatniej i różnej od $1$ podstawie $a$ dla dowolnych liczb $x > 0$ i $y > 0$ prawdziwa jest równość

lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y

Dowód
Oznaczmy $c = lo g_{a} x$ oraz $d = lo g_{a} y$ . Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy $a^{c} = x$ oraz $a^{d} = y$ . Zatem

lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} \frac{a^{c}}{a^{d}} = lo g_{a} a^{c - d} = c - d

czyli stosując przyjęte oznaczenia

lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y

To kończy dowód.

R1HPDBTPhg3K51

Przykład 4

Wykażemy, że

$lo g_{16} 2 - lo g_{16} 32 = - 1$
$lo g_{49} 343 - lo g_{49} \frac{1}{7} = 2$
$lo g_{4} 192 - lo g_{4} 3 = 3$
$\log 1750 - \log \frac{7}{40} = 4$

Rozwiązanie
Korzystamy z twierdzenia o logarytmie ilorazu.

$lo g_{16} 2 - lo g_{16} 32 = lo g_{16} \frac{2}{32} = lo g_{16} \frac{1}{16} = lo g_{16} 1 6^{- 1} = - 1$
$lo g_{49} 343 - lo g_{49} \frac{1}{7} = lo g_{49} \frac{343}{\frac{1}{7}} = lo g_{49} (343 \cdot 7) = lo g_{49} 2401 = lo g_{49} 4 9^{2} = 2$
$lo g_{4} 192 - lo g_{4} 3 = lo g_{4} \frac{192}{3} = lo g_{4} 64 = lo g_{4} 4^{3} = 3$
$\log 1750 - \log \frac{7}{40} = \log \frac{1750}{\frac{7}{40}} = \log (1750 \cdot \frac{40}{7}) = \log 10 000 = \log 1 0^{4} = 4$

il6ZbItQlA_d5e329

Logarytm potęgi

Przykład 5

Wykażemy, że $lo g_{5} 8 = 3 lo g_{5} 2$ .
Oznaczmy $c = lo g_{5} 2$ . Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy $5^{c} = 2$ . Zatem

lo g_{5} 8 = lo g_{5} 2^{3} = lo g_{5} {(5^{c})}^{3} = lo g_{5} 5^{3 \cdot c} = 3 \cdot c = 3 lo g_{5} 2

W ten sposób dowód został zakończony.

Logarytm potęgi

Twierdzenie: Logarytm potęgi

Przy dodatniej i różnej od $1$ podstawie $a$ dla dowolnej liczby $x > 0$ prawdziwa jest równość

lo g_{a} x^{r} = r \cdot lo g_{a} x

Dowód
Oznaczmy $c = lo g_{a} x$ . Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy $a^{c} = x$ . Zatem

lo g_{a} x^{r} = lo g_{a} {(a^{c})}^{r} = lo g_{a} a^{r \cdot c} = r \cdot c

Stosując przyjęte oznaczenia mamy

lo g_{a} x^{r} = r \cdot lo g_{a} x

To kończy dowód.

RokVyHQgqYUef1

Przykład 6

Wykażemy, że

$lo g_{5} 16 = 4 lo g_{5} 2$
$\log 81 = 4 \log 3$
$lo g_{3} \frac{1}{7} = - lo g_{3} 7$
$lo g_{6} 0,04 = - 2 lo g_{6} 5$

Rozwiązanie
Korzystamy z twierdzenia o logarytmie potęgi.

$lo g_{5} 16 = lo g_{5} 2^{4} = 4 lo g_{5} 2$
$\log 81 = \log 3^{4} = 4 \log 3$
$lo g_{3} \frac{1}{7} = lo g_{3} 7^{- 1} = - 1 \cdot lo g_{3} 7 = - lo g_{3} 7$
$lo g_{6} 0,04 = lo g_{6} \frac{4}{100} = lo g_{6} \frac{1}{25} = lo g_{6} 5^{- 2} = - 2 lo g_{6} 5$

Definicja logarytmu. Własności logarytmu

Zadania

Działania na logarytmach. Przykłady

Logarytm iloczynu

Logarytm ilorazu

Logarytm potęgi