Logarytm iloczynu

Przykład 1

Wykażemy, że

log82+log832=2

Oznaczmy c=log82 oraz d=log832. Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy 8c=2 oraz 8d=32. Zatem

log88c8d=log8232=log864=log882=2

Równocześnie

log88c8d=log88c+d=c+d

Zachodzi więc równość

c+d=2

czyli stosując przyjęte oznaczenia

log82+log832=2

W ten sposób dowód został zakończony.

Logarytm iloczynu
Twierdzenie: Logarytm iloczynu

Jeżeli liczba a jest dodatnia i różna od 1, to dla dowolnych liczb dodatnich xy

logaxy=logax+logay

Dowód
Oznaczmy c=logax oraz d=logay. Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy ac=x oraz ad=y. Zatem

logaxy=logaacad=logaac+d=c+d

Stosując przyjęte oznaczenia, mamy

logaxy=logax+logay

To kończy dowód.

RQixmbNEO6ZzK1
Animacja
Przykład 2

Wykażemy, że

  1. log93+log9243=3

  2. log12515+log125625=1

  3. log129+log1216=2

  4. log2+log25+log0,002=-1

Rozwiązanie

  1. Korzystamy z twierdzenia o logarytmie iloczynu.

  2. log93+log9243=log93243=log9729=log993=3

  3. log12515+log125625=log12515625=log125125=1

  4. log129+log1216=log12916=log12144=log12122=2

  5. Ponieważ log 2+log25=log225=log50, więc log2+log25+log0,002=log50+log 1500=log 501500=log110=log10-1=-1

il6ZbItQlA_d5e201

Logarytm ilorazu

Przykład 3

Wykażemy, że log3135-log35=3.
Oznaczmy c=log3135 oraz d=log35. Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy

3c=135
3d=5

Zatem

log83c:3d=log3135:5=log327=log333=3

Równocześnie

log83c:3d=log33c-d=c-d

Zachodzi więc równość

c-d=3

czyli stosując przyjęte oznaczenia

log3135-log35=3

W ten sposób dowód został zakończony.

Logarytm ilorazu
Twierdzenie: Logarytm ilorazu

Przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a dla dowolnych liczb x>0y>0 prawdziwa jest równość

logaxy=logax-logay

Dowód
Oznaczmy c=logax oraz d=logay. Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy ac=x oraz ad=y. Zatem

logaxy=logaacad=logaac-d=c-d

czyli stosując przyjęte oznaczenia

logaxy=logax-logay

To kończy dowód.

R1HPDBTPhg3K51
Animacja
Przykład 4

Wykażemy, że

  1. log162-log1632=-1

  2. log49343-log4917=2

  3. log4192-log43=3

  4. log1750-log740=4

Rozwiązanie
Korzystamy z twierdzenia o logarytmie ilorazu.

  1. log162-log1632=log16232=log16116=log1616-1=-1 

  2. log49343-log4917=log4934317=log493437=log492401=log49492=2

  3. log4192-log43=log41923=log464=log443=3

  4. log1750-log740=log1750740=log1750407=log10 000=log104=4

il6ZbItQlA_d5e329

Logarytm potęgi

Przykład 5

Wykażemy, że log58=3log52.
Oznaczmy c=log52. Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy 5c=2. Zatem

log58=log523=log55c3=log553c=3c=3log52

W ten sposób dowód został zakończony.

Logarytm potęgi
Twierdzenie: Logarytm potęgi

Przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a dla dowolnej liczby x>0 prawdziwa jest równość

logaxr=rlogax

Dowód
Oznaczmy c=logax. Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy ac=x. Zatem

logaxr=logaacr=logaarc=rc

Stosując przyjęte oznaczenia mamy

logaxr=rlogax

To kończy dowód.

RokVyHQgqYUef1
Animacja
Przykład 6

Wykażemy, że

  1. log516=4log52

  2. log81=4log3

  3. log317=-log37

  4. log60,04=-2log65

Rozwiązanie
Korzystamy z twierdzenia o logarytmie potęgi.

  1. log516=log524=4log52

  2. log81=log34=4log3

  3. log317=log37-1=-1log37=-log37

  4. log60,04=log64100=log6125=log65-2=-2log65