Zadania

Ćwiczenie 1

Rb4vraOCndWOB1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

R10PGlNr4t6ck1

Przeciągnij i upuść.

$1$ , $- 2$ , $2$ , $4$ , $- 5$ , $5$ , $- 1$ , $- 3$ , $3$

$\log_{2} 4 =$ ............
$\log_{\frac{1}{2}} 2 =$ ............
$\log_{\frac{1}{3}} 27 =$ ............
$\log_{\frac{1}{4}} 16 =$ ............
$\log_{\sqrt{2}} 4 =$ ............
$\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \sqrt{32} =$ ............
$\log_{5} 125$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

R16JNycZM56Nk1

Przeciągnij i upuść.

$3$ , $1 \frac{3}{4}$ , $26,$ $- 13 \frac{1}{4}$ , $13,$ $2,$ $15$ , $1,$ , $17$

$\log_{2} 2 + \log_{2} 4 =$ ............
$\log_{2} 16 - \log_{2} 4 =$ ............
$\log_{3} 5 + \log_{3} 6 - \log_{3} 10 =$ ............
$\log_{4} \sqrt{2} + 2 \log_{4} 2 \sqrt{2} =$ ............
${\log^{2}}_{3} \sqrt{3} - 3 \log_{3} 81 - \log_{3} 3 \sqrt{3} =$ ............
$3^{\log_{3} 26} =$ ............
$3^{\log_{3} 26 - \log_{3} 2} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

R9453pY2xFF341

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

RJqmqDvlcl5Jx1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 6

Dane są liczby $a = lo g_{8} 2$ , $b = lo g_{8} 32$ , $c = lo g_{8} 4$ . Rozstrzygnij, czy równość jest prawdziwa, czy fałszywa.

Rr3j043azfJgc

$a + b = 2$
$a + c = 1$
$b - c = 1$
$a + b + c = 3$

static

Ćwiczenie 6

Dane są liczby $a = lo g_{8} 2$ , $b = lo g_{8} 32$ , $c = lo g_{8} 4$ . Rozstrzygnij, czy równość jest prawdziwa, czy fałszywa.

RWYxEeWNzOzAM

$a + b = 2$
$a + c = 1$
$b - c = 1$
$a + b + c = 3$

classicmobile

Ćwiczenie 7

Która z podanych niżej liczb jest całkowita?

RNTM6moLwDU4o

$A = lo g_{9} 3 - lo g_{9} 243$
$B = lo g_{12} 2 + lo g_{12} 3 + lo g_{12} 24$
$C = \log (0,25) + \log (0,008) + \log (0,5)$
$D = lo g_{\frac{1}{6}} 4 - (lo g_{\frac{1}{6}} 5 - lo g_{\frac{1}{6}} 45)$

static

Ćwiczenie 7

Która z podanych niżej liczb jest całkowita?

RzIiDgP59UnVy

$A = lo g_{9} 3 - lo g_{9} 243$
$B = lo g_{12} 2 + lo g_{12} 3 + lo g_{12} 24$
$C = \log (0,25) + \log (0,008) + \log (0,5)$
$D = lo g_{\frac{1}{6}} 4 - (lo g_{\frac{1}{6}} 5 - lo g_{\frac{1}{6}} 45)$

classicmobile

Ćwiczenie 8

Funkcja wykładnicza określona jest wzorem $f (x) = 3^{x}$ . Wówczas

Rl4m27a52jy5L

$f (x) = 6$ dla $x = 1 + lo g_{3} 2$
$f (x) = 625$ dla $x = 4 lo g_{3} 5$
$f (x) = \frac{10}{9}$ dla $x = lo g_{3} 10 - 2$
$f (x) = \frac{27}{32}$ dla $x = 3 - 5 lo g_{3} 2$

static

Ćwiczenie 8

Funkcja wykładnicza określona jest wzorem $f (x) = 3^{x}$ . Wówczas

RfIW0owBQKUO2

$f (x) = 6$ dla $x = 1 + lo g_{3} 2$
$f (x) = 625$ dla $x = 4 lo g_{3} 5$
$f (x) = \frac{10}{9}$ dla $x = lo g_{3} 10 - 2$
$f (x) = \frac{27}{32}$ dla $x = 3 - 5 lo g_{3} 2$

iY0d2qW92Y_d5e273

classicmobile

Ćwiczenie 9

Które z podanych niżej stwierdzeń są prawdziwe?

R1NgUd6co7ccZ

Suma $lo g_{21} 3 + lo g_{21} 7$ jest równa $1$ .
Różnica $lo g_{5} 20 - lo g_{5} 100$ jest równa $- 1$ .
Liczba $lo g_{3} 2$ jest o 27 mniejsza od liczby $lo g_{3} 54$ .
Liczba $lo g_{2} 20$ jest o $2$ większa od liczby $lo g_{2} 5$ .

static

Ćwiczenie 9

Które z podanych niżej stwierdzeń są prawdziwe?

R1L16SYMPPAwM

Suma $lo g_{21} 3 + lo g_{21} 7$ jest równa $1$ .
Różnica $lo g_{5} 20 - lo g_{5} 100$ jest równa $- 1$ .
Liczba $lo g_{3} 2$ jest o 27 mniejsza od liczby $lo g_{3} 54$ .
Liczba $lo g_{2} 20$ jest o $2$ większa od liczby $lo g_{2} 5$ .

classicmobile

Ćwiczenie 10

Przyjmijmy $\log_{2} 3 = a$ i $\log_{2} 5 = b$ . Wówczas

R1L4o3dRz0Qua

$lo g_{2} 15 = a + b$
$lo g_{2} \frac{5}{3} = a - b$
$lo g_{2} 675 = 3 a + 2 b$
$lo g_{2} (16,2) = 4 a - b$

static

Ćwiczenie 10

Przyjmijmy $\log_{2} 3 = a$ i $\log_{2} 5 = b$ . Wówczas

R1XoV2E1jMczb

$lo g_{2} 15 = a + b$
$lo g_{2} \frac{5}{3} = a - b$
$lo g_{2} 675 = 3 a + 2 b$
$lo g_{2} (16,2) = 4 a - b$

classicmobile

Ćwiczenie 11

Wskaż liczbę, która spełnia równanie $5^{x} = 2^{3}$ .

RIJuUd8fxrLNo

$x = 3 lo g_{5} 2$
$x = 3 lo g_{2} 5$
$x = 2 lo g_{3} 5$
$x = 2 lo g_{5} 3$

static

Ćwiczenie 11

Wskaż liczbę, która spełnia równanie $5^{x} = 2^{3}$ .

R1XqidX0xFn5W

$x = 3 lo g_{5} 2$
$x = 3 lo g_{2} 5$
$x = 2 lo g_{3} 5$
$x = 2 lo g_{5} 3$

classicmobile

Ćwiczenie 12

Suma $lo g_{4} 8 + lo g_{4} 8$ jest równa

Rdz7PZsjKxltw

static

Ćwiczenie 12

Suma $lo g_{4} 8 + lo g_{4} 8$ jest równa

RX8dJTsOSbTb7

classicmobile

Ćwiczenie 13

Suma $lo g_{15} 25 + lo g_{15} 9$ jest równa

R1WhBDLGOhgzY

$lo g_{15} 34$
$lo g_{30} 34$
$2$
$1$

static

Ćwiczenie 13

Suma $lo g_{15} 25 + lo g_{15} 9$ jest równa

R1D7istV3beNq

$lo g_{15} 34$
$lo g_{30} 34$
$2$
$1$

classicmobile

Ćwiczenie 14

Wartość wyrażenia $lo g_{3} 54 - lo g_{3} \frac{2}{3}$ to

Ry8ezoS3t17Rg

$lo g_{3} 53 \frac{1}{3}$
$lo g_{6} 27$
$2$
$4$

static

Ćwiczenie 14

Wartość wyrażenia $lo g_{3} 54 - lo g_{3} \frac{2}{3}$ to

Rn9jvyIMuKDPN

$lo g_{3} 53 \frac{1}{3}$
$lo g_{6} 27$
$2$
$4$

classicmobile

Ćwiczenie 15

Wskaż liczbę, która jest równa $7$ .

R4hjowDeuRh6s

$\log 1 + \log 2 + \log 4$
$7 lo g_{7} 1 + lo g_{7} 7$
$5 lo g_{4} 2 + 9 lo g_{25} 5$
$2 lo g_{9} 3 + 5 lo g_{32} 2$

static

Ćwiczenie 15

Wskaż liczbę, która jest równa $7$ .

RK6aQJGgtylXz

$\log 1 + \log 2 + \log 4$
$7 lo g_{7} 1 + lo g_{7} 7$
$5 lo g_{4} 2 + 9 lo g_{25} 5$
$2 lo g_{9} 3 + 5 lo g_{32} 2$

classicmobile

Ćwiczenie 16

Liczba $\log 21$ jest równa

R1BR63FAq0stR

$\log 25 - \log 4$
$\log 7 + \log 3$
$\log 20 + \log 1$
$\log 3 \cdot \log 7$

static

Ćwiczenie 16

Liczba $\log 21$ jest równa

RTlHo7PCTg5Os

$\log 25 - \log 4$
$\log 7 + \log 3$
$\log 20 + \log 1$
$\log 3 \cdot \log 7$

iY0d2qW92Y_d5e664

classicmobile

Ćwiczenie 17

Liczba $\log 25$ jest równa

RAhOAQj3dGnk8

$\frac{1}{2} \log 50$
$\log 100 - \log 75$
$\log 10 + \log 15$
$2 \log 5$

static

Ćwiczenie 17

Liczba $\log 25$ jest równa

R1T3fwr2TULrr

$\frac{1}{2} \log 50$
$\log 100 - \log 75$
$\log 10 + \log 15$
$2 \log 5$

classicmobile

Ćwiczenie 18

Liczba $6 lo g_{8} 16$ jest równa

RK1l5zxFpp7In

$48$
$16$
$12$
$8$

static

Ćwiczenie 18

Liczba $6 lo g_{8} 16$ jest równa

ROiWN4WdznCBR

$48$
$16$
$12$
$8$

Ćwiczenie 19

Zapisz podaną liczbę bez użycia logarytmu.

$\log 2 + \log 5$
$lo g_{21} 9 + lo g_{21} 49$
$lo g_{15} 45 + lo g_{15} 75$
$lo g_{6} 3 + lo g_{6} 4 + lo g_{6} 18$

$\log 2 + \log 5 = \log (2 \cdot 5) = \log 10 = 1$
$lo g_{21} 9 + lo g_{21} 49 = lo g_{21} (9 \cdot 49) = lo g_{21} 441 = 2$
$lo g_{15} 45 + lo g_{15} 75 = lo g_{15} (45 \cdot 75) = lo g_{15} 3375 = 3$
$lo g_{6} 3 + lo g_{6} 4 + lo g_{6} 18 = lo g_{6} (3 \cdot 4) + lo g_{6} 18 = lo g_{6} (3 \cdot 4 \cdot 18) = lo g_{6} 216 = 3$

Ćwiczenie 20

Zapisz podaną liczbę bez użycia logarytmu.

$lo g_{2} 40 - lo g_{2} 5$
$lo g_{3} 90 - lo g_{3} 10$
$lo g_{5} 60 - lo g_{5} 12$
$lo g_{7} 21 - (lo g_{7} 24 - lo g_{7} 8)$

$lo g_{2} 40 - lo g_{2} 5 = lo g_{2} \frac{40}{5} = lo g_{2} 8 = 3$
$lo g_{3} 90 - lo g_{3} 10 = lo g_{3} \frac{90}{10} = lo g_{3} 9 = 2$
$lo g_{5} 60 - lo g_{5} 12 = lo g_{5} \frac{60}{12} = lo g_{5} 5 = 1$
$lo g_{7} 21 - (lo g_{7} 24 - lo g_{7} 8) = lo g_{7} 21 - lo g_{7} \frac{24}{8} = lo g_{7} 21 - lo g_{7} 3 = lo g_{7} \frac{21}{3} = lo g_{7} 7 = 1$

Ćwiczenie 21

Zapisz podaną liczbę bez użycia logarytmu.

$10 lo g_{4} 2$
$9 lo g_{27} 3$
$12 lo g_{25} \sqrt{5}$
$8 lo g_{12} (2 \sqrt{3})$

$10 lo g_{4} 2 = lo g_{4} 2^{10} = lo g_{4} 4^{5} = 5$
$9 lo g_{27} 3 = lo g_{27} 3^{9} = lo g_{27} 2 7^{3} = 3$
$12 lo g_{25} \sqrt{5} = lo g_{25} {(\sqrt{5})}^{12} = lo g_{25} 5^{6} = lo g_{25} 2 5^{3} = 3$
$8 lo g_{12} (2 \sqrt{3}) = lo g_{12} {(2 \sqrt{3})}^{8} = lo g_{12} {(\sqrt{12})}^{8} = lo g_{12} 1 2^{4} = 4$

Ćwiczenie 22

Wykaż, że

funkcja wykładnicza $g (x) = 3^{x}$ dla argumentu $x = lo g_{3} 2 + lo g_{3} 5$ przyjmuje wartość $10$ .
funkcja wykładnicza $h (x) = 4^{x}$ dla argumentu $x = lo g_{4} 55 - lo g_{4} 5$ przyjmuje wartość $11$ .
funkcja wykładnicza $f (x) = 7^{x}$ dla argumentu $x = 6 lo g_{7} 2$ przyjmuje wartość $64$ .

$g (lo g_{3} 2 + lo g_{3} 5) = g (lo g_{3} (2 \cdot 5)) = g (lo g_{3} 10) = 3^{lo g_{3} 10} = 10$
$h (lo g_{4} 55 - lo g_{4} 5) = h (lo g_{4} \frac{55}{5}) = h (lo g_{4} 11) = 4^{lo g_{4} 11} = 11$
$f (6 lo g_{7} 2) = f (lo g_{7} 2^{6}) = f (lo g_{7} 64) = 7^{lo g_{7} 64} = 64$

Ćwiczenie 23

Wykaż, że podana liczba jest całkowita.

$lo g_{5} 6 - lo g_{5} 30$
$lo g_{2} 7 - lo g_{2} 56$
$lo g_{3} 7 - lo g_{3} 63$
$\log 143 - (\log 26 + \log 55)$

$lo g_{5} 6 - lo g_{5} 30 = lo g_{5} \frac{6}{30} = lo g_{5} \frac{1}{5} = - 1$
$lo g_{2} 7 - lo g_{2} 56 = lo g_{2} \frac{7}{56} = lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$
$lo g_{3} 7 - lo g_{3} 63 = lo g_{3} \frac{7}{63} = lo g_{3} \frac{1}{9} = - 2$
$\log 143 - (\log 26 + \log 55) = \log 143 - \log (26 \cdot 55) = \log 143 - \log 1430 = \log \frac{143}{1430} = \log \frac{1}{10} = - 1$

iY0d2qW92Y_d5e996

Ćwiczenie 24

Wykaż, że $\log 15 + \log 1250 - \log \frac{3}{16} = 5$ .

$\log 15 + \log 1250 - \log \frac{3}{16} = \log (15 \cdot 1250) - \log \frac{3}{16} = \log \frac{18750}{\frac{3}{16}} = \log \frac{18750 \cdot 16}{3} = \log 100 000 = 5$

Ćwiczenie 25

Wykaż, że $3 lo g_{5} 4 + 2 lo g_{5} 7 = lo g_{5} 3136$ .

$3 lo g_{5} 4 + 2 lo g_{5} 7 = lo g_{5} 4^{3} + lo g_{5} 7^{2} = lo g_{5} (4^{3} \cdot 7^{2}) = lo g_{5} (64 \cdot 49) = lo g_{5} 3136$

Ćwiczenie 26

Wykaż, że $lo g_{2} 405 - 4 lo g_{2} 3 = lo g_{2} 5$ .

$lo g_{2} 405 - 4 lo g_{2} 3 = lo g_{2} 405 - lo g_{2} 3^{4} = lo g_{2} 405 - lo g_{2} 81 = lo g_{2} \frac{405}{81} = lo g_{2} 5$

Ćwiczenie 27

Wykaż, że liczby $\log 9$ , $\log 21$ , $\log 49$ tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

Ponieważ $\frac{\log 9 + \log 49}{2} = \frac{\log (9 \cdot 49)}{2} = \frac{\log 441}{2} = \frac{\log 2 1^{2}}{2} = \frac{2 \cdot \log 21}{2} = \log 21$ , więc ciąg $(\log 9, \log 21, \log 49)$ jest arytmetyczny.

Ćwiczenie 28

Przyjmijmy $lo g_{5} 3 = a$ . Wykaż, że $lo g_{5} (27 \sqrt{5}) = \frac{6 a + 1}{2}$ .

$lo g_{5} (27 \sqrt{5}) = lo g_{5} 27 + lo g_{5} \sqrt{5} = lo g_{5} 3^{3} + lo g_{5} 5^{\frac{1}{2}} = 3 lo g_{5} 3 + \frac{1}{2} = 3 a + \frac{1}{2} = \frac{6 a + 1}{2}$

Ćwiczenie 29

Przyjmijmy $\log 125 = a$ i $\log 4 = b$ . Wykaż, że $2 a + 3 b = 6$ .

$2 a + 3 b = 2 \log 125 + 3 \log 4 = 2 \log 5^{3} + 3 \log 2^{2} = 3 \cdot 2 \log 5 + 2 \cdot 3 \log 2 = 6 (\log 2 + \log 5) = 6 \log (2 \cdot 5) = 6 \log 10 = 6$

Ćwiczenie 30

Wykaż, że ${(lo g_{6} 2)}^{2} + lo g_{6} 3 \cdot lo g_{6} 12 = 1$ .

${(lo g_{6} 2)}^{2} + lo g_{6} 3 \cdot lo g_{6} 12 = {(lo g_{6} 2)}^{2} + lo g_{6} 3 \cdot lo g_{6} (3 \cdot 4) = {(lo g_{6} 2)}^{2} + lo g_{6} 3 \cdot (lo g_{6} 3 + lo g_{6} 4) =$
$= {(lo g_{6} 2)}^{2} + {(lo g_{6} 3)}^{2} + lo g_{6} 4 \cdot lo g_{6} 3 = {(lo g_{6} 2)}^{2} + {(lo g_{6} 3)}^{2} + lo g_{6} 2^{2} \cdot lo g_{6} 3 =$
$= {(lo g_{6} 2)}^{2} + {(lo g_{6} 3)}^{2} + 2 lo g_{6} 2 \cdot lo g_{6} 3 = {(lo g_{6} 2 + lo g_{6} 3)}^{2} = {(lo g_{6} (2 \cdot 3))}^{2} = {(lo g_{6} 6)}^{2} = 1^{2} = 1$

Ćwiczenie 31

Funkcja $f$ każdej dodatniej liczbie $x$ przyporządkowuje wykładnik potęgi, do której należy podnieść liczbę $2$ , aby otrzymać $x$ . Wykaż, że $2 \cdot f (5) + f (0,1) + 1 = f (40) + f (\frac{1}{8})$ .

Z treści zadania wynika, że funkcja $f$ jest określona wzorem $f (x) = lo g_{2} x$ . Wówczas
$2 f (5) + f (0,1) + 1 = 2 lo g_{2} 5 + lo g_{2} \frac{1}{10} + lo g_{2} 2 = lo g_{2} 5^{2} + lo g_{2} (\frac{1}{10} \cdot 2) = lo g_{2} 25 + lo g_{2} \frac{1}{5} = lo g_{2} (25 \cdot \frac{1}{5}) = lo g_{2} 5$
oraz
$f (40) + f (\frac{1}{8}) = lo g_{2} 40 + lo g_{2} \frac{1}{8} = lo g_{2} (40 \cdot \frac{1}{8}) = lo g_{2} 5$ .
Zatem $2 \cdot f (5) + f (0,1) + 1 = f (40) + f (\frac{1}{8})$ .

Ćwiczenie 32

Dane są takie liczby dodatnie $x$ i $y$ , że $lo g_{2} x + lo g_{3} y^{2} = \frac{3}{2}$ i $lo g_{2} x^{4} + lo g_{3} y^{3} = \frac{7}{2}$ . Wykaż, że $2 lo g_{6} (x \cdot y) = 1$ .

Oznaczmy: $\binom{a = \log_{2} x}{b = \log_{3} y}$ Wtedy
$\{\begin{matrix} a + 2 b = 1,5 \\ 4 a + 3 b = 3,5 \end{matrix}$ , stąd $a = 0,5$ i $b = 0,5$ .
Wynika stąd, że $x = \sqrt{2}, y = \sqrt{3}$ .
$2 \log_{6} (xy) = \log_{6} {(\sqrt{2} ∙ \sqrt{3)}}^{2} = \log_{6} 6 = 1$

Działania na logarytmach. Przykłady

Zastosowanie funkcji wykładniczej