Zastosowanie funkcji wykładniczej

Za pomocą funkcji wykładniczej można opisać wiele zjawisk z życia codziennego. Funkcję tę stosujemy do opisu wielkości, które w stałym tempie się zmieniają, czyli w kolejnych odcinkach czasu tyle samo razy lub o ten sam procent się zwiększają lub zmniejszają. Wielkości takie mają tę własność, że ich przyrost od pewnego momentu jest dużo szybszy niż wzrost liniowy. Za to spadek w tempie wykładniczym jest wolniejszy niż spadek w tempie liniowym. Z wzrostem i spadkiem wykładniczym mamy do czynienia w biologii, chemii, demografii, gospodarce. Podamy poniżej kilka zastosowań funkcji wykładniczej.

Przykład 1

Żeby określić liczebność pewnej populacji osobników, można skorzystać ze wzoru

L (t) = L (0) \cdot a^{t}

gdzie
$L (0)$ jest początkową liczbą osobników w populacji,
$a$ pewną stałą większą od zera, charakterystyczną dla tej populacji.
Populacja osobników w tempie wykładniczym rozmnaża się najczęściej przez pewien czas, po którym następuje czas względnej równowagi pomiędzy ilością osobników tworzących się i obumierających.
Przyrost populacji, przebieg epidemii czy zasięg sieci społecznościowych w internecie nie mogą wzrastać w nieskończoność, gdyż istnieją ograniczenia środowiska czy przestrzeni, w której dane zjawiska występują.
Pewna kolonia bakterii liczy na początku obserwacji $500$ osobników. Co godzina ich liczba wzrasta o $10 %$ . Oblicz, ile bakterii będzie w tej kolonii po $3$ godzinach, ile po $5$ godzinach, a ile po $10$ godzinach.
Liczbę osobników tej kolonii obliczymy ze wzoru $L (t) = 500 \cdot {1,1}^{t}$ .
Zatem

L (3) = 500 \cdot {1,1}^{3} = 665,5

L (5) = 500 \cdot {1,1}^{5} = 805,255

L (10) = 500 \cdot {1,1}^{10} = 1296,87

Przykład 2

W pewnym mieście odnotowano w kolejnych latach podaną w tabeli liczbę mieszkańców.

Tabela. Dane
rok	Liczba ludności (w tysiącach)	Przyrost ludności (w tysiącach)
$2009$	$30,30$
$2010$	$31,00$	$0,7$
$2011$	$31,71$	$0,71$
$2012$	$32,44$	$0,73$
$2013$	$33,19$	$0,75$
$2014$	$33,95$	$0,76$

Zauważmy, że liczba mieszkańców nie przyrasta w sposób liniowy, ponieważ w kolejnych latach przyrost jest coraz większy. Obliczmy stosunek liczby mieszkańców w danym roku do liczby mieszkańców w poprzednim roku.

\frac{liczba mieszkańców w 2014}{liczba mieszkańców w 2013} = \frac{33,95}{33,19} = 1,023

\frac{liczba mieszkańców w 2013}{liczba mieszkańców w 2012} = \frac{33,19}{32,44} = 1,023

\frac{liczba mieszkańców w 2012}{liczba mieszkańców w 2011} = \frac{32,44}{31,71} = 1,023

\frac{liczba mieszkańców w 2011}{liczba mieszkańców w 2010} = \frac{31,71}{31} = 1,023

\frac{liczba mieszkańców w 2010}{liczba mieszkańców w 2009} = \frac{31}{30,3} = 1,023

Ponieważ otrzymane ilorazy są równe, wynika stąd, że liczba mieszkańców rośnie każdego roku o około $2,3 %$ . Liczbę ludności w tym mieście po $t$ latach od $2009$ roku możemy opisać wzorem

X (t) = 30,3 \cdot {(1,023)}^{t}

Zatem przyrost ludności w tym mieście ma charakter wykładniczy. Jeżeli w kolejnych latach przyrost ludności zachowa ten charakter, ile osób będzie mieszkało w tym mieście w latach $2016, 2020$ ?
W roku $2016$ będzie $33,95 \cdot {(1,023)}^{2} = 35,53$ , czyli $35,53$ .
Liczba mieszkańców w $2020$ roku to

X (11) = 30,3 \cdot {(1,023)}^{11} = 38,91,

czyli $38,91$ tysięcy.

Przykład 3

Pierwiastki promieniotwórcze samoistnie rozpadają się. Czasem połowicznego rozpadu nazywamy czas, po którym masa próbki takiego pierwiastka zmniejszy się o połowę. Masę próbki po upływie czasu $t$ możemy obliczyć ze wzoru

m (t) = m (0) \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}

gdzie
$m (0)$ $-$ jest masą próbki na początku,
$T$ to okres połowicznego rozpadu.
Izotop jodu ma czas połowicznego rozpadu $8$ dni. Ile miligramów jodu zostanie z $20 mg$ próbki po upływie $32$ dni? Jaki procent izotopu ulegnie rozpadowi w tym czasie?
$32$ dni to $4$ okresy połowicznego rozpadu izotopu jodu, bo $\frac{t}{T} = \frac{32}{8} = 4$ . Mamy więc

m (32) = 20 \cdot {(\frac{1}{2})}^{4} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4} = 1,25

Zatem z próbki złożonej z $20 mg$ pozostanie po $32$ dniach $1,25 mg$ . Rozpadowi ulegnie więc $18,75 mg$ z $20 mg$ . Układamy proporcję

\begin{matrix} 100 % & - & 20 mg \\ x & - & 18,75 mg \end{matrix}

Stąd

x = \frac{18,75 \cdot 100 %}{20} = 93,75 %

Przykład 4

W naturze występują trzy izotopy węgla $C - 12, C - 13$ i $C - 14$ , różniące się między sobą liczbą protonów i neutronów w jądrze. Węgiel $C - 14$ jest radioaktywny i jego czas połowicznego rozpadu jest równy $5730$ lat. Powstaje on w górnych warstwach atmosfery w wyniku bombardowania atomów azotu neutronami o wysokiej energii z promieniowania kosmicznego. Izotopu $C - 14$ jest bardzo mało w zawartym w powietrzu dwutlenku węgla, jeden atom przypada na około $10^{12}$ atomów węgla $C - 12$ . Wszystkie rośliny pobierają z atmosfery oba rodzaje węgla. Także zwierzęta, jedząc rośliny, pobierają oba rodzaje węgla. Okazuje się, że zawartość węgla $C - 14$ w organizmach jest podobna do jego zawartości w atmosferze. Po śmierci kończy się dopływ węgla z zewnątrz i wtedy węgiel $C - 12$ pozostaje w komórkach, a węgiel $C - 14$ ulega rozpadowi.
Liczbę atomów węgla $C - 14$ w próbce po czasie $t$ obliczymy ze wzoru

N (t) = N (0) \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{5730}}

Ile lat temu zginął człowiek, jeżeli w jego szczątkach znajduje się tylko $6,25 %$ ilości węgla, jaka jest w żywym organizmie?
Zbadajmy, jaka ilość węgla $C - 14$ pozostanie po kolejnych okresach.
Tabela. Dane
Okres, jaki upłynął
Ilość węgla $C - 14$ , jaka pozostanie
$5730$
$50 %$
$11 460$
$25 %$
$17 190$
$12,5 %$
$22 920$
$6,25 %$
Zatem człowiek ten żył około $22 920$ lat temu.
Znaleziono kość pewnego zwierzęcia, w której $1$ atom węgla $C - 14$ przypada na $4 \cdot 10^{12}$ atomów zwykłego węgla. Jaki czas upłynął od śmierci tego zwierzęcia?

Tabela. Dane
Okres, jaki upłynął	Ilość węgla $C - 14$ , jaka pozostanie
$5730$	$50 %$
$11 460$	$25 %$
$17 190$	$12,5 %$
$22 920$	$6,25 %$

Ponieważ w atmosferze na $1$ atom węgla $C - 14$ przypada $10^{12}$ atomów zwykłego węgla, więc ilość węgla zmniejszyła się czterokrotnie. Po pierwszym okresie, czyli łącznie po $5730$ latach, ilość węgla zmniejszyła się o połowę i po kolejnym okresie, czyli po $11 460$ latach, ilość węgla zmniejszyła się czterokrotnie. Zatem zwierzę żyło około $11 500$ lat temu.

Przykład 5

Po podaniu pewnego leku do organizmu substancja czynna tego leku przenika do krwiobiegu. Następnie z każdą godziną ilość tej substancji maleje o około $40 %$ . Jeżeli podana dawka leku zawierała $250 mg$ substancji, to po ilu godzinach zostanie w krwiobiegu pacjenta mniej niż $32,4 mg$ substancji?

sposób $I$
Jeżeli z każdą następną godziną ilość substancji w krwiobiegu maleje o $40 %$ , to znaczy, że po każdej godzinie pozostanie $0,6$ ilości substancji obecnej w poprzedniej godzinie. Zatem $X (t) = 250 \cdot {(0,6)}^{t}$ , gdzie $t$ oznacza ilość czasu w godzinach, jaki upłynął od podania leku, a $X (t)$ to ilość leku w organizmie po $t$ godzinach.
Mamy więc $250 \cdot {(0,6)}^{t} < 32,4$ . Stąd ${(0,6)}^{t} < 0,1296$ . Ponieważ $0,1296 = {(0,6)}^{4}$ , więc nierówność ma postać ${(0,6)}^{t} < {(0,6)}^{4}$ . Funkcja $y = {(0,6)}^{x}$ jest funkcją malejącą, więc dla większych argumentów przyjmuje mniejsze wartości. Stąd wynika, że $t > 4$ .
sposób $II$
W kolejnych godzinach mamy:

X (1) = 250 \cdot 0,6 = 150

X (2) = 150 \cdot 0,6 = 90

X (3) = 90 \cdot 0,6 = 54

X (4) = 54 \cdot 0,6 = 32,4

Funkcja opisująca ilość leku we krwi jest funkcją malejącą oraz dla argumentu $4$ przyjmuje dokładnie wartość $32,4$ , zatem dla argumentów większych przyjmuje wartości mniejsze.

RQgWRCGYyCL1v1

Wykres funkcji X(t) przedstawia zależność ilości leku od czasu jego przebywania w organizmie. Ilość leku maleje wraz z upływem czasu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Po czasie dłuższym niż $4$ godziny w organizmie pacjenta pozostanie mniej niż $32,4 g$ leku.

Przykład 6

Jeżeli umieścimy przedmiot w stałej temperaturze otoczenia, niższej od jego temperatury, to przedmiot ten będzie stygł aż do osiągnięcia temperatury otoczenia. Temperaturę po określonym czasie obliczymy za pomocą wzoru

T (t) = T_{O} + (T_{P} - T_{O}) a^{- t}

$T_{O}$ to temperatura otoczenia, $T_{P}$ to temperatura początkowa przedmiotu, $a$ jest stałą charakterystyczną dla danego przedmiotu.

R6QNP0ZKTG0j31

Wykres funkcji T(t) przedstawia zależność temperatury stygnięcia przedmiotu od czasu stygnięcia. Temperatura maleje wraz z upływem czasu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zagotowaliśmy wodę do temperatury $100 ° C$ , a następnie umieściliśmy w pomieszczeniu o temperaturze $25 ° C$ . Po $10$ minutach zmierzyliśmy temperaturę wody i okazało się, że wynosi ona $70 ° C$ . Jaką temperaturę będzie miała woda po następnych $10$ minutach?
Temperaturę wody po $10$ minutach opisuje wzór

T (10) = 25 ° + (100 ° - 25 °) \cdot a^{- 10} = 70 °

stąd

75 ° \cdot a^{- 10} = 45 °

Otrzymujemy więc $a^{- 10} = 0,6$ . Stąd $a^{10} = \frac{1}{0,6} = 1,67$ , a więc $a = \sqrt[10]{1,67} \approx 1,053$ .
Po następnych $10$ minutach, czyli po $20$ minutach od zagotowania wody jej temperatura będzie równa

T (20) = 25 ° + 75 ° \cdot {1,053}^{- 20} = 25 ° + 75 ° \cdot 0,356 = 25 ° + 27 ° = 52 °

Przykład 7

Przykładem zastosowania funkcji wykładniczej w medycynie jest zanik monochromatycznej wiązki promieniowania rentgenowskiego przy przechodzeniu przez materię. W tym przypadku natężenie promieniowania $I$ przy przejściu przez ciało grubości $x$ dane jest wzorem:

I (x) = I_{0} e^{- kx}

gdzie
$I_{0}$ – natężenie wychodzące z lampy rentgenowskiej,
$k$ – liniowy współczynnik pochłaniania promieniowania w materii,
$x$ – grubość warstwy pochłaniającej.
$e$ – liczba niewymierna, $e \approx 2,718$
Jednostką liniowego współczynnika pochłaniania (absorpcji) jest $[1 /$ m $]$ .

iiQ3iMPWc5_d5e304

Ćwiczenie 1

Kolonia bakterii składała się z $500$ organizmów. Po każdej godzinie liczba bakterii rośnie o $20 %$ . Ile bakterii będzie po $3$ godzinach?

$864$

Po każdej godzinie liczba bakterii rośnie $1,2$ raza, zatem
$L (3) = 500 \cdot {(1,2)}^{3} = 864$

Ćwiczenie 2

Na początku obserwacji kolonia liczyła $500$ , a na końcu $845$ bakterii. O ile procent przyrastała liczba bakterii w ciągu godziny, jeżeli liczba bakterii przyrasta w tempie wykładniczym, czyli według wzoru $L (t) = L (0) \cdot a^{t}$ , a eksperyment trwał $2$ godziny?

o $30 %$

Liczbę bakterii po upływie $2$ godzin policzymy za pomocą wzoru $L (2) = L (0) \cdot a^{2}$ , stąd po podstawieniu danych otrzymujemy

845 = 500 \cdot a^{2}

Zatem $a^{2} = 1,69$ , stąd $a = 1,3$ lub $a = - 1,3$ . Interesuje nas wartość dodatnia. Zatem w każdej godzinie liczba bakterii w tej kolonii zwiększa się o $30 %$ .

Ćwiczenie 3

Na początku obserwacji kolonia liczyła $1000$ bakterii. Po $5$ godzinach liczba ta wzrosła do $1800$ . Ile osobników będzie liczyła kolonia po $20$ godzinach?

$9650$

Mamy $L (5) = L (0) \cdot a^{5}$ , czyli $1800 = 1000 \cdot a^{5}$ , stąd $a^{5} = \frac{1800}{1000} = 1,8$ . Otrzymaliśmy wartość stałej $a = \sqrt[5]{1,8} = 1,12$ .
Zatem $L (20) = 1000 \cdot {1,12}^{20} \approx 1000 \cdot 9,65 = 9650$ .

Ćwiczenie 4

W pewnej kolonii liczba bakterii zwiększa się co godzinę o $25 %$ . Po ilu godzinach liczba ta uległa podwojeniu?

$4$

Mamy $L (t) = L_{0} \cdot {(1,25)}^{t}$ . Liczba bakterii ma się podwoić, czyli $L_{0} \cdot {(1,25)}^{t} \geq 2 L_{0}$ . Stąd ${(1,25)}^{t} \geq 2$ . Zbadajmy ciąg kolejnych potęg całkowitych dodatnich liczby $1,25 = \frac{5}{4}$ . Ciąg ten jest ciągiem geometrycznym $\frac{5}{4}, \frac{25}{16}, \frac{125}{64}, \frac{625}{256}, \dots$ . Ciąg jest rosnący, jeżeli więc znajdziemy liczbę, dla której wyraz ciągu będzie większy od $2$ , to wszystkie następne też będą większe od $2$ . Zauważmy, że czwarty wyraz tego ciągu $\frac{625}{256}$ jest już większy od $2$ , czyli po czwartej godzinie liczba bakterii podwoi się.

Ćwiczenie 5

W pewnej miejscowości mieszkało $1400$ osób. Miejscowość rozwija się prężnie, tak że każdego roku liczba ta zwiększa się o $10 %$ . Po ilu latach liczba mieszkańców przekroczy $2000$ ?

$4$

Mamy $L (t) = 1400 \cdot {(1,1)}^{t} > 2000$ , stąd ${(1,1)}^{t} > \frac{10}{7} \approx 1,43$ . Ciąg kolejnych naturalnych potęg liczby $1,1$ jest ciągiem rosnącym, czyli szukamy tej liczby, dla której wyraz ciągu będzie większy od $1,43$ . Rozważany ciąg wygląda następująco: $1,1; 1,21; 1,331; 1,4641$ itd.Po czterech latach liczba ludności w tej miejscowości przekroczy $2000$ .

Ćwiczenie 6

W pewnej kolonii bakterii po $4$ godzinach od rozpoczęcia doświadczenia liczba organizmów była równa $7500$ , a po $6$ godzinach była już równa $37 500$ . Wiedząc, że liczba bakterii przyrastała w sposób wykładniczy oblicz, ile bakterii było na początku doświadczenia oraz ile po $12$ godzinach.

$300, 4 687 500$

Liczbę bakterii po $4$ godzinach od rozpoczęcia doświadczenia obliczymy ze wzoru $L (4) = L (0) \cdot a^{4} = 7500$ , a liczbę bakterii po $6$ godzinach ze wzoru

L (6) = L (0) \cdot a^{6} = 37 500

Zauważmy, że iloraz

\frac{L (6)}{L (4)} = a^{2} = \frac{37 500}{7500} = 5

Stąd $a = \sqrt{5}$ , gdyż $a$ jest liczbą stałą większą od zera.
Mamy więc $L (4) = L (0) \cdot {(\sqrt{5})}^{4} = 7500$ , stąd

L (0) = \frac{7500}{{(\sqrt{5})}^{4}} = \frac{7500}{25} = 300

Liczba bakterii po $12$ godzinach jest równa

L (12) = 300 \cdot {(\sqrt{5})}^{12} = 300 \cdot 5^{6} = 4 687 500

Ćwiczenie 7

Dla uranu $235$ czas połowicznego rozpadu wynosi $713$ milionów lat. Ile lat potrzeba, żeby z $1 g$ pierwiastka pozostało nie więcej niż $0,125 g$ ?

$2139$ milionów lat

sposób $I$

Uzupełniamy tabelę.

Tabela. Dane
Okres (w milionach lat)	$713$	$1426$	$2139$
Ilość uranu (w gramach)	$0,5$	$0,25$	$0,125$

Po $2139$ milionach lat pozostanie nie więcej niż $0,125 g$ uranu w tej próbce.

sposób $II$

Rozwiązujemy nierówność $m (t) = m (0) \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}} = 1 \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{713}} \leq 0,125$ , stąd ${(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{713}} \leq {(\frac{1}{2})}^{3}$ . Ponieważ funkcja $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ jest funkcją malejącą, to $\frac{t}{713} \geq 3$ , stąd $t \geq 2139$ .

Ćwiczenie 8

Po upływie $15$ dni z początkowej próbki o masie $2 g$ pozostanie $0,25 g$ bizmutu $210$ . Jaki jest czas połowicznego rozpadu tego pierwiastka?

$T = 5$

Korzystając ze wzoru na masę pierwiastka promieniotwórczego, jaki pozostał w próbce po czasie $t$ , mamy

m (15) = 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{15}{T}} = 0,25

$0,25 = 1 \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{15}{T}}$ , stąd otrzymujemy ${(\frac{1}{2})}^{2} = 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{15}{T}}$ . Po podzieleniu przez $2$ mamy ${(\frac{1}{2})}^{3} = {(\frac{1}{2})}^{\frac{15}{T}}$ , a ponieważ podstawy są takie same, a funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, więc $3 = \frac{15}{T}$ . Stąd odczytujemy, że okres połowicznego rozpadu bizmutu $210$ wynosi $T = 5$ .

Ćwiczenie 9

W próbce znajduje się $0,05 g$ izotopu wapnia. Jaka masa izotopu była $3$ lata wcześniej, jeżeli okres połowicznego rozpadu dla wapnia wynosi $6$ miesięcy?

$3,2 g$

Ponieważ okres połowicznego rozpadu podany jest w miesiącach, więc trzy lata zamieniamy na miesiące i otrzymujemy $T = 3 \cdot 12 = 36$ . Po tym okresie masa próbki jest równa $m (36) = m (0) \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{36}{6}} = 0,05$ . Stąd obliczamy, że początkowa masa próbki była równa $m (0) = 0,05 \cdot 2^{6} = \frac{1}{20} \cdot 64 = 3,2$ .

Ćwiczenie 10

Ile wynosi okres połowicznego rozpadu kobaltu, jeżeli wiadomo, że podczas doświadczenia, które trwało $20$ lat, z próbki ważącej $40 g$ pozostało $2,5 g$ tego pierwiastka?

$5$ lat

Po $20$ latach otrzymujemy masę równą $m (20) = 40 \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{20}{T}} = 2,5 = \frac{5}{2}$ , stąd ${(\frac{1}{2})}^{\frac{20}{T}} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16} = {(\frac{1}{2})}^{4}$ . Funkcja wykładnicza dla różnych argumentów przyjmuje różne wartości, zatem równanie to jest równoważne równaniu $\frac{20}{T} = 4$ , stąd $T = 5$ .

Ćwiczenie 11

W pewnej kości zawartość węgla $C - 14$ jest mniejsza o $75 %$ od zawartości w atmosferze. Oblicz wiek znaleziska.

$11 460$ lat

Jeżeli zawartość węgla $C - 14$ zmniejszyła się o $75 %$ , to mamy $25 %$ początkowej ilości węgla $C - 14$ . Po pierwszych $5730$ latach pozostanie $50 %$ , po następnych $5730$ latach znów połowa ulegnie rozpadowi, czyli zostanie $25 %$ początkowej ilości. Minie więc więcej niż $11 460$ lat.

Ćwiczenie 12

Określ wiek znaleziska archeologicznego, wiedząc, że jeden atom węgla $C - 14$ przypada na $16 \cdot 10^{12}$ atomów węgla $C - 12$ .

$22 920$ lat

Zawartość węgla $C - 14$ jest szesnastokrotnie mniejsza niż w organizmach żywych. Ponieważ $\frac{1}{16} = {(\frac{1}{2})}^{4}$ , zatem nastąpiły $4$ okresy połowicznego rozpadu izotopu węgla, co odpowiada $22 920$ latom.

Ćwiczenie 13

Jaki procent węgla $C - 14$ pozostał w znalezisku archeologicznym, które ma $15 000$ lat?

$16 %$

Korzystamy ze wzoru na ilość atomów węgla $C - 14$ , która pozostanie po $t$ latach

N (15000) = N (0) \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{15000}{5730}}

Stąd stosunek ilości atomów dziś i $15 000$ lat temu jest równy

\frac{N (15000)}{N (0)} \approx {(\frac{1}{2})}^{2,62} \approx 0,16

Zatem pozostanie około $16 %$ pierwotnej ilości węgla $C - 14$ .

Ćwiczenie 14

Pewien płyn podgrzano do temperatury $80 ° C$ , a następnie odstawiono, żeby wystygł. Po $15$ minutach temperatura płynu wynosiła $60 ° C$ . Jaką temperaturę miał płyn po godzinie od podgrzania?

około $34 ° C$

Temperaturę płynu po $15$ minutach opisuje wzór

T (15) = 25 ° C + (80 ° C - 25 ° C) \cdot a^{- 15} = 60 ° C

Wynika z niego, że $55 ° C \cdot a^{- 15} = 35 ° C$ , stąd $a^{- 15} = \frac{35}{55} = \frac{7}{11}$ . Mamy więc $a^{15} = \frac{11}{7} \approx 1,57$ , stąd

a \approx \sqrt[15]{1,57} \approx 1,03

Po godzinie od podgrzania płyn miał temperaturę

T (60) = 25 ° C + (80 ° C - 25 ° C) \cdot ({1,03)}^{- 60} = 25 ° C + 55 ° C \cdot 0,1697 \approx 25 ° + 9,33 ° C = 34,33 ° C

Zadania

Wykresy funkcji specjalnych i ich własności