Pojęcie logarytmu

Rozpatrzmy funkcję wykładniczą $f (x) = a^{x}$ , gdzie $a$ jest ustaloną dodatnią liczbą rzeczywistą, różną od $1$ .
Jak wiemy, funkcja $f$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ , a zbiorem wartości tej funkcji jest przedział $(0, + \infty)$ . Ponadto dla ustalonej dodatniej wartości $y$ istnieje dokładnie jeden argument $x$ , taki że $a^{x} = y$ .

R6b5S1swMeqz91

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Korzystając z własności funkcji wykładniczej, wyznaczymy, o ile istnieją, wszystkie argumenty, dla których

funkcja wykładnicza $f (x) = 2^{x}$ przyjmuje wartość $32$
funkcja wykładnicza $f (x) = 3^{x}$ przyjmuje wartość $\frac{1}{9}$
funkcja wykładnicza $f (x) = 4^{x}$ przyjmuje wartość $- 16$
funkcja wykładnicza $f (x) = {(\frac{1}{5})}^{x}$ przyjmuje wartość $5$
funkcja wykładnicza $f (x) = {(\frac{3}{4})}^{x}$ przyjmuje wartość $1$

Rozwiązanie.

Ponieważ $2^{5} = 32$ , więc $2^{x} = 32$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x = 5$ .
Ponieważ $3^{- 2} = \frac{1}{9}$ , więc $3^{x} = \frac{1}{9}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x = - 2$ .
Funkcja wykładnicza $f (x) = 4^{x}$ przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, zatem nie istnieje taki argument $x$ , dla którego $4^{x} = - 16$ .
Ponieważ ${(\frac{1}{5})}^{- 1} = 5$ , więc ${(\frac{1}{5})}^{x} = 5$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x = - 1$ .
Ponieważ ${(\frac{3}{4})}^{0} = 1$ , więc ${(\frac{3}{4})}^{x} = 1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x = 0$ .

Przykład 2

Argument $x$ , dla którego funkcja wykładnicza $f (x) = 2^{x}$ przyjmuje wartość $9$ , jest rozwiązaniem równania $2^{x} = 9$ . Z wykresu funkcji $f$ odczytujemy, że $x$ jest liczbą z przedziału $(3, 4)$ .
Argument ten oznaczamy symbolicznie

x = \log_{2} 9

a zapis $lo g_{2} 9$ czytamy „logarytm przy podstawie dwa liczby dziewięć” lub krócej „logarytm przy podstawie dwa z dziewięciu”.
Zauważmy, że z przyjętej umowy wynika równość

2^{\log_{2} 9} = 9

Uwaga. Liczba $\log_{2} 9$ nie jest wymierna. Gdybyśmy założyli przeciwnie, że istnieją takie dodatnie liczby całkowite $p$ i $q$ , dla których prawdziwa jest równość $\log_{2} 9 = \frac{p}{q}$ , to prawdą byłoby również, że $2^{\frac{p}{q}} = 9$ , stąd $2^{p} = 9^{q}$ . Otrzymana równość jest sprzeczna, bo jej lewa strona jest liczbą parzystą (jako iloczyn $p$ dwójek), a prawa strona jest liczbą nieparzystą (jako iloczyn $q$ dziewiątek).
Weźmy dodatnią liczbę rzeczywistą $a$ , różną od $1$ . Przyjmujemy, że argument $b$ , dla którego funkcja wykładnicza $f (x) = a^{x}$ przyjmuje wartość $c$ , to

b = \log_{a} c

Ponieważ funkcja wykładnicza $f$ przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, to logarytm określamy tylko dla dodatniej liczby $c$ .

Logarytm

Definicja: Logarytm

Logarytmem $lo g_{a} c$ dodatniej liczby $c$ przy dodatniej i różnej od $1$ podstawie $a$ nazywamy wykładnik $b$ potęgi, do której należy podnieść $a$ , aby otrzymać $c$ .
$lo g_{a} c = b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a^{b} = c$ .

Zapamiętaj!

Z definicji wynika
$lo g_{a} a^{c} = c$ oraz $a^{lo g_{a} c} = c$
Liczbę $c$ w zapisie $\log_{a} c$ nazywamy liczbą logarytmowaną.
Logarytm $lo g_{10} x$ można też zapisać jako $logx$ lub $lgx$ .Taki logarytm nazywamy logarytmem dziesiętnym.

RZeKdY92D3fJi1

Przykład 3

Każdą z podanych liczb zapiszemy bez użycia logarytmu.

$\log_{2} 4$
$\log_{3} 81$
$\log 1000000$
$\log_{123} 1$
$\log_{17} 17$

Bezpośrednio z definicji logarytmu wynika, że $lo g_{a} a^{c} = c$ . Korzystając z tego spostrzeżenia, mamy:

$\log_{2} 4 = \log_{2} 2^{2} = 2$
$\log_{3} 81 = \log_{3} 3^{4} = 4$
$\log 1000000 = \log 1 0^{6} = 6$
$\log_{123} 1 = \log_{123} 12 3^{0} = 0$
$\log_{17} 17 = \log_{17} 1 7^{1} = 1$

Zauważmy, że dla każdej dodatniej i różnej od $1$ liczby rzeczywistej $a$

\log_{a} 1 = \log_{a} a^{0} = 0

oraz

\log_{a} a = \log_{a} a^{1} = 1

Przykład 4

Uzasadnimy, że każda z podanych liczb jest ujemną liczbą całkowitą.

$\log_{6} \frac{1}{6}$
$\log_{2} \frac{1}{8}$
$\log_{3} \frac{1}{9}$
$\log_{5} 0,2$
$\log 0,00001$
Ponieważ $\frac{1}{6} = 6^{- 1}$ , więc $\log_{6} \frac{1}{6} = \log_{6} 6^{- 1} = - 1$ .
Ponieważ $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^{3}} = 2^{- 3}$ , więc $\log_{2} \frac{1}{8} = \log_{2} 2^{- 3} = - 3$ .
Ponieważ $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^{2}} = 3^{- 2}$ , więc $\log_{3} \frac{1}{9} = \log_{3} 3^{- 2} = - 2$ .
Ponieważ $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{- 1}$ , więc $\log_{5} 0,2 = \log_{5} 5^{- 1} = - 1$ .
Ponieważ $0,00001 = \frac{1}{100 000} = \frac{1}{1 0^{5}} = 1 0^{- 5}$ , więc $\log 0,00001 = \log 1 0^{- 5} = - 5$ .

Przykład 5

Zapiszemy liczby bez użycia logarytmu.

$lo g_{\frac{1}{7}} \frac{1}{49}$
$lo g_{\frac{2}{3}} \frac{8}{27}$
$lo g_{\frac{4}{5}} \frac{5}{4}$
$lo g_{\frac{5}{2}} 0,16$
Ponieważ $\frac{1}{49} = {(\frac{1}{7})}^{2}$ , więc $lo g_{\frac{1}{7}} \frac{1}{49} = lo g_{\frac{1}{7}} {(\frac{1}{7})}^{2} = 2$ .
Ponieważ $\frac{8}{27} = {(\frac{2}{3})}^{3}$ , więc $lo g_{\frac{2}{3}} \frac{8}{27} = lo g_{\frac{2}{3}} {(\frac{2}{3})}^{3} = 3$ .
Ponieważ ${(\frac{5}{4})}^{- 1} = \frac{4}{5}$ , więc $lo g_{\frac{4}{5}} \frac{5}{4} = lo g_{\frac{4}{5}} {(\frac{4}{5})}^{- 1} = - 1$ .
Ponieważ $0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25} = {(\frac{2}{5})}^{2} = {(\frac{5}{2})}^{- 2}$ , więc $lo g_{\frac{5}{2}} 0,16 = lo g_{\frac{5}{2}} {(\frac{5}{2})}^{- 2} = - 2$ .

Przykład 6

Każdą z podanych liczb zapiszemy bez użycia logarytmu.

$\log_{2} \sqrt{2}$
$\log \sqrt[3]{10}$
$lo g_{9} 3$
$lo g_{8} 2$
Ponieważ $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ , więc $\log_{2} \sqrt{2} = lo g_{2} 2^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$ .
Ponieważ $\sqrt[3]{10} = 1 0^{\frac{1}{3}}$ , więc $\log \sqrt[3]{10} = \log 1 0^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$ .
Ponieważ $9 = 3^{2}$ , więc $3 = 9^{\frac{1}{2}}$ , co oznacza, że $lo g_{9} 3 = lo g_{9} 9^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$ .
Ponieważ $2^{3} = 8$ , więc $2 = 8^{\frac{1}{3}}$ , co oznacza, że $lo g_{8} 2 = lo g_{8} 8^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$ .

iUebUJTEGs_d5e343

Własności logarytmu

Przykład 7

Rozwiążemy równanie

$3^{x} = 5$
$2^{x} = \frac{9}{11}$
$7^{x} = \frac{1}{4}$
$1 0^{x} = 2$

Korzystamy z definicji logarytmu.

Argument, dla którego funkcja wykładnicza ${f (x) = 3}^{x}$ przyjmuje wartość $5$ , to $x = \log_{3} 5$ .
Argument, dla którego funkcja wykładnicza ${f (x) = 2}^{x}$ przyjmuje wartość $\frac{9}{11}$ , to $x = \log_{2} \frac{9}{11}$ .
Argument, dla którego funkcja wykładnicza ${f (x) = 7}^{x}$ przyjmuje wartość $\frac{1}{4}$ , to $x = \log_{7} \frac{1}{4}$ .
Argument, dla którego funkcja wykładnicza $f (x) = 1 0^{x}$ przyjmuje wartość $2$ , to $x = \log 2$ .

Przykład 8

Każdą z podanych liczb zapiszemy bez użycia logarytmu.

$2^{\log_{2} 3}$
$7^{\log_{7} 11}$
$100 0^{\log 2}$
${(\frac{1}{5})}^{\log_{5} 6}$

W definicji logarytmu zapisaliśmy, że dla dodatniej liczby $c$ przy dodatniej i różnej od $1$ podstawie $a$ prawdziwa jest równość $a^{lo g_{a} c} = c$ . Wobec tego

$2^{\log_{2} 3} = 3$
$7^{\log_{7} 11} = 11$
$100 0^{\log 2} = {(1 0^{3})}^{\log 2} = 1 0^{3 \log 2} = {(1 0^{\log 2})}^{3} = 2^{3} = 8$
${(\frac{1}{5})}^{\log_{5} 6} = {(5^{- 1})}^{\log_{5} 6} = 5^{- \log_{5} 6} = {(5^{\log_{5} 6})}^{- 1} = 6^{- 1} = \frac{1}{6}$

Przykład 9

Wyznaczymy wszystkie liczby $x$ , dla których określone jest wyrażenie

$\log_{3} (x - 5)$
$\log_{2} (2 x + 7)$
$\log_{\frac{1}{5}} (3 x - x^{2})$
$\log \frac{x^{2} + 2}{x - 2}$

Logarytm, którego podstawa jest liczbą dodatnią i różną od $1$ , jest określony wyłącznie dla argumentów dodatnich. Wobec tego

wyrażenie $lo g_{3} (x - 5)$ jest określone tylko dla tych $x$ , które spełniają nierówność $x - 5 > 0$ , czyli dla $x > 5$ .
wyrażenie $\log_{2} (2 x + 7)$ jest określone tylko dla tych $x$ , które spełniają nierówność $2 x + 7 > 0$ , czyli dla $x > - \frac{7}{2}$ .
wyrażenie $\log_{\frac{1}{5}} (3 x - x^{2})$ jest określone tylko dla tych $x$ , które spełniają nierówność $3 x - x^{2} > 0$ .
Zatem
$x^{2} - 3 x < 0$ $x (x - 3) < 0$ Po rozwiązaniu otrzymanej nierówności kwadratowej stwierdzamy, że $x \in (0, 3)$ .
wyrażenie $\log \frac{x^{2} + 2}{x - 2}$ jest określone tylko dla tych $x$ , które spełniają nierówność $\frac{x^{2} + 2}{x - 2} > 0$ . Ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej wyrażenie $x^{2} + 2$ jest dodatnie, więc nierówność $\frac{x^{2} + 2}{x - 2} > 0$ jest równoważna nierówności $x - 2 > 0$ . Zatem wyrażenie $\log \frac{x^{2} + 2}{x - 2}$ jest określone wyłącznie dla $x > 2$ .

Przykład 10

Wyznaczymy wszystkie liczby $x$ , dla których wyrażenie $\log_{x} 9$ ma wartość $2$ .
Podstawa $x$ logarytmu zapisanego po lewej stronie równania $\log_{x} 9 = 2$ musi być liczbą dodatnią i różną od $1$ .
Korzystając z definicji logarytmu, stwierdzamy, że $\log_{x} 9 = 2$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x^{2} = 9$ .
Wobec tego $x = 3$ lub $x = - 3$ .
Tylko pierwsza z tych liczb spełnia warunki określone dla podstawy logarytmu, co oznacza, że jedyną liczbą, dla której wyrażenie $\log_{x} 9$ ma wartość $2$ , jest $x = 3$ .

iUebUJTEGs_d5e470

classicmobile

Ćwiczenie 1

Dane są liczby $a = \log_{2} 8$ , $b = \log_{3} 9$ , $c = \log 10$ . Wówczas

RXPwgpfMGi1ss

$a < b$
$b > c$
$a = b + c$
$a + b + c > 10$

static

Ćwiczenie 1

Dane są liczby $a = \log_{2} 8$ , $b = \log_{3} 9$ , $c = \log 10$ . Wówczas

RRSwtPzH1ylHA

$a < b$
$b > c$
$a = b + c$
$a + b + c > 10$

classicmobile

Ćwiczenie 2

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R9jWD3qpzt91T

Liczba $\log_{5} 125$ jest o $100$ większa od liczby $\log_{5} 25$ .
Suma liczb $\log_{3} 9$ i $\log_{3} \frac{1}{9}$ jest równa $0$ .
Liczby $\log_{2} \frac{1}{16}$ i $lo g_{\frac{1}{2}} 16$ są równe.
Liczba $\log 1 000 000$ jest $3$ razy większa od liczby $\log 100$ .

static

Ćwiczenie 2

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R5deqxNTb5VQ1

Liczba $\log_{5} 125$ jest o $100$ większa od liczby $\log_{5} 25$ .
Suma liczb $\log_{3} 9$ i $\log_{3} \frac{1}{9}$ jest równa $0$ .
Liczby $\log_{2} \frac{1}{16}$ i $lo g_{\frac{1}{2}} 16$ są równe.
Liczba $\log 1 000 000$ jest $3$ razy większa od liczby $\log 100$ .

classicmobile

Ćwiczenie 3

Które z podanych wyrażeń jest określone dla każdej dodatniej liczby całkowitej $x$ ?

R1MLIZmCVNkQT

$\log_{2} (3 x - 1)$
$\log_{\frac{5}{3}} (100 - x)$
$\log_{\frac{1}{2}} (x + 2)$
$\log (x^{2} - x)$

static

Ćwiczenie 3

Które z podanych wyrażeń jest określone dla każdej dodatniej liczby całkowitej $x$ ?

R1KcPV95ysLWh

$\log_{2} (3 x - 1)$
$\log_{\frac{5}{3}} (100 - x)$
$\log_{\frac{1}{2}} (x + 2)$
$\log (x^{2} - x)$

classicmobile

Ćwiczenie 4

Funkcja wykładnicza określona jest wzorem $f (x) = 5^{x}$ . Wówczas

RXvaq6JUwASo6

$f (x) = 2$ dla $x = \log_{2} 5$
$f (x) = 3$ dla $x = \log_{5} 5^{3}$
$f (x) = 7$ dla $x = \log_{5} 7$
$f (x) = 10$ dla $x = \log_{5} 2^{5}$

static

Ćwiczenie 4

Funkcja wykładnicza określona jest wzorem $f (x) = 5^{x}$ . Wówczas

R1TPt36F2N85y

$f (x) = 2$ dla $x = \log_{2} 5$
$f (x) = 3$ dla $x = \log_{5} 5^{3}$
$f (x) = 7$ dla $x = \log_{5} 7$
$f (x) = 10$ dla $x = \log_{5} 2^{5}$

classicmobile

Ćwiczenie 5

Które z podanych liczb są całkowite?

R1KDxSZPWIcjr

$\log_{2} 0,125$
$\log_{5} 20$
$9^{\log_{3} 2}$
$1 0^{\log \frac{1}{10}}$

static

Ćwiczenie 5

Które z podanych liczb są całkowite?

Ri3AClIgrMVlf

$\log_{2} 0,125$
$\log_{5} 20$
$9^{\log_{3} 2}$
$1 0^{\log \frac{1}{10}}$

classicmobile

Ćwiczenie 6

Funkcja wykładnicza określona wzorem $f (x) = 4^{x}$ przyjmuje wartość $12$ dla argumentu

R11fiDQ8qJitW

$x = \log_{4} 12$
$x = 3$
$x = \log_{4} 3$
$x = \log_{12} 4$

static

Ćwiczenie 6

Funkcja wykładnicza określona wzorem $f (x) = 4^{x}$ przyjmuje wartość $12$ dla argumentu

RTeVNpHS3aUmI

$x = \log_{4} 12$
$x = 3$
$x = \log_{4} 3$
$x = \log_{12} 4$

classicmobile

Ćwiczenie 7

Suma $\log 1 000 + \log_{7} 1$ jest równa

RrLIqUYV5LpXN

$101$
$7$
$4$
$3$

static

Ćwiczenie 7

Suma $\log 1 000 + \log_{7} 1$ jest równa

RTmdndykeXNsm

$101$
$7$
$4$
$3$

classicmobile

Ćwiczenie 8

Liczba $t$ jest równa $\log_{2} 6$ . Wtedy

R1BKTEWBeqVpK

$t = 3$
$2^{t} = 6$
$t = 2^{6}$
$t = 6^{2}$

static

Ćwiczenie 8

Liczba $t$ jest równa $\log_{2} 6$ . Wtedy

RE4eqiKHbb5Ir

$t = 3$
$2^{t} = 6$
$t = 2^{6}$
$t = 6^{2}$

classicmobile

Ćwiczenie 9

Różnica $\log_{\frac{1}{5}} 25 - \log_{3} \frac{1}{81}$ jest równa

RkCD5dPria4rv

$- 6$
$- 2$
$2$
$6$

static

Ćwiczenie 9

Różnica $\log_{\frac{1}{5}} 25 - \log_{3} \frac{1}{81}$ jest równa

Rm6EAAkzSegNK

$- 6$
$- 2$
$2$
$6$

classicmobile

Ćwiczenie 10

Wyrażenie $\log_{\frac{1}{3}} (3 - x)$ jest określone dla wszystkich $x$ , które spełniają warunek

R1LiJsmySo8yQ

$x < 3$
$x < - 3$
$x > 3$
$x > - 3$

static

Ćwiczenie 10

Wyrażenie $\log_{\frac{1}{3}} (3 - x)$ jest określone dla wszystkich $x$ , które spełniają warunek

RJi1cPIqVBI2O

$x < 3$
$x < - 3$
$x > 3$
$x > - 3$

iUebUJTEGs_d5e961

classicmobile

Ćwiczenie 11

Dane są liczby $a = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$ , $b = \log_{\frac{1}{2}} 4$ , $c = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}$ , $d = \log_{\frac{1}{2}} 16$ . Największą z nich jest

RBGuU6jf1cKy6

static

Ćwiczenie 11

Dane są liczby $a = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$ , $b = \log_{\frac{1}{2}} 4$ , $c = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}$ , $d = \log_{\frac{1}{2}} 16$ . Największą z nich jest

R176F4k6Vzpmw

classicmobile

Ćwiczenie 12

O liczbie $x$ wiadomo, że $\log_{9} x = \frac{1}{2}$ . Wtedy

RYtj92LYDKlEg

$x = 3$
$x = \frac{2}{9}$
$x = 4,5$
$x = \frac{1}{512}$

static

Ćwiczenie 12

O liczbie $x$ wiadomo, że $\log_{9} x = \frac{1}{2}$ . Wtedy

Ry3U9pV9HIOm1

$x = 3$
$x = \frac{2}{9}$
$x = 4,5$
$x = \frac{1}{512}$

classicmobile

Ćwiczenie 13

Liczba $\log_{3^{2}} 3^{8}$ jest równa

R1ZQsrETfU6Qc

$4$
$6$
$3^{4}$
$3^{6}$

static

Ćwiczenie 13

Liczba $\log_{3^{2}} 3^{8}$ jest równa

R194EY6VFtX6v

$4$
$6$
$3^{4}$
$3^{6}$

Ćwiczenie 14

Zapisz każdą z podanych liczb, nie używając logarytmu.

$\log_{6} 36$
$\log_{7} 343$
$\log_{12} 1$
$\log_{27} 27$

$\log_{6} 36 = \log_{6} 6^{2} = 2$
$\log_{7} 343 = \log_{7} 7^{3} = 3$
$lo g_{12} 1 = lo g_{12} 1 2^{0} = 0$
$\log_{27} 27 = \log_{27} 2 7^{1} = 1$

Ćwiczenie 15

Rozwiąż równanie.

$2^{x} = 5$
$3^{x} = 10$
$7^{x} = 2$
$1 0^{x} = 99$

$x = \log_{2} 5$
$x = \log_{3} 10$
$x = \log_{7} 2$
$x = \log 99$

Ćwiczenie 16

Zapisz podaną liczbę bez użycia logarytmu.

$3^{\log_{3} 5}$
$2^{\log_{2} 11}$
$5^{\log_{5} 4}$
$1 0^{\log 7}$

$5$
$11$
$4$
$7$

Ćwiczenie 17

Uzasadnij, że podana liczba jest całkowita.

$\log_{8} 0,125$
$\log_{4} \frac{1}{64}$
$\log_{3} \frac{1}{243}$
$\log_{2} \frac{1}{128}$

$- 1$
$- 3$
$- 5$
$- 7$

$\log_{8} 0,125 = \log_{8} \frac{1}{8} = \log_{8} 8^{- 1} = - 1$
$\log_{4} \frac{1}{64} = \log_{4} \frac{1}{4^{3}} = \log_{4} 4^{- 3} = - 3$
$\log_{3} \frac{1}{243} = \log_{3} \frac{1}{3^{5}} = \log_{3} 3^{- 5} = - 5$
$\log_{2} \frac{1}{128} = \log_{2} \frac{1}{2^{7}} = \log_{2} 2^{- 7} = - 7$

Ćwiczenie 18

Zapisz podaną liczbę bez użycia logarytmu.

$lo g_{\frac{1}{5}} 5$
$lo g_{\frac{1}{9}} 81$
$lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{1024}$
$lo g_{\frac{3}{2}} \frac{2}{3}$

$- 1$
$- 2$
$10$
$- 1$

Ponieważ ${(\frac{1}{5})}^{- 1} = 5^{1} = 5$ , więc $lo g_{\frac{1}{5}} 5 = lo g_{\frac{1}{5}} {(\frac{1}{5})}^{- 1} = - 1$ .
Ponieważ ${(\frac{1}{9})}^{- 2} = 9^{2} = 81$ , więc $lo g_{\frac{1}{9}} 81 = lo g_{\frac{1}{9}} {(\frac{1}{9})}^{- 2} = - 2$ .
Ponieważ ${(\frac{1}{2})}^{10} = \frac{1}{1024}$ , więc $lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{1024} = lo g_{\frac{1}{2}} {(\frac{1}{2})}^{10} = 10$ .
Ponieważ ${(\frac{3}{2})}^{- 1} = \frac{2}{3}$ , więc $lo g_{\frac{3}{2}} \frac{2}{3} = lo g_{\frac{3}{2}} {(\frac{3}{2})}^{- 1} = - 1$ .

Ćwiczenie 19

Oblicz i zapisz wynik bez użycia logarytmu.

$\log_{4} 256 - \log 1000$
$17 \log_{17} \frac{1}{17} - 32 \log_{2} \frac{1}{32}$

$1$
$143$

$\log_{4} 256 - \log 1000 = \log_{4} 4^{4} - \log 1 0^{3} = 4 - 3 = 1$
$17 \log_{17} \frac{1}{17} - 32 \log_{2} \frac{1}{32} = 17 \log_{17} \frac{1}{1 7^{1}} - 32 \log_{2} \frac{1}{2^{5}} = 17 \log_{17} 1 7^{- 1} - 32 \log_{2} 2^{- 5} = 17 \cdot (- 1) - 32 \cdot (- 5) = 143$

iUebUJTEGs_d5e1390

Ćwiczenie 20

Oblicz i zapisz wynik bez użycia logarytmu.

$9^{l {og}_{3} 8}$
$10 0^{\log 11}$

$64$
$121$

$9^{\log_{3} 8} = {(3^{2})}^{\log_{3} 8} = {(3^{\log_{3} 8})}^{2} = 8^{2} = 64$
$10 0^{\log 11} = {(1 0^{2})}^{\log 11} = {(1 0^{\log 11})}^{2} = 1 1^{2} = 121$

Ćwiczenie 21

Wyznacz wszystkie liczby $x$ , dla których określone jest wyrażenie.

$\log (7 - 4 x)$
$\log_{2} \frac{1}{x + 3}$
$\log_{3} (x^{2} - 4)$
$\log_{x} (2 - x)$

$x < 1 \frac{3}{4}$
$x > - 3$
$x \in (- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$
$x \in (0, 1) \cup (1, 2)$ .

Wyrażenie $\log (7 - 4 x)$ jest określone tylko dla tych $x$ , które spełniają warunek $7 - 4 x > 0$ , stąd $x < \frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4}$ .
Wyrażenie $\log_{2} \frac{1}{x + 3}$ jest określone tylko dla tych $x$ , które spełniają warunek $\frac{1}{x + 3} > 0$ , stąd $x + 3 > 0$ , czyli $x > - 3$ .
Wyrażenie $lo g_{3} (x^{2} - 4)$ jest określone tylko dla tych $x$ , które spełniają warunek $x^{2} - 4 > 0$ . Rozwiązujemy tę nierówność i otrzymujemy, że podane wyrażenie jest określone dla $x \in (- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ .
Wyrażenie $lo g_{x} (2 - x)$ jest określone tylko dla tych $x$ , które spełniają jednocześnie trzy warunki: $2 - x > 0$ , $x > 0$ i $x \neq 1$ . Wobec tego $x \in (0, 1) \cup (1, 2)$ .

Ćwiczenie 22

Wyznacz wszystkie liczby $x$ , dla których wyrażenie $\log_{x} \frac{x - 3}{10}$ ma wartość $- 1$ .

$x = 5$

Wyrażenie $lo g_{x} \frac{x - 3}{10}$ jest określone tylko dla tych $x$ , które spełniają jednocześnie trzy warunki: $\frac{x - 3}{10} > 0$ , $x > 0$ i $x \neq 1$ , czyli dla $x > 3$ . Załóżmy, że istnieje $x > 3$ , dla którego $lo g_{x} \frac{x - 3}{10} = - 1$ . Wówczas z definicji logarytmu otrzymujemy, że $x$ jest rozwiązaniem równania $\frac{x - 3}{10} = x^{- 1}$ , stąd $\frac{x - 3}{10} = \frac{1}{x}$ , $x (x - 3) = 10$ , a więc $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ . Rozwiązaniami tego równania kwadratowego są liczby $x = 5$ oraz $x = - 2$ . Tylko dla pierwszej z nich wyrażenie $lo g_{x} \frac{x - 3}{10}$ jest określone, zatem $\log_{x} \frac{x - 3}{10} = - 1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x = 5$ .

Ćwiczenie 23

Wykaż, że $5 \log_{16} 4 + 7 \log_{25} 5 = 6$ .

$\log_{16} 4 = \log_{16} 1 6^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$ oraz $\log_{25} 5 = \log_{25} 2 5^{\frac{1}{2}}$ , zatem $5 \log_{16} 4 + 7 \log_{25} 5 = \frac{5}{2} + \frac{7}{2} = 6$

Ćwiczenie 24

Wykaż, że $4^{1 + \log_{2} 5} = 100$ .

$4^{1 + \log_{2} 5} = 4^{1} \cdot 4^{\log_{2} 5} = 4 \cdot {(2^{2})}^{\log_{2} 5} = 4 \cdot 2^{2 \cdot \log_{2} 5} = 4 \cdot {(2^{\log_{2} 5})}^{2} = 4 \cdot 5^{2} = 4 \cdot 25 = 100$

Ćwiczenie 25

Wykaż, że $\log_{5} \sqrt{5} + \log_{6} \sqrt[3]{6} + \log_{7} \sqrt[4]{7} = 1 \frac{1}{12}$ .

Ponieważ $\log_{5} \sqrt{5} = \log_{5} 5^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$ , $\log_{6} \sqrt[3]{6} = \log_{6} 6^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$ oraz $\log_{7} \sqrt[4]{7} = \log_{7} 7^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4}$ , więc $\log_{5} \sqrt{5} + \log_{6} \sqrt[3]{6} + \log_{7} \sqrt[4]{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{6 + 4 + 3}{12} = \frac{13}{12} = 1 \frac{1}{12} .$

Ćwiczenie 26

Liczby dodatnie $a$ , $b$ , $c$ spełniają warunek $lo g_{3} a = lo g_{5} b = lo g_{7} c = 4$ . Wykaż, że $\sqrt{abc} = 11 025$ .

Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy $a = 3^{4}$ , $b = 5^{4}$ , $c = 7^{4}$ . Zatem $\sqrt{abc} = \sqrt{3^{4} \cdot 5^{4} \cdot 7^{4}} = \sqrt{{(3 \cdot 5 \cdot 7)}^{4}} = 10 5^{2} = 11 025 .$ Koniec dowodu.

Ćwiczenie 27

Dane są liczby $a = \log_{2} 3$ oraz $b = \log_{4} 9$ . Wykaż, że liczby $a$ i $b$ są równe.

Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy $2^{a} = 3$ oraz $4^{b} = 9$ . Stąd ${(2^{2})}^{b} = 3^{2}$ , czyli ${(2^{b})}^{2} = 3^{2}$ . Liczba $2^{b}$ jest dodatnia, zatem $2^{b} = 3$ . Oznacza to, że liczba $a$ i liczba $b$ to rozwiązania równania $2^{x} = 3$ . Ponieważ funkcja wykładnicza $f$ określona wzorem $f (x) = 2^{x}$ osiąga wartość $3$ tylko dla jednego argumentu, więc $a = b$ . To kończy dowód.

Ćwiczenie 28

Dane są liczby $a = \log_{5} 7$ , $b = \log 7$ oraz $c = \log 5$ . Wykaż, że $c \cdot a = b$ .

Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy $5^{a} = 7$ , $1 0^{b} = 7$ oraz $1 0^{c} = 5$ . Stąd $1 0^{c \cdot a} = {(1 0^{c})}^{a} = 5^{a} = 7$ . Oznacza to, że liczba $c \cdot a$ i liczba $b$ to rozwiązania równania $1 0^{x} = 7$ . Ponieważ funkcja wykładnicza $f$ określona wzorem $f (x) = 1 0^{x}$ osiąga wartość $7$ tylko dla jednego argumentu, więc $c \cdot a = b$ . W ten sposób dowód został zakończony.

Ćwiczenie 29

Rozstrzygnij, czy istnieją takie dodatnie liczby całkowite $p$ i $q$ , dla których zachodzi równość $lo g_{3} 5 = \frac{p}{q}$ .

Załóżmy, że istnieją takie dodatnie liczby całkowite $p$ i $q$ , dla których $\log_{3} 5 = \frac{p}{q}$ . Wtedy $3^{\frac{p}{q}} = 5$ , czyli $3^{p} = 5^{q}$ . Otrzymana równość jest sprzeczna, bo jej lewa strona jest liczbą podzielną przez $3$ (jako iloczyn $p$ trójek), a prawa przez $3$ się nie dzieli, gdyż jest iloczynem $q$ piątek.

Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej

Działania na logarytmach. Przykłady

Definicja logarytmu. Własności logarytmu

Pojęcie logarytmu

Własności logarytmu