iaKE2NFytN_d5e82

Ciąg arytmetyczny

Przykład 1

R179TQXWHrBA41

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ciąg arytmetyczny

Definicja: Ciąg arytmetyczny

Ciąg $(a_{n})$ nazywamy arytmetycznym, jeżeli ma co najmniej $3$ wyrazy i każdy jego wyraz, począwszy od drugiego, jest sumą wyrazu poprzedniego i pewnej ustalonej liczby. Liczbę tę nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy ją $r$ .
Jeśli więc ciąg jest skończony i ma $k \geq 3$ wyrazów, to $a_{n + 1} = a_{n} + r$ dla dowolnej liczby całkowitej $1 \leq n \leq k - 1$ . Jeśli natomiast ciąg jest nieskończony, to $a_{n + 1} = a_{n} + r$ dla dowolnej liczby całkowitej $n \geq 1$ .

R1dd9J0Unfrhu1

Zauważmy, że jeżeli znamy $a_{1}$ , czyli pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, oraz różnicę $r$ tego ciągu, to możemy wyznaczyć dowolny wyraz tego ciągu.

a_{2} = a_{1} + r

a_{3} = a_{2} + r = a_{1} + 2 r

a_{4} = a_{3} + r = a_{1} + 3 r

a_{5} = a_{4} + r = a_{1} + 4 r \dots

Wystarczy zatem do wyrazu $a_{1}$ dodać $(n - 1)$ razy różnicę $r$ tego ciągu. Otrzymaliśmy w ten sposób wzór na $n$ -ty wyraz ciągu arytmetycznego.

RJMfPdOxPKA3U1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DyliBdW4j

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ o różnicy $r$ jest równy $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ .
Zależność między dwoma kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a więc równość $a_{n + 1} = a_{n} + r$ możemy też zapisać w postaci równoważnej $a_{n + 1} - a_{n} = r .$

RF2lvfthACvtf1

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DyliBdW4j

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

RBZuGCH1DHOh91

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DyliBdW4j

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

iaKE2NFytN_d5e197

Przykład 2

Sprawdź, czy nieskończony ciąg określony wzorem ogólnym $a_{n} = 2 - 3 n$ jest ciągiem arytmetycznym. Jeżeli tak, to oblicz jego różnicę.
Zbadamy różnicę $a_{n + 1} - a_{n}$ dwóch kolejnych wyrazów ciągu $(a_{n})$ . Wyznaczmy najpierw

a_{n + 1} = 2 - 3 (n + 1) = 2 - 3 n - 3 = - 3 n - 1

Wtedy

a_{n + 1} - a_{n} = - 3 n - 1 - (2 - 3 n) = - 3 n - 1 - 2 + 3 n = - 3

Otrzymana różnica jest stała (nie zależy od $n$ ), co oznacza, że rozważany ciąg jest arytmetyczny, a otrzymana liczba $- 3$ to właśnie różnica tego ciągu.
Zauważmy, że

a_{1} = 2 - 3 ∙ 1 = - 1

Wzór na $n$ -ty wyraz to $a_{n} = - 1 + (n - 1) (- 3)$ , co jest zgodne z tym, że $a_{n} = 2 - 3 n$ .

Przykład 3

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ jest równy $7$ , a różnica tego ciągu jest równa $- 2$ . Oblicz dziesiąty oraz trzydziesty drugi wyraz tego ciągu.
Korzystając ze wzoru na $n$ -ty wyraz ciągu arytmetycznego, mamy

a_{10} = 7 + (10 - 1) (- 2) = 7 - 18 = - 11

a_{32} = 7 + (32 - 1) (- 2) = 7 - 62 = - 55

Przykład 4

Piąty wyraz pewnego ciągu arytmetycznego jest równy $5 \frac{2}{3}$ , a siódmy wyraz tego ciągu jest równy $7$ . Podaj wyraz jedenasty tego ciągu.
Obliczymy jedenasty wyraz ciągu dwoma sposobami.

sposób $I$

Zapiszemy, korzystając ze wzoru na $n$ -ty wyraz ciągu arytmetycznego, wyrazy $a_{5}$ i $a_{7}$

a_{5} = a_{1} + 4 r

oraz

a_{7} = a_{1} + 6 r

Otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi $a_{1}$ i $r$

\{\begin{matrix} a_{1} + 4 r = 5 \frac{2}{3} \\ a_{1} + 6 r = 7 \end{matrix}

Rozwiążmy ten układ:

\{\begin{matrix} a_{1} + 4 r = 5 \frac{2}{3} \\ a_{1} = 7 - 6 r \end{matrix}

\{\begin{matrix} 7 - 6 r + 4 r = 5 \frac{2}{3} \\ a_{1} = 7 - 6 r \end{matrix}

\{\begin{matrix} - 2 r = - 7 + 5 \frac{2}{3} \\ a_{1} = 7 - 6 r \end{matrix}

\{\begin{matrix} - 2 r = - \frac{4}{3} \\ a_{1} = 7 - 6 r \end{matrix}

\{\begin{matrix} r = \frac{2}{3} \\ a_{1} = 7 - 6 ∙ \frac{2}{3} = 3 \end{matrix}

Możemy teraz, ponownie stosując wzór na $n$ -ty wyraz ciągu arytmetycznego, obliczyć wyraz jedenasty

a_{11} = a_{1} + 10 r = 3 + 10 ∙ \frac{2}{3} = 9 \frac{2}{3}

sposób $II$

Zauważmy, że wyraz siódmy różni się od piątego wyrazu o $2 r$ , gdyż $a_{7} - a_{6} = r$ oraz $a_{6} - a_{5} = r$ . Zatem $2 r = 7 - 5 \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ . Szukany wyraz jedenasty różni się od wyrazu siódmego o $4 r$ . Zatem

a_{11} = a_{7} + 4 r = 7 + 2 ∙ \frac{4}{3} = 9 \frac{2}{3}

Zwróćmy uwagę, że każdy ciąg arytmetyczny jest monotoniczny.

R4w4gpfLRxe9u1

Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Twierdzenie: Monotoniczność ciągu arytmetycznego

Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest dodatnia, to ciąg ten jest rosnący. Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest ujemna, to ciąg ten jest malejący. Jeżeli różnica ciągu arytmetycznego jest równa zero, to ciąg jest stały i jego wszystkie wyrazy są równe $a_{1}$ .

R6JAAAE5kQTC71

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DyliBdW4j

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Zauważmy, że każdy punkt wykresu ciągu arytmetycznego $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ leży na prostej o równaniu $y = a_{1} + (x - 1) r$ , czyli $y = rx + a_{1} - r$ , gdzie $r$ oraz $a_{1}$ (różnica i pierwszy wyraz ciągu) to ustalone dla danego ciągu liczby. Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy różnicy ciągu. Tak więc ciąg $(a_{n})$ jest:

rosnący, gdy rosnąca jest funkcja liniowa, której wykresem jest ta prosta, a więc gdy współczynnik kierunkowy $r$ tej prostej jest dodatni, czyli $r > 0$ ;
malejący, gdy malejąca jest funkcja liniowa, której wykresem jest ta prosta, a więc gdy współczynnik kierunkowy $r$ tej prostej jest ujemny, czyli $r < 0$ ;
stały, gdy stała jest funkcja liniowa, której wykresem jest ta prosta, a więc gdy współczynnik kierunkowy $r$ tej prostej jest równy zero, czyli $r = 0$ .

Przykład 5

Ciąg $(a_{n})$ jest arytmetyczny oraz $a_{1} + a_{5} = 8$ i $a_{2} ∙ a_{8} = 19$ . Oblicz pierwszy wyraz oraz różnicę ciągu $(a_{n})$ .
Ze wzoru na $n$ -ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać wyrazy $a_{2}$ , $a_{5}$ i $a_{8}$ w zależności od $a_{1}$ i $r$ . Możemy wtedy zapisać równanie $a_{1} + a_{5} = 8,$ podane w treści zadania, w postaci $a_{1} + (a_{1} + 4 r) = 8$ . Stąd $a_{1} = 4 - 2 r$ . Podobnie możemy zapisać równanie $a_{2} ∙ a_{8} = 19$ w postaci $(a_{1} + r) (a_{1} + 7 r) = 19$ . W ten sposób otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą $r$

(4 - 2 r + r) (4 - 2 r + 7 r) = 19

Przekształcamy je w sposób równoważny

(4 - r) (4 + 5 r) = 19

16 + 16 r - 5 r^{2} = 19

- 5 r^{2} + 16 r - 3 = 0

Obliczamy wyróżnik tego równania $∆ = 256 - 60 = 196 > 0$ . Zatem równanie to ma dwa rozwiązania $r_{1} = 3$ oraz $r_{2} = \frac{1}{5}$ .
To oznacza, że istnieją dwa ciągi arytmetyczne, których wyrazy spełniają podane w treści zadania warunki. Gdy $r = 3$ , to $a_{1} = 4 - 2 r = 4 - 2 ∙ 3 = - 2$ , a gdy $r = \frac{1}{5}$ , to $a_{1} = 4 - 2 r = 4 - 2 ∙ \frac{1}{5} = \frac{18}{5}$ .

iaKE2NFytN_d5e382

Ćwiczenie 1

RlKLarCDQPBhD1

Połącz w pary wzór ogólny ciągu arytmetycznego z odpowiednimi wartościami $a_{1}$ i $r$ .

$a_{n} = - \frac{1}{2} n + 5 \frac{1}{2}$
$a_{n} = \frac{1}{2} n - 5 \frac{1}{2}$
$a_{n} = - \frac{1}{2} n - 4 \frac{1}{2}$
$a_{n} = \frac{1}{2} n + 4 \frac{1}{2}$
$a_{n} = 5 n - 4 \frac{1}{2}$
$a_{n} = - 5 n + 5 \frac{1}{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

RhovL9MzfiMeb1

Uporządkuj tak, aby uzyskać malejący ciąg arytmetyczny.

$\frac{1}{10}$
$- \frac{2}{5}$
$\frac{3}{5}$
$2 \frac{3}{5}$
$2 \frac{1}{10}$
$1 \frac{3}{5}$
$1 \frac{1}{10}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Wyrazami nieskończonego ciągu $(a_{n})$ są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez $6$ dają resztę $2$ , a trzeci wyraz tego ciągu $a_{3} = 56$ . Oblicz siedemdziesiąty wyraz tego ciągu.

$458$

Liczby naturalne, które przy dzieleniu przez $6$ dają resztę $2$ , to kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego o różnicy równej $6$ , gdyż co szósta liczba naturalna daje przy dzieleniu przez $6$ resztę $2$ . Zatem wyraz $a_{70}$ jest równy $a_{70} = a_{3} + 67 r = 56 + 402 = 458$ .

classicmobile

Ćwiczenie 4

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RTCm0Ab4cOpho

Ciąg $a_{n} = n^{2} + 7$ jest ciągiem arytmetycznym.
Ciąg $b_{n} = \frac{n}{7} + 2$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy $2$ .
Ciąg $c_{n} = 2 n - 3$ jest ciągiem arytmetycznym rosnącym.

Ciąg $a_{n} = n^{2} + 7$ nie jest ciągiem arytmetycznym.

Zauważmy, że $a_{1} = 8$ , $a_{2} = 11$ , $a_{3} = 16$ . Zatem $a_{2} - a_{1} = 3$ oraz $a_{3} - a_{2} = 5$ . Różnica między kolejnymi wyrazami ciągu nie jest stała, więc to nie jest ciąg arytmetyczny.

Ciąg $b_{n} = \frac{n}{7} + 2$ nie jest ciągiem arytmetycznym o różnicy $2$ .

$b_{n + 1} - b_{n} = \frac{n + 1}{7} + 2 - (\frac{n}{7} + 2) = \frac{1}{7}$ , więc ciąg $(b_{n})$ jest arytmetyczny, ale jego różnica jest równa $\frac{1}{7}$ .

Ciąg $c_{n} = 2 n - 3$ jest ciągiem arytmetycznym rosnącym.

$c_{n + 1} - c_{n} = 2 (n + 1) - 3 - (2 n - 3) = 2$ , a więc ciąg $(c_{n})$ jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest dodatnia, więc ciąg jest rosnący.

Ćwiczenie 5

Liczby $a, 2, b, c, 3, d$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz $a, b, c$ i $d$ .

$a = 1 \frac{2}{3}$
$b = 2 \frac{1}{3}$
$c = 2 \frac{2}{3}$
$d = 3 \frac{1}{3}$

Niech $r$ oznacza różnicę ciągu arytmetycznego $(a, 2, b, c, 3, d)$ . Drugi wyraz tego ciągu jest równy $2$ , a piąty $3$ . Piąty i drugi wyraz ciągu arytmetycznego różnią się o $3 r$ , więc $r = \frac{1}{3}$ . Teraz możemy obliczyć kolejno: pierwszy, trzeci, czwarty i szósty wyraz tego ciągu.
$a = 2 - \frac{1}{3} = 1 \frac{2}{3}$
$b = 2 + \frac{1}{3} = 2 \frac{1}{3}$
$c = 2 + 2 ∙ \frac{1}{3} = 2 \frac{2}{3}$
$d = 3 + \frac{1}{3} = 3 \frac{1}{3}$

Ćwiczenie 6

Pomiędzy liczby $6$ i $30$ wstaw siedem liczb, tak aby razem z liczbami $6$ i $30$ tworzyły ciąg arytmetyczny.

$9, 12, 15, 18, 21, 24, 27$

Ponieważ mamy wstawić siedem liczb, więc $a_{1} = 6$ oraz $a_{9} = 30$ . Ze wzoru na $n$ -ty wyraz ciągu otrzymujemy $a_{9} = a_{1} + 8 r$ , czyli $30 = 6 + 8 r$ , stąd $r = 3$ . Zatem pierwsza z szukanych liczb jest równa $a_{2} = a_{1} + r = 6 + 3 = 9$ , druga to $9 + 3 = 12$ , trzecia to $15$ , czwarta to $18$ , piąta $21$ , szósta $24$ i siódma $27$ .

Ćwiczenie 7

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ , w którym $a_{10} = 10 \sqrt{2} + 9$ oraz $r = \sqrt{2} + 1$ . Wyznacz równanie prostej, w której zawarty jest wykres ciągu $(a_{n})$ .

$y = (\sqrt{2} + 1) x - 1$

Współczynnik kierunkowy szukanej prostej jest równy różnicy ciągu $(a_{n})$ , więc równanie prostej możemy zapisać w postaci $y = (\sqrt{2} + 1) x + b$ . Ponieważ $a_{10} = 10 \sqrt{2} + 9$ , więc na szukanej prostej leży punkt o współrzędnych $(10, 10 \sqrt{2} + 9)$ . Zatem $10 \sqrt{2} + 9 = (\sqrt{2} + 1) ∙ 10 + b$ . Stąd $b = 10 \sqrt{2} + 9 - 10 (\sqrt{2} + 1) = - 1$ . Równanie szukanej prostej ma więc postać $y = (\sqrt{2} + 1) x - 1$ .

Ćwiczenie 8

Który z rysunków przedstawia wykres ciągu arytmetycznego?

R1Jt1BUk3hr6o1

Grafika statyczna — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$B$ i $D$

classicmobile

Ćwiczenie 9

Wyrazy każdego nieskończonego ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ spełniają warunek

RJDftwZqJ2rzw

$a_{3} + a_{7} = a_{10}$
$a_{4} + a_{5} = a_{2} + a_{7}$
$a_{6} + a_{8} = {2 a}_{7}$

$a_{3} + a_{7} = a_{10}$
Wystarczy wziąć dowolny ciąg stały, którego wyrazy nie są równe $0$ , np. ciąg $(1, 1, 1, \dots)$ . Wtedy $a_{3} + a_{7} = 1 + 1 = 2$ , natomiast $a_{10} = 1$ .
$a_{4} + a_{5}$ i $a_{2} + a_{7}$
Ten warunek spełniają wyrazy każdego ciągu arytmetycznego, gdyż $a_{6} + a_{8} = a_{1} + 5 r + a_{1} + 7 r = 2 a_{1} + 12 r$ oraz $a_{2} + a_{7} = a_{1} + r + a_{1} + 6 r = 2 a_{1} + 7 r,$ a więc tyle samo.
$a_{6} + a_{8}$ i ${2 a}_{7}$
Ten warunek spełniają wyrazy każdego ciągu arytmetycznego, gdyż $a_{4} + a_{5} = a_{1} + 3 r + a_{1} + 4 r = 2 a_{1} + 7 r$ oraz $2 a_{7} = 2 (a_{1} + 6 r) = 2 a_{1} + 12 r,$ a więc tyle samo.

iaKE2NFytN_d5e646

Ćwiczenie 10

Liczby $5, - 2, - 9$ są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego określonego dla $n \geq 1$ . Wzór ogólny tego ciągu ma postać.

R1by366GBZmHr

$7 n + 12$
$- 7 n - 12$
$- 7 n + 12$
$7 n - 12$

Ćwiczenie 11

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ , w którym $r = 6$ i $a_{10} = 55$ . Wtedy pierwszy wyraz ciągu jest równy

R1UIiMtSV6RFZ

$1$
$- 5$
$- 1$
$5$

Ćwiczenie 12

Ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n} = 2 n + 6$ . Wtedy

RokkxidrIarKH

$a_{6} + a_{12} = 18$
$a_{6} + a_{12} = 28$
$a_{6} + a_{12} = 38$
$a_{6} + a_{12} = 48$

Ćwiczenie 13

Ciąg arytmetyczny jest określony wzorem $a_{n} = 4 n - 21$ . Ile wyrazów tego ciągu jest dodatnich?

R1e0XTgbxdWA3

Ćwiczenie 14

Sprawdź, czy podany ciąg jest arytmetyczny. Jeżeli tak, to podaj jego różnicę.
$a_{n} = \frac{2 n}{n + 1}$
$b_{n} = 3 - \frac{n + 2}{5}$
$c_{n} = n^{2} + 5 n$

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{2 n + 2}{n + 2} - \frac{2 n}{n + 1} = \frac{(2 n + 2) (n + 1) - 2 n (n + 2)}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{2}{(n + 1) (n + 2)}$ . Ponieważ różnica między kolejnymi wyrazami ciągu zależy od $n$ , więc nie jest stała, zatem ciąg nie jest arytmetyczny.
$b_{n + 1} - b_{n} = 3 - \frac{n + 3}{5} - (3 - \frac{n + 2}{5}) = - \frac{1}{5}$ . Ponieważ różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest stała, więc jest to ciąg arytmetyczny, a jego różnica jest równa $r = - \frac{1}{5}$ .
$c_{n + 1} - c_{n} = {(n + 1)}^{2} + 5 (n + 1) - (n^{2} + 5 n) = n^{2} + 2 n + 1 + 5 n + 5 - n^{2} - 5 n = 2 n + 6$ . Ponieważ różnica między kolejnymi wyrazami ciągu zależy od n, więc nie jest stała, zatem ten ciąg nie jest arytmetyczny.

Ćwiczenie 15

RudJFIcrLrT7d1

Połącz w pary ciąg arytmetyczny z odpowiadającą mu różnicą.

2
-2
$\frac{1}{2}$
$- \frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
$- \frac{1}{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego, wiedząc, że $a_{3} = \frac{4}{5}$ oraz $a_{10} = 5$ .

$a_{n} = \frac{3}{5} n - 1$

Ponieważ $a_{10} - a_{3} = 7 r$ , więc $5 - \frac{4}{5} = 7 r$ . Stąd $7 r = 5 - \frac{4}{5} = \frac{21}{5}$ , zatem $r = \frac{3}{5}$ . Pierwszy wyraz ciągu jest równy $a_{1} = a_{3} - 2 r = \frac{4}{5} - \frac{6}{5} = - \frac{2}{5}$ . Zatem ogólny wzór ciągu arytmetycznego ma postać $a_{n} = - \frac{2}{5} + (n - 1) ∙ \frac{3}{5} = \frac{3}{5} n - 1$ .

Ćwiczenie 17

Oblicz pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ , którego różnica jest równa $r = - 7$ oraz ósmy wyraz jest równy $a_{8} = 23$ .

$72$

$a_{8} = a_{1} + 7 r$ , czyli $23 = a_{1} + 7 ∙ (- 7)$ , stąd $a_{1} = 72$

iaKE2NFytN_d5e878

Ćwiczenie 18

Wyznacz takie liczby $a, b, c$ i $d$ , żeby ciąg $(3, a, b, c, 8, d)$ był arytmetyczny.

$a = 4 \frac{1}{4}$
$b = 5 \frac{1}{2}$
$c = 6 \frac{3}{4}$
$d = 9 \frac{1}{4}$

Z treści zadania wiemy, że $a_{1} = 3$ oraz $a_{5} = 8$ . Ponieważ $a_{5} - a_{1} = 4 r$ , więc $4 r = 8 - 3 = 5$ , stąd $r = \frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4}$ . Zatem $a = 3 + 1 \frac{1}{4} = 4 \frac{1}{4}$ , $b = 4 \frac{1}{4} + 1 \frac{1}{4} = 5 \frac{1}{2}$ , $c = 5 \frac{1}{2} + 1 \frac{1}{4} = 6 \frac{3}{4}$ , $d = 8 + 1 \frac{1}{4} = 9 \frac{1}{4}$ .

Ćwiczenie 19

Oblicz pierwszy wyraz i różnicę malejącego ciągu arytmetycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{2} + a_{7} = - 17$ oraz $a_{3} ∙ a_{5} = 11$ .

$a_{1} = 9$
$r = - 5$

Ze wzoru na $n$ -ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy równania podane w treści zadania zapisać w postaci $a_{1} + r + a_{1} + 6 r = - 17$ oraz $(a_{1} + 2 r) (a_{1} + 4 r) = 11$ . Z pierwszego z nich wyznaczmy $a_{1} = - \frac{17 + 7 r}{2}$ .
Wtedy drugie z równań możemy zapisać w postaci $(- \frac{17 + 7 r}{2} + 2 r) (- \frac{17 + 7 r}{2} + 4 r) = 11$ . Przekształcając je, otrzymujemy kolejno

(- 17 - 3 r) (- 17 + r) = 44

- 3 r^{2} + 34 r + 245 = 0

Wyróżnik tego równania jest równy $∆ = 1156 + 2940 = 4096 > 0$ , więc równanie ma dwa rozwiązania $r_{1} = - 5$ oraz $r_{2} = 16 \frac{1}{3}$ . Ponieważ ciąg jest malejący, więc $r = - 5$ . Pierwszy wyraz ciągu jest zatem równy

a_{1} = - \frac{17 + 7 r}{2} = - \frac{17 - 35}{2} = 9

Ćwiczenie 20

Ciąg arytmetyczny składa się z trzechwyrazów. Ich suma jest równa $12$ , a suma ich kwadratów jest równa $66 .$ Oblicz wyrazy tego ciągu.

$(1,4, 7)$ lub $(7,4, 1)$

Niech $x$ oznacza środkowy wyraz ciągu, a $r$ różnicę tego ciągu. Wtedy pierwszy wyraz jest równy $x - r$ , natomiast trzeci jest równy $x + r$ . Suma tych wyrazów jest wtedy równa $x - r + x + x + r = 12$ , czyli $3 x = 12$ , zatem $x = 4$ . Suma kwadratów wyrazów jest równa ${(x - r)}^{2} + x^{2} {+ (x + r)}^{2} = 66$ , czyli ${(4 - r)}^{2} + 4^{2} {+ (4 + r)}^{2} = 66$ . Stąd otrzymujemy kolejno $16 - 8 r + r^{2} + 16 + 16 + 8 r + r^{2} = 66$ , $2 r^{2} = 18$ , $r^{2} = 9$ , $r = - 3$ lub $r = 3$ . Gdy $r = - 3$ , to $x - r = 4 - (- 3) = 7$ oraz $x + r = 4 + (- 3) = 1$ . Gdy $r = 3$ , wówczas $x - r = 4 - 3 = 1$ oraz $x + r = 4 + 3 = 7$ . Zatem dwa szukane ciągi to $(1,4, 7)$ oraz $(7,4, 1)$ .

Ćwiczenie 21

Miary kątów w pewnym czworokącie tworzą ciąg arytmetyczny. Największy z kątów ma miarę $105 °$ . Oblicz miary pozostałych kątów tego czworokąta.

$95 °$ , $85 °$ , $75 °$

Niech $r$ będzie różnicą ciągu arytmetycznego $(105 °, α, β, γ)$ miar kątów czworokąta. Wtedy $α = 105 ° + r$ , $β = 105 ° + 2 r$ , $γ = 105 ° + 3 r$ . Suma miar wszystkich kątów czworokąta jest równa $360 °$ , więc otrzymujemy równanie $105 ° + 105 ° + r + 105 ° + 2 r + 105 ° + 3 r = 360 °$ . Zatem $6 r = - 60 °$ , stąd $r = - 10 °$ . Wtedy $α = 105 ° - 10 ° = 95 °$ , $β = 105 ° - 20 ° = 85 °$ oraz $γ = 105 ° - 30 ° = 75 °$ . Szukane kąty mają miary $95 °$ , $85 °$ , $75 °$ .

Ćwiczenie 22

Rozważmy ciąg trójkątów równobocznych, których długości boków tworzą ciąg arytmetyczny.

Czy obwody tych trójkątów tworzą ciąg arytmetyczny?
Czy pola tych trójkątów tworzą ciąg arytmetyczny?

Niech $(a_{n})$ będzie ciągiem arytmetycznym o różnicy $r$ , gdzie $a_{n}$ oznacza długość boku trójkąta równobocznego o numerze $n$ .

Obwód $n -$ tego trójkąta $L_{n} = 3 ∙ a_{n}$ . Ze wzoru na $n -$ ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy $L_{n} = 3 (a_{n} + (n - 1) r) = 3 a_{1} + 3 (n - 1) r$ , czyli $L_{n} = L_{1} + (n - 1) r$ . To oznacza, że ciąg $(L_{n})$ obwodów kolejnych trójkątów równobocznych jest arytmetyczny, a jego różnica jest równa $3 r$ .
Wykażemy, że ciąg $(P_{n})$ kolejnych trójkątów nie jest arytmetyczny. Wystarczy rozpatrzyć trójkąty, których długości boków są kolejnymi liczbami całkowitymi dodatnimi. Pola trzech pierwszych trójkątów są równe: $P_{1} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ , $P_{2} = \sqrt{3}$ , $P_{3} = \frac{9 \sqrt{3}}{4}$ . Ponieważ $P_{2} - P_{1} = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ oraz $P_{3} - P_{2} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} = \frac{5 \sqrt{3}}{4}$ , a więc $P_{2} - P_{1} \neq P_{3} - P_{2}$ , zatem ciąg $(P_{n})$ nie jest arytmetyczny.

Ćwiczenie 23

Wykaż, że jeżeli cyfry liczby trzycyfrowej tworzą ciąg arytmetyczny, to liczba ta jest podzielna przez $3 .$

Niech $a_{1}$ oznacza najmniejszą z cyfr liczby. Wtedy dwie pozostałe cyfry to $a_{1} + r$ , $a_{1} + 2 r$ . Liczby $a_{1}$ i $r$ są całkowite. Suma wszystkich cyfr liczby jest równa $a_{1} + a_{1} + r {+ a}_{1} + 2 r = 3 a_{1} + 3 r = 3 (a_{1} + r)$ . Liczba $a_{1} + r$ jest całkowita, więc suma cyfr jest podzielna przez $3$ . To z kolei oznacza, że liczba jest podzielna przez $3$ . To kończy dowód.

Ćwiczenie 24

Oblicz, ile wyrazów ma ciąg arytmetyczny, w którym suma dwóch pierwszych wyrazów jest równa $23$ , suma dwóch ostatnich wyrazów jest równa $119$ , a wyraz jedenasty jest równy $40 .$

$18$

Niech $(a_{n})$ będzie ciągiem arytmetycznym, którego wyrazy spełniają warunki podane w treści zadania. Warunki te możemy zapisać w postaci $a_{1} + a_{2} = 23$ , $a_{n} + a_{n - 1} = 119$ oraz $a_{11} = 40$ . Równania te możemy zapisać, korzystając ze wzoru na $n -$ ty wyraz ciągu arytmetycznego w postaci $a_{1} + (a_{1} + r) = 23$ , $a_{1} + (n - 1) r + a_{1} + (n - 2) r = 119$ oraz $a_{1} + 10 r = 40$ . Z pierwszego równania otrzymujemy $r = 23 - {2 a}_{1}$ . Stąd z trzeciego równania mamy: $a_{1} + 10 (23 - {2 a}_{1}) = 40$ , $19 a_{1} = 230 - 40$ , $19 a_{1} = 190$ , $a_{1} = 10$ . Zatem $r = 23 - 2 ∙ 10 = 3 .$
Drugie z równań możemy więc zapisać w postaci $10 + (n - 1) ∙ 3 + 10 + (n - 2) ∙ 3 = 119$ , stąd $6 n = 108$ , czyli $n = 18 .$

Ćwiczenie 25

Wykaż, że jeżeli w ciągu arytmetycznym prawdziwe są zależności $a_{n} = m$ oraz $a_{m} = n$ dla $n \neq m$ , to różnica tego ciągu jest równa $- 1 .$

Ze wzoru na $n$ -ty wyraz ciągu arytmetycznego równości $a_{n} = m$ oraz $a_{m} = n$ możemy zapisać w postaci
$a_{1} + (n - 1) r = m$ oraz $a_{1} + (m - 1) r = n$ .
Odejmując te równania stronami, otrzymujemy $(n - 1) r - (m - 1) r = m - n$ . Stąd $(n - m) r = - (n - m)$ . Ponieważ $n \neq m$ , więc $n - m \neq 0$ . Możemy zatem podzielić obie strony otrzymanego równania przez $n - m$ i wtedy mamy $r = - 1 .$

Rh9sgBAoI9th21

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DyliBdW4j

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Pojęcie ciągu. Ciąg jako funkcja zmiennej naturalnej

Ciągi – własności ciągów arytmetycznych

Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny