Autor: Anna Rybak

Przedmiot: Matematyka

Temat: Podstawowe metody dowodzenia twierdzeń – dowód wprost

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

I. Liczby rzeczywiste.
Zakres podstawowy. Uczeń:
2) przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż:
a) dowód podzielności przez $24$ iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych,
b) dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 5 daje resztę $3$, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $2$;

II. Wyrażenia algebraiczne.
Zakres podstawowy. Uczeń:
1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: ${\left(a+b\right)}^2$, ${\left(a-b\right)}^2$, $a^2-b^2$, ${\left(a+b\right)}^3$, ${\left(a-b\right)}^3$, $a^3-b^3$, $a^n-b^n$.

VIII. Planimetria.
Zakres podstawowy. Uczeń:
12) przeprowadza dowody geometryczne.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

• kompetencje cyfrowe;

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się;

• kompetencje matematyczne.

Cele operacyjne:

Uczeń:

• rozpoznaje różne metody dowodzenia twierdzeń

• buduje algorytm  przeprowadzania  dowodu metodą wprost;

• analizuje i uzupełnia dowody;

• dowodzi twierdzenia metodą wprost.

Strategie nauczania:

• konstruktywizm.

Metody i techniki nauczania:

• metoda tekstu przewodniego

• dyskusja

• burza mózgów

Formy pracy:

• praca indywidualna;

• praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

• zasoby multimedialne zawarte w e materiale;

• tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda.

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Nauczyciel przedstawia uczniom temat,  wskazuje cele zajęć oraz ustala z nimi kryteria sukcesu.

2. Uczniowie metodą burzy mózgów wymieniaja znane im twierdzenia i sposoby ich dowodzenia.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie wspólnie zapoznają się z materiałem z sekcji „Przeczytaj”. Czynią to partiami: zwracają uwagę na wymienione metody dowodzenia twierdzeń (nauczyciel może je krótko omówić lub podać przykłady stosowania, np. dowód geometryczny twierdzenia Pitagorasa).

2. Nauczyciel wyjaśnia, na czym polega dowód wprost.

3. Uczniowie indywidualnie analizują przykłady 1,  2 i 3. Zadają pytania o elementy niezrozumiałe. Nauczyciel udziela wyjaśnień lub inni uczniowie wyjaśniają kolegom ich wątpliwości.

4. Uczniowie wspólnie analizują przykłady 4 i 5.

5. Uczniowie oglądają prezentację multimedialną i wykonują wspólnie Polecenie 2 i 3.

6. Uczniowie wykonują indywidualnie ćwiczenia 1.-4. z sekcji „Sprawdź się”. W drodze dyskusji omawiają swoje wyniki i razem z nauczycielem wyjaśniają trudności.

7. Uczniowie wspólnie wykonują ćwiczenie 8.

Faza podsumowująca:

1. Nauczyciel zadaje uczniom pytania: Co było w lekcji trudne? Co było w lekcji interesujące? Co chcielibyście zmienić, gdyby lekcja miała być przeprowadzona jeszcze raz? Jeszcze raz krótko odnosi się do elementów wskazanych jako trudne, komentuje propozycje zmian w lekcji.

2. Uczniowie krótko podsumowują swoje osiągnięcia, rozwijając zdanie: Na dzisiejszych zajęciach nauczyłam/-em się …

Praca domowa:

1. Uczniowie wykonują ćwiczenia 5 - 7  z sekcji „Sprawdź się”.

2. Uczniowie mają też za zadanie zebrać informacje o dowodzeniu twierdzeń metodą nie wprost.

Materiały pomocnicze:

• Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia w dowodzeniu twierdzeńDycvXabznZastosowanie wzorów skróconego mnożenia w dowodzeniu twierdzeń

• Dowodzenie twierdzeń związanych z liczbami rzeczywistymiD13CuAV7NDowodzenie twierdzeń związanych z liczbami rzeczywistymi

Wskazówki metodyczne:

Prezentacja multimedialna może być też wykorzystana w sposób następujący: najpierw uczniowie dowodzą twierdzenia występujące w prezentacji, zapisują dowody według swojego poczucia poprawności i pełności, a następnie oglądają slajdy i uzupełniają swoje zapisy, jeśli zachodzi potrzeba.

Prezentacja multimedialna może też być wykorzystana podczas dowolnej lekcji dotyczącej przeprowadzania dowodów geometrycznych.