Autor: Anna Rybak

Temat: Podstawowe metody dowodzenia twierdzeń – dowód nie wprost

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

I. Liczby rzeczywiste.
Zakres podstawowy. Uczeń:
4) stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach.

III. Równania i nierówności.
Zakres podstawowy. Uczeń:
1) przekształca równania i nierówności w sposób równoważny.

VIII. Planimetria.
Zakres podstawowy. Uczeń:
12) przeprowadza dowody geometryczne.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii;

• kompetencje cyfrowe;

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

• dobiera odpowiedni rodzaj dowodu do uzasadnienia danego twierdzenia;

• analizuje i uzupełnia dowody  twierdzeń matematycznych ;

• dowodzi twierdzenia metodą nie wprost.

Strategie nauczania:

• konstruktywizm.

Metody i techniki nauczania:

• praca z tekstem matematycznym

• dyskusja

Formy pracy:

• praca indywidualna;

• praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do internetu,

• zasoby multimedialne zawarte w e–materiale;

• tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda.

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

• Nauczyciel przedstawia uczniom temat  zajęć, wskazuje cele zajęć oraz ustala z uczniami  kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie prezentują, czego dowiedzieli się na temat dowodzenia twierdzeń metodą nie wprost w ramach pracy domowej z poprzedniej lekcji. Zgłaszają, co jest dla nich niejasne.

2. Uczniowie wspólnie zapoznają się z materiałem z sekcji „Przeczytaj”: przypominają prawo kontrapozycji i w drodze dyskusji analizują przykłady.

3. Uczniowie zapoznają się z galerią zdjęć interaktywnych (czyli wykonują Polecenie 1), następnie indywidualnie wykonują Polecenie 2.

4. Uczniowie wykonują indywidualnie ćwiczenia 1 i 2 z sekcji „Sprawdź się”. W drodze dyskusji omawiają swoje wyniki i razem z nauczycielem wyjaśniają trudności.

5. Uczniowie indywidualnie wykonują ćwiczenie 4 i w drodze dyskusji omawiają swoje propozycje ustawienia w kolejności zapisów dowodu.

6. Uczniowie wspólnie wykonują ćwiczenie 5, czyli ustnie proponują sposób dowodzenia twierdzenia z geometrii, następnie ćwiczenie 6.

7. Uczniowie wykonują indywidualnie ćwiczenie 7 i dyskutują nad jego rozwiązaniem.

Faza podsumowująca:

1. Nauczyciel zadaje uczniom pytania: Co było w lekcji trudne? Co było w lekcji interesujące? Co chcielibyście zmienić, gdyby lekcja miała być przeprowadzona jeszcze raz? Jeszcze raz krótko odnosi się do elementów wskazanych jako trudne, komentuje propozycje zmian w lekcji.

2. Uczniowie krótko podsumowują swoje osiągnięcia, rozwijając zdanie: Na dzisiejszych zajęciach ważne dla mnie było ...

Praca domowa:

• Uczniowie wykonują ćwiczenia 3, 8, 9 z sekcji „Sprawdź się”.

Materiały pomocnicze:

• Twierdzenia i ich rodzajeDxSN2tqYgTwierdzenia i ich rodzaje

• Zbiór liczb niewymiernych. Działania w zbiorze liczb niewymiernychDyd1kqbJmZbiór liczb niewymiernych. Działania w zbiorze liczb niewymiernych

Wskazówki metodyczne:

• Galeria zdjęć interaktywnych może być też wykorzystane do uczenia się uczniów w parach nawzajem. Po obejrzeniu galerii zdjęć interaktywnych Polecenie 2 uczniowie wykonują w parze, gdzie jedna osoba pełni rolę osoby podającej początek zapisu, a druga pełni rolę osoby uzupełniającej zapis. Uczniowie mogą też dowodzić w ten sposób wybrane przez siebie twierdzenia, nie tylko te wskazane w poleceniach.

• Podczas formułowania dowodów uczniowie mają dobrą okazję, aby ćwiczyć prawidłowe posługiwanie się językiem matematycznym. Należy zwrócić uwagę na precyzję sformułowań i prawidłowe używanie pojęć matematycznych. Należy też zwrócić uwagę na prawidłowe formułowanie zaprzeczeń tezy i założenia, zwłaszcza, gdy mamy do czynienia z nierównościami.

• Galerię zdjęć interaktywnych można wykorzystać na zajęciach poświęconych dowodzeniu twierdzeń z teorii liczb rzeczywistych.