Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RFOI2afTK00rz1

Ćwiczenie 1

Spójrz na dowód nie wprost pewnego twierdzenia: Niech $n$ będzie liczbą parzystą (co stanowi zaprzeczenie tezy twierdzenia wyjściowego). Wtedy możemy zapisać: $n = 2 k$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą, więc $n^{2} = {(2 k)}^{2} = 4 k^{2} = 2 \cdot 2 k^{2}$ , czyli $n^{2}$ jest liczbą parzystą. Jak brzmi twierdzenie wyjściowe? Zaznacz poprawną odpowiedź.

Jeśli $n^{2}$ jest liczbą nieparzystą, to $n$ jest liczbą nieparzystą.
Jeśli $n^{2}$ jest liczbą parzystą, to $n$ jest liczbą nieparzystą.
Jeśli $n^{2}$ jest liczbą nieparzystą, to $n$ jest liczbą parzystą.

Ćwiczenie 2

Dowodząc twierdzenie „Niech $m$ i $n$ będą liczbami całkowitymi. Jeśli iloczyn $m n$ jest liczbą nieparzystą, to liczby $m$ i $n$ są nieparzyste” metodą nie wprost można założyć, że obie liczby są parzyste lub że tylko jedna z nich jest parzysta. Jaki będzie dowód, jeśli założymy, że tylko jedna z nich jest parzysta?

Załóżmy, że $n$ jest liczbą parzystą, a $m$ liczbą nieparzystą. Możemy wtedy zapisać, że $n = 2 k$ , $m = 2 l + 1$ , gdzie $k$ i $l$ to liczby całkowite.

Stąd: $m n = 2 k (2 l + 1)$ , czyli iloczyn $m n$ jest liczbą parzystą, co przeczy założeniu.

RmCZprSA9ZxYf1

Ćwiczenie 3

Dostępne opcje do wyboru:

m n \geq \frac{m}{n}

, nie może,

m \cdot n^{2} \geq m

m n < \frac{m}{n}

, może, dzielenie obustronne nierówności przez liczbę naturalną (a więc dodatnią) nie zmienia zwrotu nierówności,

m \cdot n^{2} < m

. Polecenie: Uzupełnij dowód twierdzenia:
Iloczyn dowolnych dwóch liczb naturalnych jest nie mniejszy od ich ilorazu.
Przeciągnij odpowiednie wyrażenia lub wyrazy w prawidłowe miejsca. Założenie:

m

n

są dowolnymi liczbami naturalnymi
Teza:

m n \geq \frac{m}{n}

Zaprzeczenie założenia:

m

lub

n

nie może być dowolną liczbą naturalną
Zaprzeczenie tezy: luka do uzupełnienia
Twierdzenie w formie kontrapozycji: Jeśli iloczyn dowolnych dwóch liczb naturalnych

m

n

jest mniejszy od ich ilorazu, to nie są one dowolnymi liczbami naturalnymi.
Dowód twierdzenia zapisanego w formie kontrapozycji:
Iloczyn dowolnych dwóch liczb naturalnych jest mniejszy od ich ilorazu, co zapiszemy

m n < \frac{m}{n}

i możemy przekształcić do postaci luka do uzupełnienia , skąd możemy otrzymać nierówność:

n^{2} < 1

, ponieważ luka do uzupełnienia .
Ta nierówność luka do uzupełnienia być prawdziwa dla żadnej liczby naturalnej

n

.
Udowodniliśmy twierdzenie w formie kontrapozycji, a więc również nasze twierdzenie wyjściowe.

Uzupełnij dowód twierdzenia: Iloczyn dowolnych dwóch liczb naturalnych dodatnich jest nie mniejszy od ich ilorazu.
Przeciągnij odpowiednie wyrażenia lub wyrazy w prawidłowe miejsca.

zmienia zwrot nierówności, $m n \geq \frac{m}{n}$ , $m \cdot n^{2} < m$ , może, nie może, nie zmienia zwrotu nierówności, $m \cdot n^{2} \geq m$ , $m n < \frac{m}{n}$

Założenie: $m$ i $n$ są dowolnymi liczbami naturalnymi dodatnimi.
Teza: $m n \geq \frac{m}{n}$
Zaprzeczenie założenia: $m$ lub $n$ nie może być dowolną liczbą naturalną dodatnią.
Zaprzeczenie tezy:
Twierdzenie w formie kontrapozycji: Jeśli iloczyn dowolnych dwóch liczb naturalnych dodatnich $m$ i $n$ jest mniejszy od ich ilorazu, to nie są one dowolnymi liczbami naturalnymi dodatnimi.
Dowód twierdzenia zapisanego w formie kontrapozycji:
Iloczyn dowolnych dwóch liczb naturalnych dodatnich jest mniejszy od ich ilorazu, co zapiszemy $m n < \frac{m}{n}$ i możemy przekształcić do postaci , skąd możemy otrzymać nierówność: $n^{2} < 1$ , ponieważ dzielenie obustronne nierówności przez liczbę naturalną dodatnią .
Ta nierówność być prawdziwa dla żadnej liczby naturalnej dodatniej $n$ .
Udowodniliśmy twierdzenie w formie kontrapozycji, a więc również nasze twierdzenie wyjściowe.

RM6bR4jY562NP2

Ćwiczenie 4

Dane jest twierdzenie: Jeśli

n^{3}

jest liczbą nieparzystą, to

n

jest liczbą nieparzystą.
Poniżej widzisz kilka zapisów, ustaw je w odpowiedniej kolejności, aby otrzymać dowód twierdzenia przeprowadzony metodą nie wprost. Elementy do uszeregowania: 1. Założenie:

n^{3}

jest liczbą nieparzystą, 2. Jeśli

n

jest liczbą parzystą to

n^{3}

jest liczbą parzystą., 3. Ponieważ twierdzenie dane i twierdzenie zapisane w postaci kontrapozycji są sobie równoważne, więc dowodząc twierdzenia w formie kontrapozycji udowodniliśmy jednocześnie twierdzenie dane w zadaniu., 4. Zaprzeczenie tezy:

n

jest liczbą parzystą, 5. Teza:

n

jest liczbą nieparzystą, 6. c.n.d., 7. Stąd

n^{3} = {(2 k)}^{3} = 8 k^{3} = 2 (4 k^{3}) = 2 m

, gdzie

m

jest liczbą naturalną., 8. Zaprzeczenie założenia:

n^{3}

jest liczbą parzystą, 9. Liczbę parzystą możemy zapisać jako wielokrotność liczby

2

, czyli

n = 2 k

, gdzie

k

jest liczbą naturalną.

Dane jest twierdzenie: Jeśli $n^{3}$ jest liczbą nieparzystą, to $n$ jest liczbą nieparzystą.
Poniżej widzisz kilka zapisów, ustaw je w odpowiedniej kolejności, aby otrzymać dowód twierdzenia przeprowadzony metodą nie wprost.

Zaprzeczenie tezy: $n$ jest liczbą parzystą
Ponieważ twierdzenie dane i twierdzenie zapisane w postaci kontrapozycji są sobie równoważne, więc dowodząc twierdzenia w formie kontrapozycji udowodniliśmy jednocześnie twierdzenie dane w zadaniu.
Teza: $n$ jest liczbą nieparzystą
Zaprzeczenie założenia: $n^{3}$ jest liczbą parzystą
Stąd $n^{3} = {(2 k)}^{3} = 8 k^{3} = 2 (4 k^{3}) = 2 m$ , gdzie $m$ jest liczbą naturalną.
Jeśli $n$ jest liczbą parzystą to $n^{3}$ jest liczbą parzystą.
c.n.d.
Założenie: $n^{3}$ jest liczbą nieparzystą
Liczbę parzystą możemy zapisać jako wielokrotność liczby $2$ , czyli $n = 2 k$ , gdzie $k$ jest liczbą naturalną.

Ćwiczenie 5

Opowiedz swoimi słowami, jak można udowodnić, że w każdym trójkącie co najmniej jeden z kątów ma miarę nie mniejszą od $60 °$ .

Dobrym wyborem móglby być dowód nie wprost, ponieważ wtedy wystarczy udowodnić, że w trójkącie nie może być takiej sytuacji, że każdy kąt ma miarę mniejszą od $60 °$ . Gdyby tak było, to suma kątów w trójkącie byłaby mniejsza niż $180 °$ , a to jest niemożliwe na płaszczyźnie.

Rzs1jKTMjADgN2

Ćwiczenie 6

Wykaż, że jeśli $a > 0$ , to $\frac{a^{2} + 1}{a + 1} ⩾ \frac{a + 1}{2}$ . Przeciągnij w prawidłowe miejsca.

Założenie:, Teza:, Twierdzenie w formie kontrapozycji:, Dowód twierdzenia zapisanego w formie kontrapozycji:, Nierówność ta jest prawdziwa,, Udowodniliśmy twierdzenie:
Jeśli $\frac{a^{2} + 1}{a + 1} < \frac{a + 1}{2}$ to $a ⩽ 0$ , tym samym udowodniliśmy twierdzenie:

Dowód	Kroki dowodu
Założenie:
Teza:
Twierdzenie w formie kontrapozycji:
Dowód twierdzenia zapisanego w formie kontrapozycji:
Nierówność ta jest prawdziwa,
Udowodniliśmy twierdzenie: Jeśli $\frac{a^{2} + 1}{a + 1} < \frac{a + 1}{2}$ to $a ⩽ 0$ , tym samym udowodniliśmy twierdzenie:

Ćwiczenie 7

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$ prawdziwa jest nierówność $4 x^{2} - 8 x y + 5 y^{2} \geq 0$ .

Załóżmy, że teza nie jest prawdziwa, czyli zachodzi: $4 x^{2} - 8 x y + 5 y^{2} < 0$ .

Przekształcamy wyrażenie po lewej stronie nierówności i otrzymujemy: $4 {(x - y)}^{2} + y^{2} < 0$ , co jest niemożliwe dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$ .

Ćwiczenie 8

Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej $x$ zachodzi $x + \frac{1}{x} \geq 2$ .

Dowodząc twierdzenie metodą nie wprost załóżmy, że $x + \frac{1}{x} < 2$ .

Przekształcamy tę nierówność:

$x + \frac{1}{x} - 2 < 0$ ,

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x} < 0$ ,

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{x} < 0$ .

Ostatnia nierówność nie jest prawdziwa dla liczb rzeczywistych dodatnich.

Ćwiczenie 9

Znajdź w dowolnych źródłach twierdzenie, którego dowód nie wprost Cię zainteresował.

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela