Autor: Jacek Człapiński

Przedmiot: Matematyka

Temat: Okrąg wpisany w czworokąt

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

VIII. Planimetria

Zakres podstawowy. Uczeń:

5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych;
8) korzysta z cech podobieństwa trójkątów;
10) wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;
12) przeprowadza dowody geometryczne;

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

• kompetencje cyfrowe

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się

Cele operacyjne:

Uczeń:

• stosuje pojęcie wielokąta opisanego na okręgu

• stosuje twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu

• stosuje zasadnicze twierdzenie planimetrii

• przeprowadza dowody geometryczne

Strategie nauczania:

• konstruktywizm

• konektywizm

Metody i techniki nauczania:

• dyskusja

• rozmowa nauczająca z wykorzystaniem ćwiczeń interaktywnych

Formy pracy:

• praca indywidualna

• praca w grupach

• praca całego zespołu

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do internetu,

• projektor multimedialny,

• arkusze papieru, pisaki

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Nauczyciel prosi o przypomnienie pojęcia wielokąta foremnego i omówienie zagadnienia istnienia okręgów wpisanego w taki wielokąt i opisanego na takim wielokącie. Prosi o zdefiniowanie pojęcia wielokąta opisanego na okręgu, także w kontekście wypukłości takiego wielokąta. Prosi o podanie przykładów czworokątów, które można opisać na okręgu oraz takich, dla których okrąg wpisany nie istnieje.

2. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel prezentuje przygotowany wcześniej rysunek czworokąta opisanego na okręgu, na którym odpowiednie odcinki stycznych, o takiej samej długości, zaznaczono innym kolorem. Następnie prosi uczniów o sformułowanie twierdzenia ustalającego warunek konieczny, by czworokąt można było opisać na okręgu. Tę fazę można zastąpić lub połączyć z uruchomieniem dołączonego apletu Geogebry i wykonaniem zamieszczonych w nim poleceń.

2. Następnie uczniowie, po kierunkiem nauczyciela przeprowadzają dowód sformułowanego twierdzenia.

3. Nauczyciel zadaje pytanie dotyczące prawdziwości twierdzenia odwrotnego. Zwraca uwagę na założenie dotyczące wypukłości figury i podaje przykład, że jest on istotny. Następnie nauczyciel przypomina schemat dowodu „nie wprost” i rozpoczyna dowód. W momencie, gdy formułuje przypuszczenie, że czwarty bok nie jest styczny do okręgu prosi, by uczniowie w parach podjęli próbę dokończenia dowodu. Po krótkiej chwili prosi wybranego ucznia, by zapisał dowód na tablicy. Zwraca uwagę na położenie  poszczególnych  punktów $$ względem końców odcinka i formalną konieczność rozważenia dwóch przypadków.

4. Nauczyciel prezentuje problem opisany w Przykładzie 1. Może w tym miejscu ponownie odwołać się do apletu Geogebry. Podkreśla, że metodę obliczania pola, jako iloczynu połowy obwodu przez długość promienia można uogólnić na wielokąt o dowolnej liczbie boków.

5. Nauczyciel formułuje problem dotyczący konstrukcji opisanej w Przykładzie 2. Prosi uczniów o przeprowadzenie konstrukcji i dyskusje jej wykonalności

6. Uczniowie wykonują zaproponowane ćwiczenia interaktywne, wykorzystując umiejętności z różnych działów matematyki.

Faza podsumowująca:

1. Nauczyciel prosi wybranych uczniów o przedstawienie najważniejszych elementów, jakie były omawiane w trakcie lekcji.

Praca domowa:

1. Nauczyciel poleca, aby uczniowie wykonali w domu ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane w czasie zajęć.

Materiały pomocnicze:

Okrąg wpisany w wielokątD1H1PzHOLOkrąg wpisany w wielokąt

Wskazówki metodyczne:

Można zastosować w ramach powtórzenia przed sprawdzianem. Można wykorzystać przy realizacji tematu o własnościach czworokątów opisanych na okręgu.