Oznaczmy przez $b$ długość krótszej podstawy, a przez $c$ długość ramienia trapezu. Wtedy, korzystając z twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu mamy, że $2c=18+b$.

Wysokość trapezu, poprowadzona z wierzchołka krótszej podstawy, jest równa $6$ i jest przyprostokątną w trójkącie prostokątnym, w którym przeciwprostokątną jest równa $c$, a druga przyprostokątna ma długość $\frac{18-b}{2}$.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy: $6^2+{\left(\frac{18-b}{2}\right)}^2={\left(\frac{18+b}{2}\right)}^2$. Po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia i redukcji otrzymujemy, że $18b=36$, czyli $b=2$. Zatem pole jest równe $P=\frac{18+2}{2}·6=60$.

Zauważmy, że dwa pozostałe kąty deltoidu są proste, a oś symetrii dzieli ten deltoid na dwa trójkąty prostokątne, których kąty ostre mają miary $60°$ i $30°$.

Dłuższy bok deltoidu (dłuższa przyprostokątna każdego z otrzymanych trójkątów) ma długość $4\sqrt{3}$, stąd pole deltoidu, jako suma pól dwóch przystających trójkątów prostokątnych jest równe $P=2\left(\frac{1}{2}·4·4\sqrt{3}\right)=16\sqrt{3}$.

Ale pole czworokąta opisanego na okręgu można wyrazić jako iloczyn promienia $r$ tego okręgu i połowy obwodu, zatem $16\sqrt{3}=\frac{\left(2·4+2·4\sqrt{3}\right)·r}{2}$. Stąd otrzymujemy, że $r=\frac{16\sqrt{3}}{4+4\sqrt{3}}=6-2\sqrt{3}$.

1. Na prostej odkładamy odcinek $a$ - otrzymujemy wierzchołki $A$, $B$ czworokąta.

2. Odkładamy kąt odpowiednio o mierze $\alpha$ w wierzchołku $A$ i o mierze $\beta$ w wierzchołku $B$ tak, aby ich jedno ramię zawierało odcinek $a$, a drugie ramiona leżały po tej samej stronie prostej – otrzymujemy półproste $k$ i $l$ zawierające boki czworokąta przyległe do boku $a$.

3. Kreślimy dwusieczne kątów $\alpha$ i $\beta$ - otrzymujemy środek $O$ okręgu wpisanego.

4. Kreślimy prostą prostopadłą do odcinka $a$ przechodzącą przez punkt $O$ - w punkcie przecięcia tej prostopadłej i odcinka otrzymujemy punkt styczności $E$.

5. Kreślimy okrąg o środku w punkcie $O$ i promieniu $\left|OE\right|$.

6. Na półprostej $l$ (lub $k$), w dowolnym punkcie, jako wierzchołku, odkładamy kąt $\gamma$ - otrzymujemy półprostą $m$, która jest równoległa do boku $CD$ czworokąta.

7. Kreślimy styczną do skonstruowanego wcześniej okręgu równoległą do półprostej $m$. W tym celu prowadzimy prostą prostopadłą do $m$ i przechodzącą przez środek okręgu $O$ - otrzymany punkt wspólny prostej i okręgu jest punktem styczności, przez który prowadzimy prostopadłą.

RoQgqXn19ezcx

Ilustracja przedstawia fragment czworokąta z widocznym wierzchołkiem A i B. Bok A B tworzy podstawę tego czworokąta . Przy wierzchołku A odłożoną kąt o mierze alfa tak aby jedno ramie leżało na odcinku AB a drugie tworzyło ramie czworokąta k. Przy wierzchołku B odłożono kąt o mierze beta tak że jedno ramie pokrywa się z odcinkiem A B a drugie ramie wyznacza ramie czworokąta l. Poprowadzone są półproste wyznaczające dwusieczne podanych kątów. Ich miejsce przecięcia oznaczono punktem O. Następnie poprowadzona jest prosta prostopadła do boku A B przechodząca przez punkt O. Miejsce przecięcia tej prostej z bokiem A B oznaczono punktem E. Wykreślony jest również okrąg o promieniu długości O E, który jest styczny do punktu E i ramion czworokąta k i l. Na półprostej l odłożono kąt gamma powyżej okręgu tak że jedno ramie pokrywa się z półprostą l a drugie tworzy półprostą m. Wyznaczono również styczną do okręgu równoległą do prostej m.

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.

RKRuY064NKNia

Ilustracja przedstawia okrąg wpisany w trapez ABCD. Zaznaczono wysokości upuszczone na dłuższa podstawę, wysokości o odcinkach DE i CF. Podstawa DC ma długość b, odcinek AE ma długość x, a odcinek BF długość y.

Wtedy mamy: ${\left(12\frac{1}{2}\right)}^2=x^2+{10}^2$, ${\left(10\frac{3}{10}\right)}^2=y^2+{10}^2$ oraz $x+y+2b=12\frac{1}{2}+10\frac{3}{10}$.

Zatem $x=\sqrt{{\left(12\frac{1}{2}\right)}^2-{10}^2}=7\frac{1}{2}$ oraz $y=\sqrt{{\left(10\frac{3}{10}\right)}^2-{10}^2}=\frac{\sqrt{609}}{10}$.

Otrzymujemy więc, że $b=\frac{12\frac{1}{2}+10\frac{3}{10}-x-y}{2}=\frac{12\frac{1}{2}+10\frac{3}{10}-7\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{609}}{10}}{2}=\frac{153-\sqrt{609}}{20}$.