Autor: Jacek Człapiński

Przedmiot: Matematyka

Temat: Własności czworokąta opisanego na okręgu

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, klasa I lub II, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

VIII. Planimetria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

10) wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności;
12) przeprowadza dowody geometryczne.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

• kompetencje cyfrowe

Cele operacyjne:

Uczeń:

• zna i stosuje pojęcie wielokąta opisanego na okręgu

• zna i stosuje pojęcie wielokąta wpisanego w okrąg

• zna i stosuje twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg

• zna i stosuje twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu

• przeprowadza dowody geometryczne

Strategie nauczania:

• konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

• dyskusja

• rozmowa nauczająca z wykorzystaniem ćwiczeń interaktywnych

Formy pracy:

• praca indywidualna

• praca w grupach

• praca całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każda para uczniów miała do dyspozycji komputer; lekcję tę można przeprowadzić, mając do dyspozycji jeden komputer z rzutnikiem multimedialnym

Przebieg lekcji

Faza wprowadzająca:

1. Nauczyciel prosi o podanie przykładów wielokątów, których pole da się wyrazić „łatwo” poprzez długości boków. Może poprosić o obliczenie pola trapezu równoramiennego o danych bokach. Może także przywołać wielokąty cykliczne i wzór Brahmagupty. Następnie informuje (przypomina), że istnieje taka grupa czworokątów, których pole wyraża wzór $P=\sqrt{abcd}$.

2. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel prosi o przypomnienie twierdzenia, które ustala warunek konieczny i wystarczający, by w czworokąt dało się wpisać okrąg oraz o przypomnienie zasadniczego twierdzenia planimetrii.

2. Następnie prezentuje przygotowany wcześniej rysunek czworokąta podzielonego na dwa trójkąty, w które odpowiednio wpisano trójkąty styczne do przekątnej tego czworokąta. Może w tym miejscu poprosić o uruchomienie symulacji interaktywnej i wykonanie zawartych tam poleceń. Nauczyciel formułuje twierdzenie o zależności między wzajemnym położeniem odpowiednich punktów styczności okręgów wpisanych w trójkąty, a istnieniem okręgu wpisanego w czworokąt. Pod kierunkiem nauczyciela jeden z uczniów przeprowadza dowód na tablicy. Nauczyciel zaznacza, że prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne, co oznacza, że jest to kolejne kryterium ustalające istnienie okręgu wpisanego w dany czworokąt.

3. Następnie nauczyciel przypomina problem, o którym była mowa na wstępie, tzn. możliwość obliczenia pola czworokąta ze wzoru $P=\sqrt{abcd}$. Prosi uczniów o wykazanie prawdziwości tego wzoru dla trapezów równoramiennych, w które można wpisać okrąg. Uczniowie pracują w parach. Następnie prosi wybranego ucznia o zapisanie dowodu na tablicy.

4. Nauczyciel prezentuje problem opisany w Przykładzie, który pokazuje zastosowanie poznanych własności. Uczniowie rozwiązują problem w parach i wybrani uczniowie przedstawiają na forum klasy efekty pracy.

5. Uczniowie wykonują zaproponowane ćwiczenia interaktywne, wykorzystując umiejętności z różnych działów matematyki.

Faza podsumowująca:

• Nauczyciel prosi wybranych uczniów o przedstawienie najważniejszych elementów, jakie były omawiane w trakcie lekcji.

Praca domowa:

Nauczyciel poleca, aby uczniowie wykonali w domu ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane w czasie zajęć. Zachęca uczniów do przeprowadzenia dowodu twierdzenia odwrotnego do twierdzenia o okręgach wpisanych w czworokąt.

Materiały pomocnicze:

Okrąg wpisany w wielokątD1H1PzHOLOkrąg wpisany w wielokąt

Wskazówki metodyczne:

Symulację interaktywną można zastosować w ramach powtórzenia przed sprawdzianem. Można ją wykorzystać przy realizacji tematu o czworokącie opisanym na okręgu.