Autor: Henryk Dąbrowski

Przedmiot: Matematyka

Temat: Obliczenia geometryczne z wykorzystaniem twierdzenia cosinusów

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

VIII. Planimetria

Zakres podstawowy. Uczeń:

2) rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;

12) przeprowadza dowody geometryczne.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

• kompetencje cyfrowe

Cele operacyjne:

Uczeń:

• oblicza długości środkowych i dwusiecznych trójkąta, posługując się poznanymi wzorami wynikającymi z twierdzenia cosinusów

• stosuje twierdzenie Stewarta w typowych sytuacjach

• przeprowadza dowody geometryczne, wykorzystując twierdzenie cosinusów

Strategie nauczania:

• konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

• dyskusja

• rozmowa nauczająca z wykorzystaniem ćwiczeń interaktywnych

Formy pracy:

• praca indywidualna

• praca w grupach

• praca całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każda para uczniów miała do dyspozycji komputer; lekcję tę można przeprowadzić, mając do dyspozycji jeden komputer z rzutnikiem multimedialnym

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Nauczyciel prosi o przypomnienie twierdzenia cosinusów i określenie typowych sytuacji, w których to twierdzenie można zastosować.

2. Nauczyciel prosi uczniów, zorganizowanych w grupy, o przeanalizowanie obu sposobów wykorzystania twierdzenia cosinusów do wyznaczenia wzoru na długość środkowej trójkąta z Przykładu 1.

3. Uczniowie, przy ewentualnej pomocy nauczyciela, omawiają najważniejsze elementy metody wykorzystanej w Przykładzie 1.

4. Nauczyciel prosi o przypomnienie twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel prosi uczniów (pracujących indywidualnie lub w małych grupach) o wykonanie polecenia z Przykładu 2 – wyprowadzenie wzoru na długość dwusiecznej trójkąta (w razie pytań zwraca uwagę, na różnicę miedzy dwusieczną kąta trójkąta i dwusieczną trójkąta).

2. Wybrany uczeń (lub reprezentant grupy) przedstawia wynik pracy całej klasie. Nauczyciel inspiruje krótką dyskusję na temat metody użytej do wyprowadzenia wzoru.

3. Nauczyciel zapoznaje uczniów z twierdzeniem Stewarta i, o ile czas na to pozwala, poleca uczniom zapoznanie się z innym dowodem tego twierdzenia podanym w Przykładzie 3. Samodzielne przeprowadzenie dowodu tego twierdzenia może też być zadaniem domowym.

4. Nauczyciel wyświetla animację – wybrany uczeń rozwiązuje Polecenie 2.

5. Uczniowie wykonują zaproponowane ćwiczenia interaktywne, wykorzystując umiejętności z różnych działów matematyki.

Faza podsumowująca:

• Nauczyciel prosi wybranych uczniów o przedstawienie najważniejszych elementów, jakie były omawiane w trakcie lekcji.

Praca domowa:

Nauczyciel poleca, aby uczniowie wykonali w domu ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane w czasie zajęć oraz przeprowadzili dowód zależności omawianej we wstępie.

Materiały pomocnicze:

Wzór na sumę i różnicę cosinusów

Wskazówki metodyczne:

Ten temat e–podręcznika jest stosunkowo „bogaty”. Można wybrać z niego tylko te części, które akurat są potrzebne w pracy dydaktycznej:

• wzór na długość środkowej trójkąta,

• wzór na długość dwusiecznej trójkąta,

• wzór na długość przekątnej czworokąta wpisanego w okrąg, czy wreszcie

• twierdzenie Stewarta lub twierdzenie Ptolemeusza.

Omówienie zademonstrowanej w tym temacie metody dwukrotnego wykorzystania twierdzenia cosinusów, jako jednej z często stosowanych technik obliczeniowych w planimetrii, może też dobrym tematem powtórzeniowym przed sprawdzianem lub egzaminem maturalnym.